Очевидно, функция должна быть ограничена в замкнутой области s, так как в противном случае за счет выбора точки Р_i  интегральную сумму можно было бы сделать сколько угодно большой по абсолютной величине, а значит не существует конечного предела интегральных сумм при l®0.

Достаточные условия существования двойного интеграла

 Теорема 1

Если функция ¦ (x,y ) непрерывна в замкнутой области s, то двойной интеграл этой функции по области s существует.

Теорема 2

Если функция ¦ ( x, y ) ограничена в замкнутой области s и непрерывна в ней всюду, кроме конечного числа кусочно-гладких линий, то двойной интеграл по области s существует.

Свойства двойного интеграла

1. не зависит от обозначения переменных интегрирования

2. Постоянный множитель k можно выносить за знак двойного интеграла:

                                                    или

если k – произвольное число , и f( x, y) интегрируема в области s, то kf( x, y) также интегрируема.

3. Двойной интеграл суммы (разности) конечного числа слагаемых равен сумме (разности) двойных интегралов:

или

если f₁( x, y) и f₂( x, y) в области s, то их сумма (разность) также интегрируема в области s.

Совокупность свойств 2 и 3 называется линейностью интеграла.

4. Если область s разбита на любое число областей D s₁, D s₂ … D s_т, не имеющих общих внутренних точек и в каждой из этих областей функция f( x, y) интегрируема, то

5. Если всюду в области s функция ¦(x,y) положительная, то и двойной интеграл этой функции по области s будет положительным

6. Если всюду в области s функции ¦₁ (x,y) и ¦₂ (x,y) интегрируемы и

¦₁ (x,y) ¦₂ (x,y), то:

Это свойство называется монотонностью интеграла.

7. Если ¦ (x,y) интегрируема в области s, то функция |¦ (x,y)| также интегрируема и

Оценка интеграла по модулю.

8. Если ¦ (x,y) 1, то

Доказательство:

Так как в данном случае ¦(x,y,z)=1 в области s, то для любого разбиения

области s на части Ds₁,Ds₂ …Ds_n получим:

9. Теорема о среднем

Если функция непрерывна в замкнутой области s, то в этой области существует точка P( x, h) такая, что

Пусть m – наименьшее значение функции f( x, y) в замкнутой области s;

      М – наибольшее значение функции f( x, y) в замкнутой области s;

тогда для любой точки (x,y) этой области, значения функции удовлетворяют неравенствам:

                                    m £ ¦(x,y) £M

Проинтегрируем это неравенство и применим свойства 6, 2, 8:

Функция ¦(x,y) непрерывна в замкнутой области s, принимает все промежуточные значения между своими наименьшим и наибольшим значениями. Следовательно, существует в области s точка Р(x,h) такая, что