Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

 

Рассмотрим сначала векторный случайный процесс  с дискретным временем, который будем обозначать как

,  .                 (10.2.28)

Определение. Случайный процесс  называется Марковским, если для него выполняется равенство

.           (10.2.281)

Условная плотность вероятности  называется плотностью вероятности перехода Марковского процесса.

Определим процесс (10.2.28) соотношением

,  ,              (10.2.29)

где  – последовательность независимых нормально распределенных векторов,

,

с нулевыми средними значениями и ковариационными матрицами

,                                         (10.2.30)

 – двухмерная -матрица,

, ,

с зависящими от  элементами. Векторы  и  являются независимыми. Начальное состояние  предполагаем нормальным с математическим ожиданием

                                            (10.2.31)

и ковариационной матрицей

.                                        (10.2.32)

Относительно такого процесса справедлива следующая теорема [70].

Теорема 10.8. Если векторный случайный процесс с дискретным временем  (10.2.29) описывается соотношением (10.2.29), в котором  – последовательность независимых гауссовских случайных векторов с нулевыми средними значениями и ковариационными матрицами  (10.2.30), векторы  и  независимы, начальное состояние  гауссовское со средним значением  (10.2.31) и ковариационной матрицей  (10.2.32), то такой процесс является гауссовским марковским со средним значением

, ,               (10.2.33)

ковариационной функцией

,                     (10.2.34)

,

и ковариационной матрицей

, . (10.2.35)

Эти понятия обобщаются на многомерно-матричные случайные процессы. Рассмотрим -мерно-матричный случайный процесс (1) с дискретным временем, который будем обозначать как .

Определение Марковского многомерно-матричного случайного процесса не изменяется, т.е. имеет вид (10.2.281).

Определим теперь -мерно-матричный случайный процесс  соотношением

,  ,              (10.3.15)

где  – последовательность независимых нормально распределенных -мерных матриц с нулевыми средними значениями и дисперсионными матрицами

,                                    (10.3.16)

 – -мерная матрица, в общем случае зависящая от . Матрицы  и  являются независимыми. Начальное состояние  предполагаем нормальным с математическим ожиданием

                                      (10.3.17)

и дисперсионной матрицей

.                                          (10.3.18)

Относительно такого процесса можно доказать следующую теорему.

Теорема 10.10. Если -мерно-матричный случайный процесс с дискретным временем  описывается соотношением (10.3.15), в котором  – последовательность независимых гауссовских случайных матриц с нулевыми средними значениями и ковариационными матрицами  (10.3.16), матрицы  и  независимы, начальное состояние  гауссовское со средним значением  (10.3.17) и ковариационной матрицей  (10.3.18), то такой процесс является гауссовским марковским со средним значением

, ,                (10.3.19)

ковариационной функцией

,                       (10.3.20)

,

и дисперсионной матрицей

, . (10.3.21)

Эта теорема может быть доказана путем перехода от исходных матриц в постановке задачи к соответствующим ассоциированным матрицам, записи выражений (10.2.33)–(10.2.35) для ассоциированных матриц и перехода от них к эквивалентным многомерно-матричным выражениям (10.3.19)–(10.3.21) на основе теоремы о ассоциированных матрицах.

 

Скалярные случайные поля

 

Пусть задано некоторое вероятностное пространство .

Определение. Скалярным случайным полем

                                           (10.4.1)

называется действительная скалярная функция , которая для любых фиксированных аргументов  является измеримой функцией .

Аргумент  в этом определении понимается как время, а аргумент  – как точка плоскости.

Если в трехмерном пространстве переменных  зафиксировать  точек

, , …, ,            (10.4.2)

то получим  случайных величин – сечений случайного поля

, , … , .

Распределение случайного вектора  при любом  и любых наборах точек  (10.4.2) назовем конечномерным ( -мерным) распределением скалярного случайного поля.

Определение. Конечномерной ( -мерной) функцией распределения скалярного случайного поля  (10.4.1) назовем функцию распределения -мерного случайного вектора :

,

где ,  - аргументы функции распределения.

Определение. Конечномерной ( -мерной) плотностью вероятности скалярного случайного поля  (10.4.1) называется функция

Замечание. Конечномерные ( -мерные) функция распределения и плотность вероятности случайного поля зависят от  точек плоскости  (10.4.2), на которых рассматриваются случайные величины .

Определение. Математическим ожиданием случайного поля  (10.4.1) в точке  называется функция , определяемая выражением

,                          (10.4.3)

где  – одномерная плотность вероятности случайного поля.

Определение. Дисперсией случайного поля  (10.4.1) в точке  называется функция , определяемая выражением

.    (10.4.4)

Определение. Ковариационной функцией случайного поля  (10.4.1) называется функция, определяемая выражением

, (10.4.5)

где  – двухмерная плотность вероятности случайного поля.

Ковариационная функция случайного поля обладает тем свойством, что

.

Дисперсия случайного поля может быть получена по его ковариационной функции,

.

Определение. Конечномерным ( -мерным) математическим ожиданием случайного поля  (10.4.1) на системе из  точек называется -мерный вектор , являющийся математическим ожиданием вектора :

.                         (10.4.6)

Определение. Ковариационной матрицей случайного поля  (10.4.1) на системе из  точек называется -матрица  , которая является ковариационной матрицей вектора :

.

Элементы ковариационной матрицы могут быть получены по известной ковариационной функции с помощью формулы

.

Определение. Случайное поле  (10.4.1) называется стационарным в узком смысле, если для любого

,

где  – -мерная функция распределения случайного поля.

Определение. Случайное поле  (10.4.1) называется стационарным в широком смысле, если его математическое ожидание не зависит от времени,

,

а ковариационная функция зависит лишь от одного аргумента ,

.

Ковариационная функция стационарного случайного поля обладает следующим

свойством:

.

Определение. Случайное поле  (10.4.1) называется однородным в широком смысле, если для двух точек пространства аргументов ,  выполняются равенства

,

,

где  – расстояние между точками  и .

Определение. Случайное поле  (10.4.1) называется гауссовским, если все его конечномерные распределения гауссовские.

Если случайное поле в момент времени  измеряется на сетке (матрице)  значений аргументов ,

,

то значения поля образуют двухмерную случайную матрицу

.

Математическим ожиданием случайного поля на сетке значений аргументов будет также двухмерная матрица

.

Ковариационная матрица случайного поля на сетке значений аргументов будет представлять собой четырехмерную -матрицу

.

Плотность вероятности гауссовского случайного поля на сетке значений аргументов имеет вид

,  (10.4.7)

где , – матричный аргумент плотности вероятности,  – матрица, -обратная к ,  – определитель матрицы .

В практических приложениях чаще всего предполагается, что известна ковариационная функция случайного поля [122]. Часто используется ковариационная функция поля вида [17]

,

где  – дисперсия поля,  – параметры, характеризующие коррелированность поля в горизонтальном и вертикальном направлениях. В задачах фильтрации изображений иногда используется ковариационная функция вида [97]

.