Приходовский М.А.
Математика
Курс практических занятий
Семестр 1
Учебное пособие
Для специальности
Прикладная информатика в экономике»
Томск
ТУСУР
2018
Электронное учебное пособие составлено и скорректировано с учётом реального проведения практических занятий на ФСУ в группе 448-2 осенью 2018 года. Даны с подробным разбором задачи, которые решались на каждом практическим занятии. Также приведены некоторые объяснения или доказательства свойств, которые по ходу дела были рассказаны группе 448-2 во время практических занятий.
Пособие может представлять методический интерес для преподавателей, работающих на аналогичных специальностях, как материал для планирования занятий.
Оглавление по темам
| Действия над матрицами............................................................... Определители. ................................................................................ Обратная матрица........................................................................... Ранг матрицы................................................................................... Системы линейных уравнений…………....................................... Системы линейных однородных уравнений................................. Элементы векторной алгебры.......……………………….……… Линейные операторы....................................................................... Прямая на плоскости....................................................................... Плоскость в пространстве.............................................................. Прямая в пространстве................................................................... Кривые.............................................................................................. Множества и функции.................................................................... Предел последовательности.......................................................... Предел функции.............................................................................. 1-й замеч. предел............................................................................ 2-й замеч. предел............................................................................ Главная часть бесконечно-малой................................................. Непрерывность и точки разрыва.................................................. Дифф.исчисление........................................................................... Частные производные и градиент................................................. Уравнение касательной ................................................................. Экстремумы, наибольшее и наименьшее значение..................... Формула Тейлора............................................................................. Условные экстремумы ................................................................... Выпуклость графика и 2 производная........................................... Асимптоты ...................................................................................... | 5 15 25 34 43 58 65 71 |
| Практика № | Дата | Задачи |
| 1 | 04.09.2018 | 1 - 8 |
| 2 | 11.09.2018 | 9 - 18 |
| 3 | 14.09.2018 | 19 - 27 |
| 4 | 18.09.2018 | 28 - 35 |
| 5 | 25.09.2018 | 36 - 48 |
| 6 | 28.09.2018 | 49 - 58 |
| 7 | 02.10.2018 | 59 – 67 |
| 8 | 09.10.2018 | 68 - 77 |
| 9 | 12.10.2018 | 78 – 87 |
| 10 | 16.10.2018 | 88 – 100 |
| 11 | 23.10.2018 | 101 - 110 |
| 12 | 26.10.2018 | 111 - 118 |
| 13 | 30.10.2018 | 119 - 128 |
| 14 | 06.11.2018 | 129 - 136 |
| 15 | 08.11.2018 | 137 - 146 |
| 16 | 13.11.2018 | |
| 17 | 20.11.2018 | |
| 18 | 22.11.2018 | |
| 19 | 27.11.2018 | |
| 20 | 04.12.2018 | |
| 21 | 06.12.2018 | |
| 22 | 11.12.2018 | |
| 23 | 18.12.2018 | |
| 24 | 20.12.2018 | |
| 25 | 25.12.2018 |
Практика № 1. Дата 04.09.2018 (до 1-й лекции).
Вводная часть. О влиянии размерности на скорость убывания энергии волн. Землетрясения и цунами. Векторы и действия над ними. Матрицы и их связь с системами векторов.
Действия над матрицами.
Задача 1. Найти сумму и разность матриц: 
+ 
Решение. Складываем поэлементно:
= 
.
Вычитаем:
= 
.
Ответ. Сумма: разность: .
Задача 2. Найти сумму матриц: 
+ 
Решение. Складываем поэлементно:
= 
.
Ответ. .
Задача 3. Даны матрицы 
, 
.
Найти 
и 
.
Решение. Запишем эти матрицы. Если первую разбить на строки, а вторую на столбцы, то видно, что есть всего 4 варианта скалярно умножить друг на друга вектор-строку их первой на вектор-столбец из второй.
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
Например, если умножаем строку номер 1 на столбец номер 2, то и число, которое при этом получается, ставим в 1 строку 2 столбец новой матрицы. Итак,
= 
.
Теперь найдём . В данном случае первую матрицу можно разрезать на 3 строки, а вторую на 3 столбца. Таким образом, получаем 9 чисел.
Покажем, например, как 1-я строка скалярно умножается на 1-й столбец, они обведены. 
.
Ответ. 
.
Задача 4. Найти произведения матриц:
, 
, .
Решение.
= 
= 
= .
= 
= 
= 
.
= 
= 
= 
.
Ответ. , , .
Примечания.
1) Видим, что в общем случае может не выполняться закон коммутативности при умножении матриц, то есть 
2) При умножении на матрицу, состоящую из всех единиц, исходная не получается, а вот если единицы по диагонали - получается. Матрица называется единичной матрицей. При этом выполняется 
.
Задача 5. Дана матрица 
найти 
.
Решение. Умножим матрицу саму на себя, то есть две её копии напишем рядом и умножим их.
= 
=
= 
. Ответ. .
Как видно из этого примера, для матриц, в отличие от чисел, возможно, что получается нулевой объект в ответе, притом что в исходной матрице вообще ни одного нуля не было. Это из-за особенностей её строения: правый столбец в 2 раза меньше, чем левый, а нижняя строка в минус 2 раза больше, чем верхняя. И вообще, если взять пару матриц, где у первой будет пропорциональность строк (в k раз больше) а у второй - столбцов (в минус k раз меньше) получим такой же эффект.
Задача 6. Найти произведение матриц 
.
Решение. Размеры согласованы: длина строки 1-й матрицы равна высоте столбца 2-й матрицы. Первую можно мысленно разрезать на 2 строки, вторую на 3 столбца. Итого будет 6 различных произведений строк на столбцы.
= 
. Ответ. .
Задача 7. Вычислить 
и 
.
Заметим, что получаются 1-й и 2-й столбец матрицы.
= 
, = 
.
Квадратная матрица отображает вектор в вектор. Коротко о понятии линейного оператора и строении его матрицы и о том, что при умножении на i-й базисный вектор получается столбец номер i.
Практика № 2. Дата 11.09.2018.
Задача 9А. Найти произведение: 
.
Задача 9Б. 
.
Решение. В 1-м случае размеры 
и 
, согласованы, умножение возможно. Во 2-м случае 
и 
, тоже согласованы (хоть столбцов и больше, но всё равно длина строки 1-й матрицы равна высоты столбца 2-й матрицы). Просто в ответе для 3Б получится ещё один лишний столбец справа.
= 
=
= 
.
Для 3Б 1-я и 2-я строка умножаются не только на 1-й и 2-й, но ещё и на 3-й столбец. Дополнительно получаем
= 
= 
.
Выделим красным цветом новый столбец:
Ответ. 9А: , 9Б: 
.
Задача 10. Даны матрицы
, 
, 
. Найти 
.
Решение. Так как матрица С находится справа во всех слагаемых, то для удобства можно использовать приведение подобных = 
- тогда умножение надо будет проводить всего один раз, а не два.
Сначала запишем 
.
= 
= 
.
Теперь умножим на матрицу С. Точно так же, как и в прошлом примере, мысленно обведём строку из 1-й матрицы на столбец из 2-й.
Есть 4 варианта это сделать:
= 
= 
= 
.
Ответ. 
.
Задача 11. Даны матрицы 
. Найти 
.
Решение. 
= 
= 
.
= 
= 
.
Ответ. 
.
Задача домашняя № Д1.
Найти произведение матриц 
.
(Ответ: нулевая матрица)
Задача 12. Даны матрицы:
Найти .
Решение.
= 
= 
.
Теперь поставим их наоборот, но при этом произведением будет уже не матрица 2 порядка, а матрица 3 порядка: теперь у первой 3 строки, но более коротких, а у второй 3 столбца. Вариантов умножить строку на столбец будет 9.
= 
= 
.
Ответ. 
, 
.
Задача 13. Даны матрицы 
. Найти .
Решение.
= 
= 
.
= 
= 
.
Ответ. 
, .
Задача 14. Дана матрица 
. Найти 
.
Решение. Сначала умножим две, и найдём 
.
= 
= 
.
Теперь домножим ещё на одну матрицу А, чтобы найти .
= 
= 
.
Ответ. .
Замечание. Несмотря на то, что в общем случае коммутативности по умножению матриц нет, но если матрица 
совпадает с матрицей 
, тогда 
. Например, в этой задаче, 
из-за ассоциативности, т.е. неважно, домножить третий раз слева или справа.
Домашняя № Д2. Найти 
для этой же матрицы. Замечание. Здесь есть 2 метода решения: либо умножить , полученную в прошлой задаче, ещё раз на 
, либо взять , полученную на первом этапе, и её умножить саму на себя. Ответ. 
.
Задача 15. Найти произведение 
, где
, 
, 
.
Решение. Вычислим 
, сначала умножим первые две матрицы:
= 
. Теперь умножим на третью матрицу.
= 
. Ответ. .
Замечание. Если вычислять 
, то получается точно такой же результат, т.к. выполняется закон ассоциативности.
