Задача 114. Построить уравнения прямой в пространстве (канонические, параметрические) по точке и направляющему вектору .

Решение. Если отложить вектор от  к произвольной точке , то вектор  коллинеарен вектору , то есть их координаты пропорциональны. Тогда:

(это мы сейчас получили канонические уравнения).

Обратите внимание, что в знаменателях здесь оказались именно координаты направляющего вектора!

Чертёж: 

Как мы видим, прямая в пространстве задаётся не одним уравнением, а системой уравнений. Здесь как минимум 2 знака равенства. 1-я дробь равна 2-й, а 2-я равна 3-й. На самом деле здесь даже 3 уравнения, ведь ещё и 1-я равна 3-й.

Если теперь каждую такую дробь приравнять к некоторому параметру , то: , ,  , следовательно:  

, , .

Тогда  - параметрические уравнения.

Можно их записать ещё и в векторной форме: .

Они задают движение точки по этой прямой во времени. Здесь при  мы как раз оказались бы в исходной точке, а при  в конце направляющего вектора.

Ответ. ,

Задача 115. Построить уравнения прямой в пространстве (канонические, параметрические) по двум точкам  и  

Решение. В качестве направляющего здесь можно рассматривать вектор . А далее можно уже делать тем же методом, как в прошлой задаче. Есть точка  и направляющий . Информация о 2-й точке при этом уже больше не нужна. Проведём от  вектор к произвольной точке , это вектор . Он пропорционален вектору , тогда

Это и есть канонические уравнения. Параметрические также можно получить с их помощью: .

 Ответ.  и .

Задача 116. Построить уравнения прямой, лежащей в пересечении двух плоскостей  и .

Решение. Векторное произведение нормалей  это направляющий вектор, вычислим его.  =

 = .

Итак, направляющий вектор . 

Теперь нужно найти хотя бы одну точку на этой прямой. Чтобы взять произвольную точку из пересечения плоскостей, можно положить  и решить систему, вычислив . 

Два уравнения, без , приводят к такой системе: .

Выразим из 2-го  и подставим в 1-е.

Получим . Тогда , т.е. .

Но тогда . Итак, получили точку .

Вектор от этой точки к произвольной точке  равен  и он пропорционален направляющему вектору. Тогда

 канонические уравнения этой прямой.

Приравнивая все эти дроби к , можно вычислить и параметрические уравнения .

Ответ. , . 

Задача 117. Найти параметрические и канонические уравнения прямой, перпендикулярной к плоскости треугольника с вершинами , ,  и проходящей через вершину А.   

Решение. Направляющие АВ и АС это (3,3,0) и .

Их векторное произведение:  

 =  = .

Итак, вектор . Но можно в том же направлении выбрать вектор короче в 3 раза (для удобства вычислений) ведь направление от этого не изменится. Итак, пусть направляющий для прямой , точка . Вектор от  к произвольной точке имеет вид

. Он коллинеарен , есть пропорциональность координат. Тогда . Это и есть канонические уравнения. Перейти к параметрическим можно так же, как и в прошлых задачах: приравнять все дроби к  и выразить всё через .

Ответ. Канонические , 

параметрические .