Рассмотрим последовательность точек М₁(х₁, у₁,),М2(х2, у2),…, М_п (х_п,у_п),… плоскости  ХОY. Будем говорить, что эта последовательность точек схо­дится к точке М₀(х₀, у₀), если расстояние                       

                                                                стремится к нулю при п→∞¹).

   Совокупность точек плоскости, находящихся от точки М₀  на расстоя­нии, меньшем δ,т.е. внутренность круга с центром М₀ радиуса δ называется δ-окрестностью  точки М₀.

 Таким образом, последовательность точек М₁, М₂,…, Мп,… плоскости на­зывается сходящейся  к точке М₀, если в любой окрестности точки М₀ лежат все точки последовательности, начиная с некоторого номера.

Обобщая данное ранее определение предела функции одной перемен­ной с помощью предела числовой последовательности, дадим определение предела функции двух переменных.

Пусть функция z = f (х, у)  задана в некоторой окрестности точки М₀, кроме, быть может, самой этой точки.

Если для любой последовательности точек М₁(х₁, у₁,),М₂(х₂, у₂),…, М_п(х_п,у_п),… этой окрестности, сходящейся к точке М₀ (х₀, у₀), соответст­вую­щая по­следовательность значений функции f₁ (х₁, у₁), f₂ (х₂, у₂), … , f (х_п, у_п),… имеет пределом одно и то же число А, то это число А называют пре­делом функ­ции f (х, у)  при  х→х₀ , у→у₀  и пишут:

Так, например, функция f (х, у) = х² + у²  определена во всей плоско­сти. Рассмотрим точку М₀(1,2). Для любой последовательности точек (х₁, у₁), (х₂, у₂),…, (х_п, у_п),…,  сходящейся к этой точке М₀,  имеем:

       Геометрически тот факт, что число А является пределом функции f(х,у)  при  х→х₀, у→у₀,  означает, что, какова бы ни была последователь­ность точек плоскости М₁, М₂,…, М_п,…, неограниченно приближающихся к точке М₀, последовательность аппликат соответствующих им точек по­верхности, изображающей функцию z = f (х, у), имеет пределом число А. При этом в самой точке М₀ функция может быть не определена, а может быть опреде­лена и имеет любое значение, как равное А,  так и отличное от него. Пре­дел функции z = f (х, у) при х→х₀, у→у₀ определяется поведе­нием функции вблизи точки (х₀, у₀) и не зависит от значения функции в са­мой этой точке.

В рассмотренном выше примере мы имели:

                          f ( х, у) = х²+ у²,

для функции же φ(х, у), определяемой равенствами

φ(1, 2)=7, тогда как предел функции φ(х, у) при х→1, у→2 равен пределу функции f(x, y).

       Приведем теперь пример функции, не имеющей предела при х→х₀, у→у₀.

Функция                  , определена всюду, кроме начала координат, при х→0, у→0

предела не имеет, так как, выбирая две сходящихся к точке О(0,0) последователь­ность точек (х₁, 0) (х₂, 0), …, (х_п, 0), … и (0, у₁), (0, у₂), …, (0, у_п), …, получим

       Так же как для функции одной переменной, можно показать, что дан­ное выше определение предела функции двух переменных эквивалентно следующему определению предела: число А называется пределом функции f(x, y) при х→х₀, у→у_0, если для любого положительного числа ε сущест­вует число δ, δ>0, такое, что для всех точек (х,у), отличных от точки (х₀,у₀) и удовлетворяющих условию                                      выполнено нера­венство

       Величина δ зависит от ε и при ε, стремящимся к нулю, δ, вообще го­воря, также стремится к нулю.

       Будем называть функцию f(x, y) бесконечно малой при х→х_0, у→у₀, если

       Пользуясь любым из определений предела функции двух перемен­ных, можно вывести основные свойства бесконечно малых функций, дать понятие порядка, эквивалентности бесконечно малых; доказать теорему о том, что разность между функцией, имеющей предел и ее пределом есть бесконечно малая функция; доказать основные теоремы об арифметиче­ских операциях над пределами. Доказательства этих теорем аналогичны соответствующим доказательствам для функций одной переменной.

       Не останавливаясь на понятиях бесконечного предела функции двух переменных, отметим, что в дальнейшем, говоря о пределах, мы бу­дем иметь в виду конечный предел.

       Данные выше определения без труда обобщаются на функции трех и более переменных, теряется лишь их геометрическая наглядность.

       Так, например, δ–окрестностью точки (х₀, у₀, z_0, …, ω₀) п-мерного про­странства называется совокупностью точек (х, у, z, ω), находящихся от точки (х₀, у₀, z₀, ω₀) на расстоянии, меньшем  δ.

В случае п=3 δ-окрестность точки (х₀, у₀, z₀) представляет собой внутрен­ность шара радиуса δ с центром в этой точке.

Для функции f(x, y, z, …, ω), определенной в некоторой окрестности точки (x₀, y₀, z₀, …, ω₀) (кроме, быть может, этой точке), можно дать, например, следующее определение предела. Число А называется пределом функции f(x, y, z, …, ω) при х→х₀, у→у₀, z→z₀, …, ω→ω₀, если для любого числа ε>0 существует число δ>0, такое, что, для всех точек (x, y, z, …, ω) указанной окрестности , отличных от точки (x₀, y₀, z₀, …, ω₀) удовлетворяющих условию

выполнено неравенство