Замечание. При умножении квадратной матрицы на вектор-столбец получается снова вектор-столбец, то есть квадратная матрица фактически выступает в роли функции, отображающей векторы в пространстве (или на плоскости, если n = 2).
Определители.
Задача 16. Найти определитель 
.
Решение. = 
.
Ответ. 18.
Задача 17. Найти определитель 
.
Решение.
То, что перемножено по зелёным линиям, включим в сумму со знаком плюс, а по красным - со знаком минус.
= 
.
Ответ. 5.
Задача 18. Найти определитель 
.
Решение.
. Ответ. 11.
Практика № 3. Дата 14.09.2018.
Задача 19. Найти определитель 
.
Решение.
. Ответ. 
.
Задача 20. Найти параметр 
, при котором определитель равен 0:
.
Решение. Вычислим определитель и решим получившееся уравнение:
, 
, 
, 
.
Ответ. .
Задача 21. Найти объём тетраэдра, вершины которого
A(1,1,1), B(2,1,3), C(2,2,4), D(1,2,4).
Решение. Объём тетраэдра ровно в 6 раз меньше объёма параллелепипеда с рёбрами AB, AC, AD.
Найдём эти векторы, и сначала вычислим объём параллелепипеда с помощью определителя, затем поделим на 6.
AB = (1,0,2), AC = (0,1,3), AD = (1,1,3).
= 
, 
.
Ответ. Объём тетраэдра равен 
.
Задача 22. Вычислить определитель 
с помощью разложения по первой строке.
Решение. Выберем дополняющий минор для каждого элемента 1-й строки, и домножим на 
=
= 
= 8. Ответ. 8.
Важное свойство: если к любой строке прибавить другую строку, домноженную на число, 
не изменится.
Доказательство.
. Рассмотрим 
=
.
Геометрический смысл. Если к вектору b прибавить вектор a, умноженный на любой коэффициент, то площадь параллелограмма не изменится, основание и высота остались старыми, см. чертёж:
Здесь площадь параллелограмма, образованного векторами a,b такая же, как для образованного векторами a, b+2a.
Задача 23. Вычислить определитель 
методом Гаусса (приведением к треугольной форме) используя свойство, указанное выше.
Решение. Вычитаем из 2-й строки удвоенную 1-ю, и из 3-й 1-ю.
= 
затем вычитаем из 3-й строки 2-ю.
получили 
= 2. Ответ. 2.
Решение. Первый способ.
Разложение по 1-й строке:
Очевидно, что последние 2 минора 3-го порядка вычислять не надо, так как они умножаются на 0. Осталось вычислить два минора 3 порядка, то есть мы свели определитель 4 порядка к определителям 3 порядка.
= 
.
Ответ. 0.
Второй способ. Из 2-го столбца вычтем 1-й
А теперь разложим по 1-й строке, причём реально для вычисления останется только один минор третьего порядка.
. Теперь ко 2-й строке прибавим 1-ю а из 3-й вычтем утроенную 1-ю. А затем уже к 3-й строке прибавляем 2-ю.
= 
= 
= 0 .
Ответ. 0.
Задача 26. Вычислить определитель 
.
Решение. Можем разложить по 1-й строке (там всего 2 элемента отличны от 0). Но можно сначала упростить матрицу, а именно, отнять от 4 столбца 1-й столбец. Тогда в 1-й строке будет всего один ненулевой элемент. Также выносим 
из последнего столбца.
= 
= 
= 
=
= 
.
Ответ. .
Задача 27. Вычислить определитель 
.
Решение. Прибавим 1-ю строку ко 2-й, 3-й и 4-й.
. Эта матрица треугольная, определитель равен произведению чисел по диагонали, то есть 24.
Ответ. 24.
Домашняя Д3. Найти определитель 
. Ответ. 
.
Домашняя Д-4. Вычислить определитель 
. Ответ. 28.
Домашняя Д-5. Вычислить определитель 
. Ответ. 50.
Домашняя Д-6. Вычислить определитель 
.
Ответ. 120.
Практика № 4. Дата 18.09.2018.
Задача 28. Вычислить определитель 
.
Решение. Наиболее удобно, если мы хазотим применить метод Гаусса для упрощения матрицы, поставить число 1 в левый верхний угол. Сделаем это, поменяв местами 1 и 3 столбцы.
= 
Меняя местами два столбца, долдны домножить на 
, что и сделано.
Но теперь заметим ещё и тот факт, что в 4 стоке только отрицательные числа. Можно вынести коэффициент их этой строки, и знак перед всем выражением снова станет + Итак:
В последней строке всего 2 числа из 4-х отличны от 0. Вычтем из 1-го столбца второй, умноженный на 8, чтобы в последней строке оставить лишь одно число. А потом разложим по последней строке.
= 
= 
а этот определитель уже вычислим обычным путём, например, допишем копии 1 и 2 столбцов.
По зелёным линиям умножаем тройки чисел и не меняем знак, а по красным - меняем знак (изучали ранее этот метод).
= 
= 
.
Ответ. .
Обратная матрица.
Формула вычисления элементов обратной матрицы: 
.
Алгоритм нахождения 
.
1. Проверить невырожденность с помощью определителя.
2. Составить матрицу из дополняющих миноров Mij.
3. Изменить знаки в шахматном порядке, то есть домножить на (-1)i+j, где i,j - номера строки и столбца.
4. Транспонировать полученную матрицу.
5. Поделить на определитель исходной матрицы.
Задача 29. Найти обратную матрицу 
.
Решение. 
. Вывод: 
, существует обратная матрица.
Матрица из миноров: 
.
Матрица из алг. дополнений: 
.
Транспонируем её: 
.
Делим её на определитель, и записываем ответ: = 
.
Можно сделать проверку: 
= 
.
Ответ. = 
.
Задача 30. Найти обратную матрицу для 
.
Решение. 1). Проверяем определитель 
, так что обратная матрица существует.
2) Составляем матрицу из дополняющих миноров, то есть для каждой клетки вычёркиваем строку и столбец, остаётся подматрица порядка 1, то есть то число, которое напротив, как раз и является дополняющим минором. Получаем 
.
3) В шахматном порядке меняем знак там, где i+j нечётное.
Тем самым, мы переходим от 
к 
. Получили 
.
4) Транспонируем эту матрицу. 
.
5) Определитель был равен 1. Делить на 1 не обязательно, можно автоматически считать, что уже и так разделили.
Ответ. .
Проверка: 
= = 
.
Минута теории. Докажем, что не существует различных матриц «обратной слева» и «обратной справа». Так как коммутативность в общем случае не выполняется, то вовсе не очевидно, что обратная матрица единственна, можно предположить, что левая обратная и правая обратная - различны. Докажем, что если 
и 
, то 
.
Доказательство. Пусть и .
По закону ассоциативности, можно записать такое равенство: 
. Но тогда получается 
, то есть .
Перейдём к задачам с матрицами 3 порядка.
Задача 31. Найти обратную матрицу 
.
Решение. Сначала ищем определитель. Так как матрица треугольная, то достаточно перемножить числа по диагонали. 
.
Строим матрицу, состоящую из дополняющих миноров.
Зачёркиваем ту строку и тот столбец, где находится элемент, и остаётся минор 2 порядка из 4 элементов.
На схеме показано, что именно надо зачеркнуть:
= 
= 
.
Теперь надо сменить знаки в шахматном порядке, т.е. переходим от миноров к алгебраическим дополнениям. Обведено красным, где надо менять знак. Ясно, что 0 остаётся 0, там знак менять нет смысла.
Получили: 
= 
.
Транспонируем эту матрицу, то есть бывшие строки запишем по столбцам.
= 
. И осталось разделить на 
.
Ответ. 
.
Задача 32. Найти обратную матрицу 
.
Решение. Найдём определитель
.
Найдём матрицу из дополняющих миноров к каждой из 9 клеток.
= 
= 
.
Меняем знаки в шахматном порядке, то есть там, где i+j нечётное.
= 
.
Затем транспонируем эту матрицу.
= 
. Осталось только разделить на 
.
Ответ. 
.
Задача 33. Найти обратную матрицу 
.
Решение. Сначала находим определитель.
.
Найдём матрицу из дополняющих миноров.
= 
= 
.
Меняем знаки в шахматном порядке, там, где i+j нечётное.
= 
.
Затем транспонируем эту матрицу.
= 
. Затем делим на 
.
Ответ. 
= 
.
Задача 34. Матричным методом решить систему уравнений:
Решение. Запишем систему в виде: 
.
Обратите внимение, что основная матрица системы это та самая матрица, для которой мы нашли обратную в прошлой задаче.
Если у нас есть равенство 
, то 
, тогда 
.
= 
= 
.
Ответ. 
=1, 
=1, 
=0.
Задача 35. Найти обратную матрицу 
.
Решение. Сначала вычислим определитель: 
.
= 
= 
.
= 
, = 
.
Исходный определитель был равен 1, так что делить не нужно.
Ответ. 
.
Практика № 5. Дата 25.09.2018.
