Подход функционального анализа характеризуется тем, что многомерные данные рассматриваются как элементы некоторых абстрактных математических пространств. При построении математических моделей данных используется понятие отображения этих пространств. Теоретической основой этого подхода является функциональный анализ [18, 25, 27, 77, 98, 103].

Математические пространства

Математическим пространством называется совокупность объектов (элементов), между которыми установлены определенные соотношения. Очевидно, что произвольное множество еще не математическое пространство, поскольку между его элементами не установлены какие-либо соотношения.

Пространство, элементами которого являются функции, называют функциональным пространством.

Непустое множество элементов  и т. д. называется линейным пространством, если в нем определены

1) операция сложения элементов со свойствами

§  (коммутативность);

§  (ассоциативность);

§  (существование нулевого элемента );

2) операция умножения элементов на любое число  со свойствами

§ ;

§ ;

§ ;

§ .

Приведем примеры линейных пространств.

Пример 1.7. Действительная прямая с известными операциями над действительными числами.

Пример 1.8. Пространство точек (векторов)  с известными правилами сложения векторов и умножения их на число.

Пример 1.9. Пространство функций  с веденными на нем операциями сложения функций и умножения их на число. Такое пространство называется линейным функциональным.

Отметим, что линейные пространства оказываются удобными для исследований, в связи с чем все известные и практически важные пространства оказываются линейными.

Множество  называется метрическим пространством, если для любых двух его элементов  введена функция , которая называется расстоянием между  и  или метрикой, удовлетворяющая свойствам

§  (симметричность);

§  (неотрицательность);

§  (неравенство треугольника).

Пример 1.10. Действительная прямая с расстоянием между точками  представляет собой метрическое пространство.

Пример 1.11. Пространство точек (векторов)  с расстоянием между двумя точками  вида

также является метрическим пространством.

Пример 1.12. Пространство функций , интегрируемых на отрезке , с расстоянием между двумя функциями ,  вида

,

является метрическим функциональным пространством.

Множество  называется нормированным пространством, если для любого  определена норма , обладающая свойствами

§  и  (неотрицательность);

§  (выпуклость);

§ , где  – число.

Норма  представляет собой не что иное, как длину вектора .

Если в пространстве введена норма, то в этом пространстве можно легко ввести метрику с помощью равенства

.

С помощью этого соотношения любое нормированное пространство становится также и метрическим.

Пример 1.13. Действительная прямая  становится нормированным пространством, если для любого действительного числа  определить норму , где  – модуль числа .

Пример 1.14. Если в -мерном арифметическом пространстве  определить норму вектора  выражением

,

то такое пространство становится нормированным. В этом пространстве можно теперь определить метрику с помощью выражения

и тем самым превратить его в метрическое пространство.

Наиболее распространенным способом введения нормы в линейном пространстве  является введение в нем скалярного произведения двух элементов. Скалярным произведением двух элементов  называется действительная функция, обозначаемая как  и обладающая свойствами

§  (симметричность);

§ ;

§ , где  – число;

§  (неотрицательность).

Пространство с введенным в нем скалярным произведением называется евклидовым пространством. В евклидовом пространстве легко ввести норму

,

сделав евклидово пространство нормированным. Можно также ввести метрику

,

сделав пространство метрическим.

Пример 1.15. Если в -мерном арифметическом пространстве  определить скалярное произведение двух векторов  и  выражением

,

то мы получим -мерное евклидово пространство. Норма в таком пространстве определяется выражением

,

а метрика (расстояние) – выражением

.

Такое расстояние, как известно, называется евклидовым. Евклидово -мерное арифметическое пространство будем обозначать .