Взаимосвязь определителя большего порядка и меньшего порядка. Разложение по строке

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Запишем разложение определителя порядка 3.

= .

Вынесем за скобку элементы первой строки (они есть в 2 из 6 слагаемых): .

То, что получилось в скобках, называют алгебраическими дополнениями элементов соответственно .

Выражение в 1-й скобке называется алгебраическим дополнением к элементу , соответственно

- алгебраическим дополнением к , - алгебраическим дополнением к .

Заметим, что , , .

Если для элемента и вычеркнуть всю строку и весь столбец, где он находится, образуется подматрица порядка (n-1). Определитель подматрицы порядка (n-1), которая получилась путём вычёркивания строки номер i и столбца номер j, называется дополняющим минором к элементу . Всего таких миноров , например для матрицы 3 порядка их будет 9 штук. Минор, соответствующий элементу , обозначается .

Мы видим, что в одних случаях алгебраическое дополнение равно минору, а где-то противоположно ему по знаку. Взаимосвязь алгебраических дополнений и миноров для произвольных i,j:

, то есть знаки меняются в шахматном порядке, для верхнего левого элемента знак «+».

Итак, определители можно вычислять разложением по строке:

= .

Разложение возможно по любой строке или по любому столбцу. Так, например, в той же рассмотренной ранее записи можно собрать пары слагаемых, содержащих и точно так же вынести за скобку, получится = =

= здесь чередование знака начинается с минуса, что и должно быть в соответствии с шахматным порядком, о чём сказано выше.

Ещё один важный факт! Если матрица треугольная, то . Докажем этот факт.

Пусть дан определитель .

Если разложить его по первому столбцу, где всего один ненулевой элемент и остальные нулей, то сразу переходим к минору меньшего порядка:

+ 0 + ... + 0.

для него получается аналогичное действие, тогда на следующем шаге получаем умножаются на определитель треугольной матрицы, у которой угловой элемент . Продолжая этот процесс, получим .

Задача 24. Вычислить определитель .

Решение. Заметим, что 1-й и 3-й столбец содержат очень похожие группы элементов а именно 1 и 2. Вычтем из 1-го столбца 3-й, а затем разложим по 1-му столбцу.

= = =

Ответ. 24.

Задача 25 (а,б). Вычислить определитель 4 порядка двумя способами: а) разложением по 1-й строке. б) с помощью преобразований матрицы.

Решение. Первый способ.

Разложение по 1-й строке:

Очевидно, что последние 2 минора 3-го порядка вычислять не надо, так как они умножаются на 0. Осталось вычислить два минора 3 порядка, то есть мы свели определитель 4 порядка к определителям 3 порядка.

= .

Ответ. 0.

Второй способ. Из 2-го столбца вычтем 1-й

А теперь разложим по 1-й строке, причём реально для вычисления останется только один минор третьего порядка.

. Теперь ко 2-й строке прибавим 1-ю а из 3-й вычтем утроенную 1-ю. А затем уже к 3-й строке прибавляем 2-ю.

= = = 0 .

Ответ. 0.

Задача 26. Вычислить определитель .

Решение. Можем разложить по 1-й строке (там всего 2 элемента отличны от 0). Но можно сначала упростить матрицу, а именно, отнять от 4 столбца 1-й столбец. Тогда в 1-й строке будет всего один ненулевой элемент. Также выносим из последнего столбца.

= = = =

= .

Ответ. .

Задача 27. Вычислить определитель .

Решение. Прибавим 1-ю строку ко 2-й, 3-й и 4-й.

. Эта матрица треугольная, определитель равен произведению чисел по диагонали, то есть 24.

Ответ. 24.

Домашняя Д3. Найти определитель . Ответ. .

Домашняя Д-4. Вычислить определитель . Ответ. 28.

Домашняя Д-5. Вычислить определитель . Ответ. 50.

Домашняя Д-6. Вычислить определитель .

Ответ. 120.

Практика № 4. Дата 18.09.2018.

Задача 28. Вычислить определитель .

Решение. Наиболее удобно, если мы хазотим применить метод Гаусса для упрощения матрицы, поставить число 1 в левый верхний угол. Сделаем это, поменяв местами 1 и 3 столбцы.

Меняя местами два столбца, долдны домножить на , что и сделано.

Но теперь заметим ещё и тот факт, что в 4 стоке только отрицательные числа. Можно вынести коэффициент их этой строки, и знак перед всем выражением снова станет + Итак:

В последней строке всего 2 числа из 4-х отличны от 0. Вычтем из 1-го столбца второй, умноженный на 8, чтобы в последней строке оставить лишь одно число. А потом разложим по последней строке.

= =

а этот определитель уже вычислим обычным путём, например, допишем копии 1 и 2 столбцов.

По зелёным линиям умножаем тройки чисел и не меняем знак, а по красным - меняем знак (изучали ранее этот метод).

= = .

Ответ. .

Обратная матрица.

Формула вычисления элементов обратной матрицы: .

Алгоритм нахождения .

1. Проверить невырожденность с помощью определителя.

2. Составить матрицу из дополняющих миноров M_ij.

3. Изменить знаки в шахматном порядке, то есть домножить на (-1)ⁱ⁺^j, где i,j - номера строки и столбца.

4. Транспонировать полученную матрицу.

5. Поделить на определитель исходной матрицы.

Задача 29. Найти обратную матрицу .

Решение. . Вывод: , существует обратная матрица.

Матрица из миноров: .

Матрица из алг. дополнений: .

Транспонируем её: .

Делим её на определитель, и записываем ответ: = .

Можно сделать проверку: = .

Ответ. = .

Задача 30. Найти обратную матрицу для .

Решение. 1). Проверяем определитель , так что обратная матрица существует.

2) Составляем матрицу из дополняющих миноров, то есть для каждой клетки вычёркиваем строку и столбец, остаётся подматрица порядка 1, то есть то число, которое напротив, как раз и является дополняющим минором. Получаем .

3) В шахматном порядке меняем знак там, где i+j нечётное.

Тем самым, мы переходим от к . Получили .

4) Транспонируем эту матрицу. .

5) Определитель был равен 1. Делить на 1 не обязательно, можно автоматически считать, что уже и так разделили.
Ответ. .

Проверка: = = .

Минута теории. Докажем, что не существует различных матриц «обратной слева» и «обратной справа». Так как коммутативность в общем случае не выполняется, то вовсе не очевидно, что обратная матрица единственна, можно предположить, что левая обратная и правая обратная - различны. Докажем, что если и , то .

Доказательство. Пусть и .

По закону ассоциативности, можно записать такое равенство: . Но тогда получается , то есть .

Перейдём к задачам с матрицами 3 порядка.

Задача 31. Найти обратную матрицу .

Решение. Сначала ищем определитель. Так как матрица треугольная, то достаточно перемножить числа по диагонали. .

Строим матрицу, состоящую из дополняющих миноров.

Зачёркиваем ту строку и тот столбец, где находится элемент, и остаётся минор 2 порядка из 4 элементов.

На схеме показано, что именно надо зачеркнуть:

= = .

Теперь надо сменить знаки в шахматном порядке, т.е. переходим от миноров к алгебраическим дополнениям. Обведено красным, где надо менять знак. Ясно, что 0 остаётся 0, там знак менять нет смысла.