Матричные уравнения. Пусть А - квадратная матрица 
, 
- матрицы размера 
(чаще всего в таких задачах 
, то есть все рассматриваемые матрицы квадратные), причём 
- неизвестная матрица. Тогда определено умножение 
. Матрицу таким образом. Домножим всё равенство слева на обратную матрицу 
: 
. Тогда 
, то есть 
.
Задача 36. Решить матричное уравнение , где 
.
Решение. Требуется найти 
, заметим, что матрица А тут в точности такая, для которой мы искали обратную в прошлой задаче.
Так, можно использовать 
.
= 
= 
.
Ответ. 
. Проверка. = .
Задача Д-9. Решить матричное уравнение 
.
Ответ. 
.
Ранг матрицы.
Для прямоугольных матриц не существует понятие определителя, однако там можно выбирать квадратные подматрицы, и для них определитель вычислить можно. Если задать какие-нибудь k номеров строк и k номеров столбцов, то на пересечениях получится минор из k2 элементов. Он может быть вырожденным либо нет. Существует минор максимального порядка, который является невырожденным. Его порядок и называется рангом матрицы.
Определение. Порядок наибольшего невырожденного минора называется рангом матрицы. Обозначается 
.
Ранг прямоугольной матрицы размера 
меньше или равен, чем минимальное из чисел m, n. Причина: минор более высокого порядка в этой матрице просто не существует, ведь размер вписанного квадрата не может превышать ни длину, ни ширину прямоугольника, в который вписан этот квадрат.
Задача 37. Найти ранг матрицы 
.
Решение. Здесь есть невырожденный минор порядка 1, это любой ненулевой элемент. Также есть минор порядка 2, например 
.
Чтобы выяснить, равен ранг 2 или 3, надо перейти к рассмотрению миноров 3 порядка, причём их можно рассматривать не все, а достаточно только окаймляющие, то есть содержащие уже найденный минор меньшего порядка.
поэтому ранг не равен 3, а остаётся равен 2, так как минор 2 порядка уже найден. Миноров 4 порядка в этой матрице нет, так как всего 3 строки. Итак, 
. Цветом закрашен базисный минор.
Ответ. 
.
Метод элементарных преобразований для нахождения ранга.
Бывает лучше упростить матрицу, чтобы видеть, какие миноры равны 0 или не равны 0. Как и при вычислении определителей, можно прибавлять к строке другую строку, умноженную на число, то же самое со столбцами. Но при нахождении ранга даже больше возможных действий, чем при вычислении определителя: можно менять местами строки (столбцы), умножать строки (столбцы) на коэффициент. Дело в том, что соответствующие миноры в этом случае меняют знак или умножаются на с, но ведь свойство быть равными 0, либо не равными 0, от этого не меняется!
Если число 
, то 
и 
.
Задача 38. Найти ранг матрицы 
Решение. Из 2-й строки вычесть 1-ю, а из 3-й удвоенную 1-ю. 
теперь из 3-й строки вычтем 2-ю 
.
Ниже главной диагонали получились нули.
Теперь лучше видно базисный минор порядка 3. Ранг = 3. Если бы оказалось, что последняя строка состоит из нулей, то тогда был бы ответ ранг матрицы = 2.
Ответ. 
.
Задача 39. Найти ранг матрицы. 
.
Решение.
Метод 1. Выбираем окаймляющие миноры, начиная от левого верхнего угла. Видно, что минор 2 порядка не равен 0, поэтому ранг больше или равен 2. 
.
Вычисляя минор 3 порядка (а он здесь единственный, это и есть сам определитель матрицы) видим, что он равен 0.
. Тогда ранг не равен 3.
, но при этом 
. Остаётся единственный вариант: 
.
Метод 2. Преобразуем матрицу к треугольному виду.
Вычитаем из 2-й строки 1-ю, и из 3-й удвоенную 1-ю.
Теперь 2-ю строку, умноженную на 0,5, прибавим к 3-й.
Теперь видно, что 3-я строка состоит из нулей, поэтому ранг не может быть равен 3. Минор 2-го порядка тоже сразу виден, это 
.
Ответ. .
Задача 40. Найти ранг матрицы 
.
Решение.
Теперь 2-ю строку, домноженную на 10, прибавим к 3-й.
.
Итак, исходная матрица сводится к такой, в которой уже есть треугольная структура в первых трёх столбцах.
Очевидно, что обведённый минор равен 46, не равен 0. Он 3-го порядка, поэтому ранг равен 3.
Ответ: .
Задача 41. Найти ранг матрицы и базисный минор. 
.
Решение. Преобразуем матрицу:
Сначала из 2 строки вычитаем 1-ю, домноженную на 2, то есть вычитаем строку (2 4 6) а из 3-й 1-ю, домноженную на 5, т.е. строку (5 10 15). Затем к 3-й прибавляем 2-ю с коэффициентом 7.
Видно, что базисный минор не может быть в левом верхнем углу, потому что во 2-й строке два нуля. Зато можно найти минор 2 порядка, состоящий из частей 10и 3 столбца, либо 2 и 3-го.
Минор порядка 3, то есть сам определитель всей этой матрицы, равен 0, так как третий столбец содержит только нули. Поэтому ранг равен 2, а не 3.
Ответ. .
Задача 42. Найти ранг матрицы 
.
Решение. Преобразуем матрицу. Ко второй строке прибавим 1-ю, а от 3-й отнимем удвоенную 1-ю. 
теперь к третьей прибавим вторую, получим 
.
Ранг равен 3, так как есть невырожденный минор 3 порядка.
Ответ. 
.
Задача 43 (вариант задачи 42, но с параметром).
Найти параметр 
, при котором ранг матрицы равен 2:
Решение. 
Третья строка состояла бы из всех нулей, только если 
, то есть 
. То есть, если бы на месте a33 изначально было число -2, то ранг был бы меньше, так как в итоге получилась бы третья строка из всех нулей.
Ответ. 
.
Задача 44. Найти ранг матрицы 
.
Решение. Преобразуем методом Гаусса к треугольной форме.
.
Видно, что 4-я строка из нулей, поэтому ранг не равен 4, то есть 
. Минор порядка 2 легко находится в верхнем левом углу, но угловой минор порядка 3 равен 0. Однако это ещё не значит, что ранг равен 2, ведь можно отступить к правому краю матрицы и взять минор с разрывом, из 1,2,4 столбцов, например такой:
Этот минор невырожденный, и он тоже является окаймляющим (ведь он полностью включает в себя квадрат, закрашенный жёлтым). Мы нашли базисный минор порядка 3. Также можно было рассматривать аналогичное в 1,2,5 столбцах, тоже минор порядка 3.
Ответ. .
Задача 45. Доказать, что 3 столбец матрицы
является линейной комбинацией первых двух, и найти коэффициенты этой комбинации.
Решение. Во-первых, если вычислить определитель и обнаружить, что он равен 0, то этим самым уже доказана линейная зависимость столбцов. Однако требуется найти коэффициенты, поэтому запишем систему уравнений:
Прибавим удвоенное 1-е уравнение ко 2-му, и вычтем утроенное 1-е из 3-го.
отсюда видно, что 
, тогда 
.
Ответ. коэффициенты линейной комбинации равны 1 и 2.
Задача 46. Найти такие параметры 
, что ранг матрицы равен 1:
Решение. Преобразуем методом Гаусса к треугольной форме.
.
Если 
и 
, то две последних строки только из нулей, и равен будет равен 1.
Ответ. 
, 
.
Задача 47. Найти ранг матрицы.
Решение. Для удобства преобразования методом Гаусса, сначала поменяем местами 1 и 3 строки. Ещё можно сразу прибавить 3-ю строку к 4-й.
Дальше стандартным методом, обнулим всё ниже угла.
Для удобства вычислений домножим 2 строку на (-1), ранг при этом не меняется. Затем прибавим к 3 строке удвоенную 2-ю.
Теперь осталось прибавить к 4 строке удвоенную 3-ю.
. Видно, что получилась треугольная матрица, то есть определитель 4 порядка невырожденный. Поэтому 
.
Ответ. 
.
Задача 48. Найти значение параметра 
, при котором ранг матрицы был бы равен 3.
Ответ. 
.
Практика № 6. Дата 28.09.2018.
Системы линейных уравнений.
Теоретический материал.
Обычный, матричный и векторный виды записи системы уравнений:
, 
,
.
Основная (А) и расширенная матрица (С).
, 
.
Определение. Если существует хотя бы одно решение (то есть набор 
, обращающий в тождества все уравнения) то система называется совместной, а если решения не существует, то несовместной, или противоречивой.
Слово «совместная» система означает, что уравнения совместны между собой, не противоречат друг другу. Примеры:
Совместная: 
есть решение (1,1).
Несовместная 
если вычесть из 2-го уравнения удвоенное первое, получим противоречие: 0=2. А вот если в правой части 2-го уравнения было бы 4, а не 6, то система была бы совместной.
Определение. Если решение системы линейных уравнений единственно, то она называется определённой, если не единственно, то неопределённой.
