Матричный метод.

, или . Слева домножим обратную матрицу:

, то есть , то есть . Получается, что все  можно найти так: умножить обратную матрицу на правую часть.

Задача 49. Решить систему уравнений  .

Решение. Матричный вид системы: , обратную матрицу для этой матрицы ранее находили, это . Тогда = . Итак, , .

Ответ. , .

Метод Крамера.

Пусть А - основная матрица системы линейных уравнений. Если удалить какой-либо i-й столбец основной матрицы и внести на это место правую часть, то получится некая новая квадратная матрица, обозначим её . Тогда верны следующие формулы для .  для каждого i от 1 до n.

Доказательство формул Крамера

Запишем матричное равенство , учитывая структуру обратной матрицы:

тогда  как видим, алгебраические дополнения здесь именно к элементам 1-го столбца, и умножаются они на , то есть, как если бы вместо 1-го столбца была поставлена правая часть системы. Аналогично и для остальных номеров переменных.

Рассмотрим на примере той же самой системы из прошлой задачи.

Задача 50. .  решить методом Крамера.

Решение. , .

Ответ. , .

Задача 51. Решить систему линейных уравнений .

Решение.  

Матричным методом.

Запишем систему в виде: .

Найдём обратную матрицу для А.

.

 =  = = .

Методом Крамера.

 =  = .

Ответ. .

Метод Гаусса.

Метод состоит в преобразовании основной матрицы к треугольному виду. Можно последовательно обнулить элементы ниже углового , вычитая из других уравнений 1-е, домноженное на коэффициент  (для каждой строки разные). Теперь  будет только в первом уравнении, в других нет. Затем так же точно можем обнулить всё ниже чем , вычитая из каждой строки 2-ю с соответствующим коэффициентом. Кстати, при этом нули, уже расположенные слева, не изменятся. Затем обнулим все элементы ниже , ниже , и так далее. В итоге для основной матрицы системы получится треугольный вид: нули везде ниже главной диагонали. При преобразованиях можно работать с расширенной матрицей, а не системой, чтобы не переписывать каждый раз  букв « ». Обратите внимание, что правая часть подвергается тем же преобразованиям, что и вся строка, где находится этот .  После преобразований надо восстановить полную запись системы с неизвестными, но в ней уже будет хорошее свойство: чем ниже уравнение, тем меньше переменных, а в последнем вообще одна лишь . Это и позволит нам сначала выразить , затем с этой известной информацией подняться в предпоследнее уравнение, и найти , и так дажее до 1-го уравнения, где найдём .

Задача 52.    Решить систему уравнений   .

Решение. Преобразования расширенной матрицы:

.

Сначала из 2-й строки вычли 1-ю, а из 3-й удвоенную 1-ю. 

На втором этапе, к 3-й прибавили 2-ю.

Система после преобразований:

, из последнего = 1, подставляем в предпоследнее, будет , то есть =1. Далее, уже известные  и  подставим в первое уравнение, и получим =1.

Ответ. =1, =1, = 1, или .