Вопрос транспонирования многомерных матриц является более сложным по сравнению с транспонированием обычных (двухмерных) матриц. Данный раздел посвящен разработке этого вопроса.
Пусть –
-мерная матрица
-го порядка,
. (2.8.1)
Новая матрица
, (2.8.2)
элементы которой связаны с элементами матрицы (2.8.1) соотношениями
, (2.8.3)
где – какая-нибудь перестановка из индексов
, называется транспонированной относительно матрицы
соответственно подстановке
. (2.8.4)
Транспонированную матрицу будем обозначать одним из символов
,
. (2.8.5)
Пример 2.5. Пусть , и подстановка
. Тогда
,
где числами над фигурными скобками указаны значения мультииндекса матрицы
.
Приведенное определение транспонирования многомерной матрицы принадлежит Соколову Н.П. [81]. Однако Соколовым Н.П. не введены формальные правила работы с транспонированными матрицами, что является, по-видимому, одной из причин недостаточного использования аппарата многомерных матриц. Эти правила приводятся в данном разделе [51].
Подстановкой (или перестановкой)
называется взаимно однозначное отображение (биекция) множества индексов на себя [24]. Это отображение множеству индексов
ставит в соответствие множество индексов
, так что
.
Любую подстановку, заданную на множестве индексов, будем обозначать прописной буквой, например,
, как это сделано в выражении (2.8.4). Чтобы подчеркнуть, что подстановка состоит из
индексов, будем применять также обозначение
. Будем пользоваться понятием мультииндексов [51]
,
,
и записывать подстановку (2.8.4) в виде
. (2.8.6)
С использованием мультииндексов транспонирование матрицы будем обозначать следующим образом. Если – подстановка вида (2.8.6), то запись вида
означает выполнение равенств
. (2.8.7)
Заметим, что транспонирование матрицы (2.8.7) задается двумя отображениями: матрицы
в матрицу
и верхнего мультииндекса
в нижний
. Эти отображения обозначены в (2.8.7) стрелками в противоположных направлениях.
Часто подстановку (2.8.4) удобно разбить на несколько подстановок. Такое разбиение будем обозначать одним из следующих способов
.
Ясно, что входящие в разбиение подстановки и
должны быть определены на различных множествах индексов.
Если и
– две подстановки,
,
,
где ,
– некоторые перестановки множества
, то подстановка
, действующая согласно выражению
,
называется суперпозицией подстановок и
и обозначается как
.
Это определение аналогично определению суперпозиции функций. Нахождение суперпозиции подстановок состоит в последовательном прослеживании преобразований (отображений) индексов. Например,
. (2.8.8)
В частности, первый индекс первой подстановки отображается (преобразуется) в индекс
, затем индекс
второй подстановки преобразуется в индекс
. В итоге индекс
преобразуется в индекс
.
Будем пользоваться понятиями тождественной и обратной подстановок, имеющимися, например, в [24], и введем несколько новых типов подстановок [51].
Тождественной подстановкой на индексах называется подстановка вида [24]
. (2.8.9)
Она удовлетворяет равенствам
,
где – произвольная подстановка, заданная на том же множестве индексов, что и
, а символами
обозначена суперпозиция подстановок
и
.
Обратной подстановкой для подстановки называется подстановка
, удовлетворяющая равенствам [24]
. (2.8.10)
Подстановкой типа “вперед” назовем подстановку вида [51]
, (2.8.11)
в которой нижняя строка формируется из верхней переносом левых индексов вправо (вперед).
Аналогично подстановкой типа “назад” назовем подстановку вида
, (2.8.12)
в которой нижняя строка формируется из верхней переносом правых индексов влево (назад).
Ясно, что , т.е. подстановки
и
– взаимно обратны,
.
При или
имеем
,
.
Ясно также, что подстановки типа "вперед" и "назад" взаимозаменяемы:
,
.
Подстановкой типа “вперед-назад” назовем подстановку вида
, (2.8.13)
в которой нижняя строка формируется из верхней переносом левых индексов вправо (вперед) и
правых индексов влево (назад). При
(центральные индексы отсутствуют) имеем
.
При или
получаем
.
Примерами подстановок типа “вперед”, “назад”, “вперед-назад” могут быть подстановки
,
,
.
Перейдем к операции транспонирования матрицы в соответствии с некоторой подстановкой. Напомним, что в определении -мерной матрицы
(2.8.1) индексы
являются координатами
-мерного пространства, в котором рассматривается матрица
. В этом же пространстве рассматриваются и все матрицы, получающиеся из
путем транспонирования. Это значит, что все транспонированные матрицы имеют те же индексы, что и исходная матрица:
. Индексы этого основного пространства, в котором определена матрица
, нумеруются по порядку от 1 до
, т.е. каждому индексу присваивается порядковый номер (ранг). Если заменить в подстановке
индексы их номерами (рангами), то мы получим вместо индексной записи подстановки
ее новую запись, которую назовем ранговой. Ранговая запись содержит всю информацию о подстановке и во многих случаях более удобна по сравнению с индексной. Пользуясь подстановкой в рангах, удобно переходить от одной системы индексов к другой. Можно переставлять столбцы подстановки без опасения потерять последовательность координат основного пространства. Однако полностью отказаться от индексной записи подстановки нельзя, так как обозначения
и
имеют различный смысл: в первом случае это вся совокупность элементов матрицы
, во втором случае – один элемент со значениями индексов
.
Подстановки, имеющие одну и ту же запись в рангах, назовем эквивалентными (равными по действию на матрицу). Так, подстановки
,
эквивалентны, поскольку в рангах они имеют одну и ту же запись
.
Если подстановки и
эквивалентны, то для любой
-мерной матрицы
выполняется равенство
,
которое означает, что транспонирование матрицы может быть задано с помощью одной из эквивалентных подстановок.
Поскольку любая транспонированная матрица рассматривается в том же пространстве, в котором определена исходная матрица
(в исходном пространстве), то в качестве верхней строки любой подстановки будем использовать строку
в обозначении матрицы
(2.8.1).
Дата: 2019-02-02, просмотров: 761.