Определённая: 
экв. 
решение (1,1).
Неопределённая: 
Решения: (1,1) или (2,0) или (0,2) или (3,-1) или (4,-2), их бесконечно много. Фактически 2-е уравнение лишнее, а из 1-го следует 
. Что бы мы ни подставляли вместо 
, найдётся . Единственного точного решения как такового здесь нет, их бесконечно много. Запись 
здесь называется общим решением, а переменная 
, которую перенесли вправо и можем свободно задавать - свободной переменной.
Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы уравнений.
Система линейных уравнений совмстна тогда и только тогда, когда 
(ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы).
Матричный метод.
, или 
. Слева домножим обратную матрицу:
, то есть 
, то есть 
. Получается, что все 
можно найти так: умножить обратную матрицу на правую часть.
Задача 49. Решить систему уравнений 
.
Решение. Матричный вид системы: 
, обратную матрицу для этой матрицы ранее находили, это 
. Тогда 
= 
. Итак, 
, 
.
Ответ. 
, 
.
Метод Крамера.
Пусть А - основная матрица системы линейных уравнений. Если удалить какой-либо i-й столбец основной матрицы и внести на это место правую часть, то получится некая новая квадратная матрица, обозначим её 
. Тогда верны следующие формулы для . 
для каждого i от 1 до n.
Решение.
Матричным методом.
Запишем систему в виде: 
.
Найдём обратную матрицу для А.
.
= 
= 
= 
.
Методом Крамера.
= 
= 
.
Ответ. 
.
Метод Гаусса.
Метод состоит в преобразовании основной матрицы к треугольному виду. Можно последовательно обнулить элементы ниже углового 
, вычитая из других уравнений 1-е, домноженное на коэффициент 
(для каждой строки разные). Теперь 
будет только в первом уравнении, в других нет. Затем так же точно можем обнулить всё ниже чем 
, вычитая из каждой строки 2-ю с соответствующим коэффициентом. Кстати, при этом нули, уже расположенные слева, не изменятся. Затем обнулим все элементы ниже 
, ниже 
, и так далее. В итоге для основной матрицы системы получится треугольный вид: нули везде ниже главной диагонали. При преобразованиях можно работать с расширенной матрицей, а не системой, чтобы не переписывать каждый раз 
букв « 
». Обратите внимание, что правая часть подвергается тем же преобразованиям, что и вся строка, где находится этот 
. После преобразований надо восстановить полную запись системы с неизвестными, но в ней уже будет хорошее свойство: чем ниже уравнение, тем меньше переменных, а в последнем вообще одна лишь 
. Это и позволит нам сначала выразить 
, затем с этой известной информацией подняться в предпоследнее уравнение, и найти 
, и так дажее до 1-го уравнения, где найдём 
.
Задача 52. Решить систему уравнений 
.
Решение. Преобразования расширенной матрицы:
.
Сначала из 2-й строки вычли 1-ю, а из 3-й удвоенную 1-ю.
На втором этапе, к 3-й прибавили 2-ю.
Система после преобразований:
, из последнего 
= 1, подставляем в предпоследнее, будет 
, то есть 
=1. Далее, уже известные 
и подставим в первое уравнение, и получим 
=1.
Ответ. 
=1, 
=1, = 1, или 
.
Решение.
При построении расширенной матрицы, сразу же домножим 2-е и 3-е уравнения на такие коэффициенты, чтобы в начале строки были числа, кратные угловому элементу. А именно, 2-ю строку на 2, а 3-ю строку на 4. Так надо, чтобы потом в методе Гаусса можно было не домножать на дробные коэффициенты при вычитании строк.
Теперь вычтем из 2-й строки 1-ю, домноженную на 3,
а из 3-й строки 1-ю, домноженную на 5.
= 
Если теперь поменять местами 2 и 3 строки, получится:
система: 
И хотя матрица не выглядит как матрица треугольного вида, тем не менее, основная идея метода Гаусса уже реализована: чем ниже, тем меньше переменных, а в последнем уравнении всего одна, а именно 
. Здесь тоже можно последовательно выразить все переменные, просто начинаем не с последней, а в другом порядке. К треугольному виду в этом случае можно до конца и не приводить.
Итак, из третьего: 
, то есть 
.
Подставляем во второе уравнение. 
, т.е. 
, 
.
Из первого: 
, откуда 
, 
.
Ответ. , 
, .
Практика № 7. Дата 02.10.2018.
Задача 59. Решить неоднородную систему 
Решение. Построим расширенную матрицу и преобразуем её.
= 
Это равносильно такой системе уравнений 
Базисный минор в первых двух столбцах, 3-й столбец соответствует свободной переменной 
, её надо перенести вправо.
теперь надо выразить 
через 
.
фактически и так уже почти выражено, во 2-м уравнении.
. Подставим теперь эту информацию в 1-е уравнение.
, откуда 
.
Вот эти два выражения ,
как раз и составляют общее решение системы. Задавая любое значение 
, можно вычислить 
, и получится конкретная тройка чисел, то есть частное решение.
Общее решение можно записать также в виде такого вектора: 
.
Частные решения, например:
частное решение 
.
частное решение 
.
Ответ. Общее решение .
Задача 60. Решить неоднородную систему 
Решение. Запишем расширенную матрицу системы, впрочем, сразу при этом удобно будет поменять местами 1-ю и 3-ю строки, чтобы угловой элемент содержал именно число 1.
обнулим всё ниже углового элемента, для этого:
из 2-й строки вычтем 1-ю, из 3-й удвоенную 1-ю, из 4-й 1-ю, домноженную на 4.
теперь можно поменять местами 2 и 3 строки, а также домножить на 
три последних уравнения (там почти везде были знаки минус)
затем из 4-й строки вычитаем 2-ю, чтобы продолжить стандартную процедуру метода Гаусса, потом видим что 3-я и 4-я стали одинаковы, тогда из 4-й вычитаем 3-ю. Получается, что 4-е уравнение 0 = 0.
Итак, осталось 3 уравнения, базисный минор легко заметить в первых трёх столбцах (там треугольная структура матрицы, и этот определитель явно отличен от 0). 4-й столбец не входит в базисный минор, то есть 4-я переменная свободная, т.е. когда будем записывать систему, переносим её через знак равенства во всех уравнениях.
Из последнего уравнения 
, подставляя это выражение во 2-е уравнение, выразим 
. 
= 
,
. Далее из 1-го уравнения:
= 
,
. Итак, общее решение:
, 
, .
Можно записать в виде вектора: 
.
Если задать, например, 
получим частное решение: 
.
Ответ. Общее решение: 
.
Однородные системы.
Задача 61. Решить однородную систему:
Решение. Видим, что отличие от предыдущей задачи в том, что справа нулевые константы. Если преобразовывать расширенную матрицу, то получим:
Видим, что справа всё равно как был, так и остаётся столбец из нулей, так что в будущем для однородных систем можно использовать только основную матрицу, ведь расширенная не несёт никакой новой информации, всё равно там справа нулевой столбец, и он не меняется при преобразованиях строк.
Итак, получили систему 
базисный минор можно заметить в первых двух столбцах, так что свободная переменная, переносим её вправо: 
. Теперь последовательно выражаем через свободную переменную две базисные переменные.
Из 2-го: 
, а подставляя в 1-е, получим
, т.е. 
.
Общее решение системы : 
.
Также записывается в виде вектора: 
.
Отличие от прошлой задачи в том, что на всех местах, где там были константы, здесь 0. Все переменные преобразовывались точно так же.
Частные решения здесь отличаются тем, что задавая в k раз больше, мы и все остальные получим тоже в k раз больше:
, 
, 
, 
и так далее.
То есть все тройки чисел будут пропорциональны какой-то одной.
Если для неоднородной системы представить эти тройки чисел как точки в пространстве, то там они образовывали прямую,не проходящую через начало координат, а для однородной системы - проходящую через начало координат. Поэтому разумно выбрать для этой прямой всего 1 вектор, который задаёт её. Это как раз и есть ФСР (фундаментальная система решений). ФСР .
Ответ. Общее решение 
, ФСР .
Задача 62.Решить систему 
Решение. Минор, состоящий из 1 и 2 столбцов, уже в треугольной форме. Базисный минор порядка 2. Тогда 3-я и 4-я переменная - свободные. Перенесём их через знак равенства. 
.
уже фактически выражено: 
, подставим это в первое уравнение, чтобы выразить 
.
.
Общее решение: { , }.
Если поочерёдно присвоить значение 1 каждой из свободных переменных (а другая в это время 0) то получим гарантированно 2 линейно-независимых вектора, они не пропорциональны, так как 1 на разных местах.
, получим 
, получим 
.
Эти 2 вектора { , } и есть ФСР. Это 
частных решений, из которых можно составить любые другие частные решения: любые их линейные комбинации будут частными решениями однородной системы.
Ответ. Общее решение { , }.
ФСР { , }.
Замечание. Для системы с квадратной матрицей справа были только числа, для системы с прямоугольной матрицей к ним добавляются свободные переменные, и там будут выражения типа 
. А для однородной системы справа констант нет (они = 0), но туда перенесены свободные переменные. То есть идея решения методом Гаусса во всех этих 3 параграфах одна и та же, но справа разные типы объектов.
Задача 63. Решить однородную систему 
.
Решение. Можно записать основную матрицу и там вычесть 1-ю строку из 2-й, впрочем, можно для небольшой системы сделать это и сразу в системе, вычесть 1-е уравнение из 2-го. Получится:
Ранг равен 2, а неизвестных 3, 3-я неизвестная свободная, переносим вправо. Тогда: 
Из 2-го уравнения 
, тогда 
, а значит 
.
Общее решение: , . В виде вектора: 
.
Присвоим 
, получим остальные неизвестные.
ФСР состоит всего из одного вектора: 
. Все остальные решения пропорциональны этому.
Если бы, например, присвоили 
, получили бы 
. Это потому, что всего одна свободная переменная.
Ответ. Общее решение: , ФСР .
Задача 64. Решить однородную систему 
Решение. Запишем основную матрицу, преобразуем её. 
снова представим в виде системы: 
базисный минор порядка 2, можно обвести в левом углу, поэтому 3-я и 4-я переменная - свободные. Здесь их уже две, так как 
, поэтому 
. Перенесём их через знак равенства.
здесь 
уже выражено: 
, подставим это в первое уравнение, чтобы выразить и .
, 
.
Общее решение: , .
В виде вектора: 
.
Если поочерёдно присвоить значение 1 каждой из свободных переменных (а другая в это время 0) то получим гарантированно 2 линейно-независимых вектора, они не пропорциональны, так как число 1 в них на разных местах.
, получим 
, получим 
.
Эти 2 вектора { , 
} и есть ФСР. Это 
частных решений, из которых можно составить любые другие частные решения. Любые их линейные комбинации будут частными решениями однородной системы.
Ответ. Общее решение: .
ФСР это множество из 2 векторов: { 
, }.
Задача 65. Решить однородную систему, найти ФСР. 
Решение. Запишем основную матрицу системы и преобразуем её методом Гаусса.
Ранг матрицы равен 2, базисные столбцы 1-й и 2-й. Несмотря на то, что сначала могло показаться, что здесь будет одна свободная переменная (4 переменных и 3 уравнения), на самом деле здесь будет две свободных переменных, ведь 3-е уравнение оказалось линейной комбинацией первых двух. 
.
Снова возвращаемся от матрицы к системе уравнений. 
перенесём свободные неизвестные вправо:
из 2 уравнения 
, подставим это в 1-е,
будет 
, то есть 
.
Общее решение: , .
В виде вектора: 
Построим ФСР из 2 векторов.
, получим 
, получим 
.
Так как здесь есть дроби, то для того, чтобы векторы в ФСР содержали только целые координаты, можно задавать не только 1, но и другое число, главное только чтобы в 3 и 4 координатах помещался невырожденный минор. Если мы задаём поочерёдно каждой свободной переменной какое-то число (не обязательно 1) а остальным 0, то линейная независимость этой системы векторов всё равно заведомо обеспечена.
Ответ. Общее решение: 
, .
ФСР из 2 векторов: 
.
Задача 66. Решить однородную систему, найти ФСР.
Решение. Преобразуем методом Гаусса основную матрицу системы.
Треугольная структура продолжилась до самой последней строки, и не проявилась строка из нулей, то есть ранг равен 3. Здесь всего одна свободная переменная. Развернём обратно эту матрицу, т.е. запишем в виде системы, а затем перенесём свободные переменные вправо.
Из последнего, 
, это подставим во 2-е и получим 
.
Затем это всё в 1-е уравнение, получим 
.
ФСР: один вектор 
.
Ответ. Общее решение: 
. ФСР: 
Задача 67. Решить однородную систему, найти ФСР.
Решение. Преобразуем методом Гаусса основную матрицу системы.
далее можно вычесть 2 строку из 3-й и 4-й, и там везде будут 0.
Здесь ранг 2, неизвестных 5, 
.
Переписывая в виде системы, переносим вправо 3 свободных переменных.
Выражаем из 2-го 
как линейную функцию от 
, а затем с помощью 1-го уравнения, также и 
.
, 
.
Общее решение: 
.
ФСР из 3 векторов. Для этого задаём поочерёдно 1 какой-либо из свободных переменных, а 0 остальным.
ФСР: 
, 
, 
.
Ответ. Общее решение: 
.
ФСР: , , 
.
Рекомендуемые домашние задачи!
Задача Д-17. Решить однородную систему, найти ФСР:
Ответ. Общее решение 
, 
.
ФСР (-3,5,1,0) и (-5,4,0,1).
Задача Д-18. Решить однородную систему, найти ФСР 
Ответ. Общее решение: 
, 
, ФСР: 
.
Практика № 8. Дата 09.10.2018.
Элементы векторной алгебры.
Задача 68. Найти скалярное и векторное произведение векторов (1,1,1) и (1,2,3) .
Решение. Скалярное 
.
Векторное 
= 
= .
Ответ. Скалярное 6, векторное (1,-2,1).
Замечание. Можно проверить, что (1,-2,1) перпендикулярен исходным векторам (скалярно умножить на 1-й или на 2-й вектор, получим 0).
Задача 69. Найти скалярное и векторное произведение векторов:
и 
.
Решение. 
.
Для поиска векторого произведения запишем определитель.
= 
= 
.
Ответ. Скалярное: 16, векторное: (-13, -1, -8).
Задача 70. Дано: 
, 
, 
, 
, угол между векторами 
45 градусов. Найти 
и 
.
Решение. 
= 
= 
.
Примечание. Как видим, можно вычислять скалярное произведение, даже не зная координат векторов. Здесь фактически 
служат в качестве базисных векторов, и через них выражены 
, то есть (1,1) и (2,1) координаты 
относительно базиса 
. Вся эта система целиком может двигаться или вращаться, но углы между векторами и их длины при этом не поменяются. Поэтому конкретных координат и нет, и они для решения задачи и не нужны.
Пункт Б. = 
= 
=
= 
= 
.
Ответ. и 
.
Задачи 71,72,73. Векторы a,b выражены через p,r: 
, 
. 
, угол между ними 45 град.
Задача 71. Найти 
. Задача 72. Найти | [a,b] |.
Задача 73. Найти 
.
Решение задачи 71.
= 
= 
.
Мы раскрыли скобки, используя свойства скалярного произведения. Далее, так как 
то объединим их, и получим 
.
Это можно выразить так:
и получаем 
.
Ответ. 29.
Решение задачи 72.
= 
= 
Несмотря на то, что скобки мы раскрыли похожим образом, дальше будет существенное отличие, т.к. свойства векторного произведения совсем другие, чем скалярного. Так, 
, но 
. Кроме того, чтобы объединить 
в одно слагаемое, здесь надо сначала у одной из них сменить знак.
= 
=
= 
. Модуль векторного произведения 
и 
это площадь параллелограмма, где эти векторы являются сторонами, поэтому далее можно продолжить так:
= 
= 
= 50. Ответ. 50.
Решение задачи 73.
= 
= 
= 
=
= 
=
= 
= 257. Ответ. 257.
Задача 74. Найти смешанное произведение трёх векторов:
.
Решение. Вычислим определитель:
= 
= 
. Ответ. 
.
Задача 75. Найти косинус угла между векторами 
.
Решение. 
, 
, 
,
учитывая что 
, то 
.
Заметим, что 
, т.е. чуть меньше 1, угол близок к 0.
Ответ. .
Задача 76. Найти косинус угла между векторами 
.
Решение. 
, 
, 
,
учитывая что 
, то 
.
Оценим приблизительно, какой это угол. Заметим, что если было бы 
то было бы 
и угол 600.
В данном случае косинус чуть меньше, а значит угол чуть больше 600.
Ответ. 
.
Задача 77. Вычислить площадь параллелограмма, образованного векторами 
, если 
, 
, угол между p,q равен 
.
Решение.
Площадь параллелограмма - значит, надо вычислить модуль векторного произведения = 
= 
=
= 
= 
= 
=
= 92.
Ответ 92.
Практика № 9. Дата 12.10.2018.
Задача 78 и 79. Векторы a,b выражены через p,q: 
, 
. 
, угол между ними 600.
Задача 78. Найти .
Решение. = 
= 
= 
= 
=
= 
= 1227.
Ответ. 1227.
Задача 79. Найти | [a,b] |.
Решение.
| [a,b] | = | 
|= | 
| = | 
| = | 
| = 
=
= 
.
Ответ. .
Задача 80.
Доказать неравенство Коши-Буняковского: 
.
Решение. Рассмотрим скалярное произведение 
. Так как здесь умножается один и тот же вектор на себя, то оно неотрицательно: 
. По свойствам скалярного произведения, раскроем скобки:
А теперь рассмотрим это выражение как неравенство с квадратичным трёхчленом относительно переменной 
. Для каждых конкретных векторов 
то это неравенство приобретает вид: 
, где 
, 
. Если выражение больше ири равно 0, то значит, для самого квадратичного уравнения нет корней или всего 1 корень, но не 2 корня. То есть, дискриминант меньше или равен 0. Тогда 
= 
, тогда
.
Извлечём корень и получим .
Задача 81. Вывести формулу проекции вектора на ось 
.
Решение. 1) известно, что 
.
2) длина проекции это катет, 
гипотенуза треугольника, тогда получается, что 
.
Сопоставим эти 2 факта. 
, тогда 
, откуда и следует 
.
Задача 82. Найти проекцию вектора 
на линию, порождаемую вектором 
.
Решение. По формуле 
= 
= 
= 
.
Ответ. .
Линейные операторы.
Вспомним, что при умножении квадратной матрицы на столбец, один вектор преобразуется в другой. Получается, что квадратная матрица задаёт некоторое отображение одних векторов в другие, то есть выступает в роли функции.
Отображение 
называется линейным отображением (синоним: линейный оператор) если выполнены 2 условия:
1) 
2) 
.
Умножение квадратной матрицы на вектор удовлетворяет свойствам линейности, в силу свойств умножения матриц.
Из определения напрямую следует, что всякое линейное отображение зависит только от того, куда отображаются базисные векторы: 
= 
.
Образ вектора x в итоге зависит от координат вектора x и от образов базисных векторов, то есть линейный оператор однозначно задаётся образами базисных векторов.
Практика № 10. Дата 16.10.2018.
Ответ.
Собст. число 
собст. вектор (1,0,0),
собст. число 
собст. вектор (1,1,0),
собст. число 
собст. вектор (1,1,1).
Аналитическая геометрия.
Задача домашняя.
Найти уравнение прямой, проходящей через точку (1,2) перпендикулярно вектору (3,4).
Ответ. 
.
Задача 94. Построить уравнение прямой по 2 точкам А(1,2) и В(6,9).
Решение. Направляющий вектор АВ здесь (5,7). Тогда для всякой точки М с произвольными координатами 
, принадлежащей этой прямой, векторы АМ и АВ коллинеарны. Их координаты пропорциональны, то есть 
, из этого следует 
. В итоге ответ 
.
Ответ. .
Замечание. Можно было в качестве основной взять и 2-ю точку а не 1-ю. При этом, после приведения подобных, получилось бы точно такое же уравнение. Действительно, из 
следует 
, что приводит к тому же результату .
Задача 95. Найти уравнение прямой, проходящей через точки (3,4) и (5,7).
Решение. Направляющий вектор здесь (5-3, 7-4) = (2,3).
, 
, 
.
Ответ. .
Задача 96. Найти уравнение средней линии треугольника с вершинами 
, 
, 
, проходящей параллельно стороне AC.
Решение. Сначала найдём середины сторон АВ, ВС. Обозначим их, например, через К и М. Найдём среднее арифметическое абсцисс и ординат. К 
, М 
.
На прямой, содержащей отрезок КМ, направляющий вектор 
.
. Ответ. .
Практика № 11. Дата 23.10.2018.
Практика № 12. Дата 26.10.2018.
Задача 111. Найти расстояние от точки M1 (3,1,5) до плоскости 
.
Решение. По формуле 
получаем, что
= 
= 
= 
.
Ответ. 
.
Задача 112. Найти угол между двумя плоскостями: 
и 
.
Решение. Нормали к этим плоскостям: 
и 
.
Нормали не коллинеарны, то есть плоскости не параллельны, значит, они действительно пересекаются по какой-то прямой, и между ними есть какой-то угол.
= 
= 
.
Кстати, константа в уравнении одной из плоскостей никак не влияет на ответ, так как параллельный перенос плоскости не влияет на угол, который она образует с другой плоскостью.
Ответ. 
, что приблизительно составляет 83,6 градусов.
Задача 113. Через точку 
и ось Ох проходит одна плоскость, через эту же точку и ось Оу вторая. Найти тупой угол между этими плоскостями.
Решение. Если плоскость содержит ось и точку, то в ней по крайней мере содержится начало координат, и 2 такие направляющих: один проведён от (0,0,0) к точке 
, а второй - это просто базисный вектор оси, то есть для Ох вектор (1,0,0), а в случае оси Оу (0,1,0). Таким образом, уравнения каждой плоскости можно построить.
А затем мы найдём угол между их нормалями. Эти плоскости можно представить так: две наклонные части крыши. Плоскость, перпендикулярная линии ОМ, не горизонтальна, так что угол между двумя частями такой крыши вовсе не 90 градусов. Чем более пологая крыша, тем ближе этот угол к 180, а чем более крутая, тем ближе к 90. Плоскость, перпендикулярная стыковочной линии крыши, а именно линии ОМ, показана жёлтым цветом.
Строим уравнение 1-й плоскости. Возьмём 3-й вектор, проведённый к какой-то произвольной точке 
от начала координат. Тогда 3 радиус-вектора, проведённых из начала координат, а именно 
, 
, 
должны образовать линейно-зависимую систему.
= 
= 
.
Нормаль к этой плоскости 
.
Строим уравнение 2-й плоскости. Аналогично, только (0,1,0).
= 
= 
.
Нормаль к этой плоскости 
.
Известно, что 
.
Тогда 
, т.е. 
, угол 120 градусов.
Замечание. Если бы надо было найти косинус наименьшего угла, то есть острого, то должны были бы рассматривать модуль 
, чтобы угол получился именно в 1-й четверти, т.е. с положительным cos.
Вообще же, всегда имеется два угла, 
и 
. В зависимости от того, острый или тупой угол надо рассматривать, его косинус вычисляется как 
либо 
. Ответ. 
.
Прямая в пространстве
Практика № 13. Дата 30.10.2018.
Задача 119. Найти точку пересечения плоскости 
и прямой 
.
Решение. Запишем прямую с помощью параметрических уравнений:
, 
, 
.
Подставим эти выражения в уравнение плоскости, чтобы найти, при каком значении 
оно выполняется. 
. Тогда 
.
Ответ. Точка пересечения 
.
Нахождение углов.
Задача 120. Найти угол между прямой 
и плоскостью 
.
Решение.
Пусть дана плоскость с помощью уравнения 
и прямая с помощью точки 
и направляющего 
.
Угол 
это угол между прямой и нормалью к плоскости.
, тогда 
, и в итоге формула: 
.
В данной задаче направляющий к прямой 
, нормаль к плоскости 
. Их скалярное произведение равно 9.
Модули векторов равны 
и 
. 
.
Приблизительно представим, какой это угол. Если бы было
вместо 
то было бы 
= 90.
Но в данном случае дробь чуть меньше, а угол составляет около 79 градусов.
Ответ. 
.
Задача 121. Доказать, что две прямые в пространстве
и 
пересекаются, и найти точку пересечения.
Решение. Если у них естьь общая точка, то можно приравнять 
из первых и вторых равенств. Но неизвестно, при каком параметре достигаются эти значения в каждом случае, поэтому нужно решить систему уравнений, положив в первых равенствах 
, а во вторых 
.
перенесём все , в одну сторону, а константы в другую, чтобы система была записана в стандартной форме.
расширенная матрица: 
Преобразуем методом Гаусса. От 2-й строки отнимем утроенную 1-ю, а к 3-й прибавим 4-кратную 1-ю.
т.е. 
то есть сразу же 
из 2-го и 3-го уравнений, и они не противоречат друг другу. Система совместна, ранги основной и расширенной матриц совпадают, так как равны 2. Из 1-го затем 
, т.е. 
.
Впрочем, можно было решить систему ещё быстрее, если сложить 2 и 3 уравнения, тогда сразу бы получилось 
.
Затем подставить 
в первые уравнения либо во вторые,
получим одни и те же значения для .
, т.к. 
и 
Ответ. Точка пересечения (1,1,2).
Задача 122. Доказать, что две прямые в пространстве:
и 
скрещивающиеся.
Решение. Решая систему уравнений, как в прошлой задаче, здесь мы обнаружим, что система несовместна.
матрица: 
прибавим ко 2-й строке 1-ю, а от 3-й отнимем 1-ю.
получили систему 
2-е и 3-е уравнения противоречат друг другу. Система не имеет решений, значит, эти 2 прямые не имеют ни одной общей точки.
Так как направляющие векторы 
и 
не коллинеарны, то прямые также и не параллельны. Таким образом, скрещивающиеся.
Полярная система координат.
Кроме пары чисел 
, которыми можно задать точку на плоскости, можно задать также и таким образом: соединим точку с началом координат, длину этого отрезка обозначим 
. Угол между осью 
и этим отрезком обозначим 
.
Так как 
это прилежащий катет, а гипотенуза, тогда 
, аналогично 
, откуда следуют такие формулы: 
Задача 122. Доказать формулу расстояния между двумя точками в полярных координатах: 
.
Решение. Пусть даны две точки, полярные координаты которых соответственно 
и 
. Выразим их в декартовых координатах:
и 
.
А в декартовых координатах расстояние считается так:
. Тогда получаем:
. Выражение под корнем преобразуем и приведём подобные. Оно пока настолько длинное, что занимает две строки:
+
=
= 
=
= 
.
Итак, 
.
Задача 124. Найти расстояние между точками, которые заданы в полярных координатах: 
.
Решение. По формуле получаем . 
= 
=
= 
= 
= 7.
Ответ. 7.
Задача 125. Построить уравнение прямой 
в полярных координатах.
Решение. На чертеже видно, что чем больше угол наклона, тем больше расстояние. При 
расстояние 
, при 
оно увеличивается до 
, а затем стремится к 
.
В уравнении заменим по формулам перехода к полярным координатам, т.е. 
. Получается 
, тогда 
.
Замечание. При 
получается 
, и точка в правой полуплоскости. Но ведь косинус существует и не только в 4-й и 1-й четвертях, но и во 2-й и 3-й тоже. Но слева нет ни одной точки этой прямой. Нет ли в этом противоречия? На самом деле нет, потому что во 2 и 3 четвертях косинус отрицателен, а при надо двигаться в обратную сторону по лучу, направленному влево, тем самым мы снова попадаем вправо, т.е. на ту же самую прямую, и фактически она прочерчивается второй раз.
Ответ.
Задача 126. Построить уравнение прямой 
в полярных координатах.
Решение. В уравнении заменим обе переменные 
по формулам перехода к полярным координатам. Получится 
, следовательно, , откуда следует, что 
.
Ответ. 
.
Задача 127. Построить уравнение окружности 
с центром в точке 
радиуса 
в полярных координатах.
Решение. 
. Чертёж:
Замечание. Здесь снова, как было в позапрошлой задаче, если луч направлен во 2-ю или 3-ю четверть, при этом косинус отрицателен, а значит, мы попадаем в противоположную сторону - снова на ту же окружность, и она чертится 2-й раз.
Ответ. 
.
Задача 128. Построить уравнение линии 
в полярных координатах, сделать чертёж.
Решение. В уравнении заменим обе переменные по формулам перехода к полярным координатам. 
.
Ответ. .
Чертёж:
Практика № 14. Дата: 06.11.2018.
Пункт 129. (теоретическая задача). Выведем формулу 
для расстояния от точки до прямой в пространстве.
Пусть дана прямая (с помощью точки 
и направляющего 
) и точка 
, не лежащая на прямой.
Соединим и , это одна из двух сторон параллелограмма, вторая это . Требуемое расстояние это высота, тогда надо площадь поделить на длину основания. Площадь равна векторному произведению векторов, образующих стороны.
Поэтому .
Закономерен вопрос, а почему требуется выводить новую формулу, если у нас уже была выведена формула расстояния от точки до прямой? Дело в том, что в пространстве уравнение прямой имеет вид не 
, а канонические или параметрические уравнения, то есть формула 
из прошлой темы не применима. В том случае мы пользовались проекцией на нормаль, а в пространстве нормаль к прямой однозначным образом не определяется.
Задача 130. Вычислить расстояние от точки (4,4,-2) до прямой 
в пространстве.
Решение. Применим формулу 
.
Точка 
на прямой ищется из таких соображений: все дроби в каноническим уравнении приравняем к 0, тогда 
, 
, 
.
. 
. Направляющий вектор состоит из чисел в знаменателях в канонических уравнениях: 
.
Его модуль равен 
. Векторное произведение:
= 
= 
.
Модуль этого вектора равен 
. Ответ. 
.
Задача 131. Даны три точки А(1,1,1),В(2,2,3),С(2,1,2). Вывести уравнение прямой, содержащей АВ, и найти расстояние от точки С
до этой прямой (высота треугольника АВС).
Решение. Вектор АВ (1,1,2) можем принять в качестве направляющего для этой прямой. Он отложен от точки А(1,1,1).
Тогда канонические уравнения прямой: 
.
Расстояние в данной ситуации, в пространстве, надо искать по формуле в данном случае 
.
Здесь точки А,С играют ту же роль, что 
в прошлой задаче.
2-я сторона параллелограмма: АС=(1,0,1). 
.
Векторное произведение:
= 
= 
.
Модуль вектора 
равен 
. Тогда результат: 
.
Ответ. 
.
Пункт 132. (теоретическая задача). Выведем формулу 
вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми.
Спроецируем 
на ту плоскость, где лежит 2 прямая, и 
на плоскость, где 1-я. Получается два параллелограмма. Соединим их вершины, получаем параллелепипед.Обратите внимание, что отрезок 
может не являться кратчайшим, так как точки не ровно одна над другой, т.е. углы параллелипепеда могут быть и не 900.
Кратчайшее расстояние = высоте переллелепипеда, то есть d = V / S.
Объём вычислим с помощью смешанного произведения, а площадь основания через векторное от 
. Итак, 
.
Задача 133. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми: 
и .
Решение. Тот факт, что эти прямые скрещивающиеся, мы доказывали (см. задачу 122). На каждой прямой найдём одну точку, присваивая 
. 
, 
. Вектор, соединяющий две прямых, 
.
Вычисляем по формуле 
.
Смешанное произведение с помощью определителя.
= 
(прибавили 2-ю строку к 1-й)
= 
= 
, а по модулю получается 4.
= 
= 
.
Модуль векторного произведения равен 
= 
.
= 
. Ответ. .
Задача 134. Заданы 2 прямые в пространстве:
и 
.
Доказать, что эти прямые параллельны, и найти уравнение плоскости, содержащей их.
Решение. Во-первых, направляющие векторы (1,1,2) и (2,2,4), что видно из коэффициентов при 
. Они коллинеарны, т.к. координаты пропорциональны.
Полагая , можем найти хотя бы по одной точке на каждой прямой, а именно M1(1,2,3) и M2(2,4,7). Для построения уравнения плоскости нам нужна 1 точка и 2 неколлинеарных направляющих в плоскости. (1,1,2) и (2,2,4) для этой цели не подходят. В качестве одного направляющего возьмём (1,1,2) а в качестве второго - вектор, соединяющий пару точек на этих прямых, то есть M1M2=(1,2,4).
Точка в плоскости, например, M1. Итак, проведём плоскость через точку M1(1,2,3) и 2 направляющих: 
и 
. Третий вектор, проведённый к какой-либо произвольной точке в этой плоскости, и 2 направляющих, образуют ЛЗС:
.
Ответ. .
Пункт 135 (теоретическая задача). Вывод уравнения эллипса.
Определение эллипса. Эллипсом называется геометрическое место точек на плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек постоянна.
Доказательство (вывод) уравнения эллипса.
Выведем уравнение кривой, удовлетворяющей этому свойству ( 
= const), и докажем, что в уравнении должна быть сумма квадратов.
Пусть фокусы расположены в точках 
и 
. Вычислим по теореме Пифагора расстояние от точки (x,y) до двух фокусов. F1 расположен дальше длина катета равна 
, тогда длина большего из двух отрезков, а именно 
, равна: 
.
Фокус F2 наоборот, расположен ближе к точке на чертеже то есть катет на оси Ox равен 
, тогда 
.
Выясним, какой именно константе равна величина . Если расположить точку ровно в правой вершине, то получим 
, такая же сумма расстояний по определению должна быть и для произвольных точек. Итак, 
.
Заметим, что если оба корня возвести в квадрат, то они будут отличаться только одним слагаемым, а именно 
либо 
. Тогда можно так оценить разность квадратов:
= 
=
= 
.
Но ведь 
, то есть 
.
Тогда мы знаем и разность: 
.
Итак, получили систему, из которой можно определить каждое 
:
Сложив эти 2 равенства, получим 
,
а вычитая второе из 1-го, 
.
Сопоставим выражения, изначально полученные по теореме Пифагора, с этими выражениями:
. Теперь возведём в квадрат:
. Тогда 
, далее 
, тогда 
.
Рассмотрим вершину 
. Сумма расстояний до фокусов равна 
, то есть каждый отрезок, показанный зелёной линией на чертеже, имеет длину 
:
Но ведь он является гипотенузой треугольника, один катет которого это малая полуось (длина 
), а другой - 
(длина равна 
). Таким образом, 
, тогда 
.
Итак, каноническое уравнение эллипса: 
.
Задача 136. Доказать, что кривая 
является эллипсом, найти каноническое уравнение, центр и полуоси.
Решение. Выделим полный квадрат по каждой переменной.
в каждой скобке можно получить такое выражение, чтобы затем использовать формулы сокращённого умножения (ФСУ): 
. Надо прибавить константы в скобках, так чтобы всё сворачивалось, но для компенсации за скобками вычесть эти константы.
это каноническое уравнение.
Ответ. Центр 
, полуоси 
и 
. Чертёж:
Практика № 15. Дата: 08.11.2018.
«Введение в математический анализ. Множества и функции»
Задача 137. Доказать нечётность функции 
.
Решение. Заменим на 
, при этом наоборот, заменится на .
= 
= 
.
Таким образом, 
, то есть функция нечётная.
Пункт 138 (теоретическая задача). Докажем, что любая функция 
представима в виде суммы чётной и нечётной, то есть 
.
Доказательство. Введём две функции: 
, 
. Первая из них чётна, вторая нечётна. Видно, что если заменить на , то для 
получится выражение, равное исходному, а вот для 
разность в числителе будет противоположна: 
= 
.
Сумма этих функций: 
= 
= 
= .
итак, .
Если чётную и нечётную компоненты записать для функции 
, то получатся так называемые гиперболический косинус и гиперболический синус: 
, 
.
Задача 139. Даны 2 функции: 
, 
. Найти все их возможные композиции.
Решение. 
так как 
то повторное вычисление синуса ещё чуть уменьшает значение этой величины, поэтому график суть ниже обычного графика синуса.
Графики для сравнения:
, здесь скорость возрастания с ростом всё более увеличивается, то есть колебания синуса учащаются. График:
,график:
строение этой функции хорошо известно.
На чертеже зелёным показан график 
, синим 
.
Задача 140. Найти композицию 
если 
.
Решение. Двойная композиция это 
,
а тройная композиция 
. Можно сначала привести подобные внутри самой внутренней дроби, для чего 1 представим как 
.
= 
= 
= 
И в этой дроби тоже приведём подобные таким же способом.
= 
= 
= 
= 
.
Ответ. 
.
Задача 141. Точка движется по окружности единичного радиуса вокруг начала координат в плоскости. Температура распределена по закону:
. Найти для этой точки функцию, как меняется температура в зависимости от времени.
Решение. Движение точки можно задать так: 
, 
.
Подставим эти выражения в , чтобы получить композицию функций. 
= 
.
Ответ. Температура в зависимости от времени для этой точки изменяется так: 
.
Задача 142. Найти область определения функции: 
.
Решение. Выражение под каждым из корней должно быть 
, а для второго даже строго больше 0, так как он в знаменателе.
Получается система из 2 неравенств: и 
.
, 
.
Итого, пересечение этих множеств: 
.
Ответ. .
Задача 143. Найти область определения функции:
.
Решение. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательны
это область вне круга радиуса 1.
это область внутри круга радиуса 3.
В их пересечении лежит кольцо 
.
Чертёж:
Ответ. Кольцо .
Задача 144. Найти область определения функции 3 переменных:
.
Решение. Здесь 
, т.е. 
. Это неравенство задаёт шар радиуса 1. Штриховкой в плоскости, как в прошлой задаче, для функции трёх переменных изобразить уже невозможно.
Ответ. Шар радиуса 1: .
«Пределы»
Определение. Число 
называется пределом последовательности 
, если: 
, такое, что 
выполняется: 
.
(для любого числа эпсилон больше нуля, существует такой номер элемента последовательности, что для всех последующих номеров отклонение элементов от числа А меньше, чем эпсилон). В этом случае говорится, что последовательность стремится к числу А.
Обозначение предела: 
. (lim это от английского слова limit которое хорошо известно и в русском языке - лимиты потребления света, воды и т.д. ).
Если рассмотреть полосу от 
до 
по высоте, то начиная с какого-то номера, все последующие точки будут попадать в эту полосу:
Чем меньше число 
(погрешность меньше) тем больший номер требуется .
Пример. 
. По определению: если например требуемая точность 
то 
, 
выполняется: разность элемента и 0 менее 1/100, то есть 1/101 затем 1/102 и т.д.
* Для того, чтобы лучше понять, что такое предел, представьте следующее. Машина приближается к городу. Для любого заранее заданного расстояния (например = 10 км.) существует такой момент времени 
, что в последующие моменты времени 
расстояние будет меньше, чем . Это как раз и означает «стремится к 0», то есть расстояние уменьшается к 0. Если задать = 5 км. то это достигается в более поздний момент времени, а если = 1 км. то ещё позже.
Предел может и не существовать. Для последовательности 
, например, предел не существует. Здесь не происходит стабилизация значений, то есть их колебания по высоте всегда 1. После каждого номера, найдётся последующий элемент, который удаляется на расстояние 1 от предыдущего, то есть эти колебания не могут быть меньше заранее заданного малого числа .
Задача 145. Найти предел 
.
Решение. Здесь неопределённость типа 
. Вынесем за скобки 
и в числителе, и в знаменателе, с целью сократить на этот множитель.
= 
= 
Каждая из мелких дробей в числителе и знаменателе стремится к 0,
поэтому получается сумма пределов в каждом случае, и тогда
= 
. Ответ. 
.
Предел функции в точке (при 
).
Определение. Число называется пределом функции в точке 
, если: 
, такое, что при 
выполняется: 
.
(для любого числа эпсилон больше нуля, существует такое число дельта, так что если модуль разности 
меньше дельта, то модуль разности 
меньше, чем эпсилон).
Обозначение 
.
В случае существования предела, получается, что задавая погрешность можно найти такой интервал в области определения, что отклонение значений от А будет меньше чем . Фактически, часть графика впишется в некоторый прямоугольник, при уменьшении одной стороны будет уменьшаться и вторая.
Задача 146. Найти предел функции 
.
Решение. В точке 3 значение функции не существует, однако во всех соседних точках существует, и можно узнать, к какой ординате стремится график при 
. Разложим на множители:
= 
= 
= 6.
Тот множитель, который отвечал за стремление к 0 в числителе и знаменателе, сокращён, поэтому далее удалось просто подставить 3 и получить ответ.
Ответ. 6.
Файл обновлён 11.11.2018
Практика № 16. Дата: 13.11.2018.
Практика № 17. Дата: 20.11.2018.
Практика № 18. Дата: 22.11.2018.
Практика № 19. Дата: 27.11.2018.
Практика № 20. Дата: 04.12.2018.
Практика № 21. Дата: 06.12.2018.
Практика № 22. Дата: 11.12.2018.
Практика № 23. Дата: 18.12.2018.
Практика № 24. Дата: 20.12.2018.
Практика № 25. Дата: 25.12.2018.
Приходовский М.А.
Математика
Курс практических занятий
Семестр 1
Учебное пособие
Для специальности
прикладная информатика в экономике»
Томск
ТУСУР
2018
Электронное учебное пособие составлено и скорректировано с учётом реального проведения практических занятий на ФСУ в группе 448-2 осенью 2018 года. Даны с подробным разбором задачи, которые решались на каждом практическим занятии. Также приведены некоторые объяснения или доказательства свойств, которые по ходу дела были рассказаны группе 448-2 во время практических занятий.
Пособие может представлять методический интерес для преподавателей, работающих на аналогичных специальностях, как материал для планирования занятий.
Оглавление по темам
| Действия над матрицами............................................................... Определители. ................................................................................ Обратная матрица........................................................................... Ранг матрицы................................................................................... Системы линейных уравнений…………....................................... Системы линейных однородных уравнений................................. Элементы векторной алгебры.......……………………….……… Линейные операторы....................................................................... Прямая на плоскости....................................................................... Плоскость в пространстве.............................................................. Прямая в пространстве................................................................... Кривые.............................................................................................. Множества и функции.................................................................... Предел последовательности.......................................................... Предел функции.............................................................................. 1-й замеч. предел............................................................................ 2-й замеч. предел............................................................................ Главная часть бесконечно-малой................................................. Непрерывность и точки разрыва.................................................. Дифф.исчисление........................................................................... Частные производные и градиент................................................. Уравнение касательной ................................................................. Экстремумы, наибольшее и наименьшее значение..................... Формула Тейлора............................................................................. Условные экстремумы ................................................................... Выпуклость графика и 2 производная........................................... Асимптоты ...................................................................................... | 5 15 25 34 43 58 65 71 |
| Практика № | Дата | Задачи |
| 1 | 04.09.2018 | 1 - 8 |
| 2 | 11.09.2018 | 9 - 18 |
| 3 | 14.09.2018 | 19 - 27 |
| 4 | 18.09.2018 | 28 - 35 |
| 5 | 25.09.2018 | 36 - 48 |
| 6 | 28.09.2018 | 49 - 58 |
| 7 | 02.10.2018 | 59 – 67 |
| 8 | 09.10.2018 | 68 - 77 |
| 9 | 12.10.2018 | 78 – 87 |
| 10 | 16.10.2018 | 88 – 100 |
| 11 | 23.10.2018 | 101 - 110 |
| 12 | 26.10.2018 | 111 - 118 |
| 13 | 30.10.2018 | 119 - 128 |
| 14 | 06.11.2018 | 129 - 136 |
| 15 | 08.11.2018 | 137 - 146 |
| 16 | 13.11.2018 | |
| 17 | 20.11.2018 | |
| 18 | 22.11.2018 | |
| 19 | 27.11.2018 | |
| 20 | 04.12.2018 | |
| 21 | 06.12.2018 | |
| 22 | 11.12.2018 | |
| 23 | 18.12.2018 | |
| 24 | 20.12.2018 | |
| 25 | 25.12.2018 |
Дата: 2019-02-02, просмотров: 233.
