Уравнение прямой. Основные задачи на прямую.

Определение. Уравнение F(x,y) = 0 (11.1), которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты каждой точки, не лежащей на ней, называется уравнением данной линии.

Если x и y входят в уравнение (11.1) линейно, то уравнение (11.1) представляет прямую линию на плоскости; (например y=3x+5); если x и y (или хотя бы одна из переменных входят в уравнение (11.1) в квадрате, то уравнение (11.1) представляет линию второго порядка (например y=x²).

Определение. Уравнение вида Ax+By+C=0 (12.2) называется общим уравнением прямой.

Определение. Уравнение y =kx + b (11.3) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом, где

k - угловой коэффициент;

b - величина отрезка, который отсекает прямая на оси OY, считая от начала координат;

k = tg a, где a - угол наклона прямой к оси OX

Если прямая задана общим уравнением Ax+By+C=0, то ее угловой коэффициент определяется по формуле

                                                                                                                  (11.4)

Уравнение                       y-y₀ = k(x-x₀)                                                       (11.5)

является уравнением прямой, проходящей через точку M(x₀;y₀) и имеющей угловой коэффициент k.

Уравнение                                                                           (11.6)

является уравнением прямой, проходящей через две точки M₁(x₁; y₁) и M₂(x₂; y₂).

Признаком параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов k₁=k₂.

Признаком перпендикулярности двух прямых является соотношение

.

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точки A(2;3) и B(5;1).

Решение.

Пример. Дана прямая 2x+3y+4=0.

Составить уравнение прямой, проходящей через точку M₀(2;1):

а) параллельно данной прямой;

б) перпендикулярно к данной прямой.

Решение. Определим по формуле (12.4) угловой коэффициент данной прямой

Составим уравнение прямой, проходящей через точку M₀ и имеющей угловой коэффициент k₁:

y-1=k₁(x-2).

а) Для того, чтобы найденная прямая y-1=k₁(x-2) была параллельна данной 2x+3y+4=0 необходимо выполнение равенства k=k₁.

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку M₀ и параллельной данной будет иметь такой вид:

б) Для того, чтобы найденная прямая y-1=k₁(x-2) была перпендикулярна к данной прямой, необходимо выполнение равенства k × k₁= -1

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку M₀ и перпендикулярной к данной прямой, будет таким:

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(2; 3) и перпендикулярной прямой

4x+3y-12=0.

Решение. Составим уравнение прямой, проходящей через точку A(2; 3) под углом a

y-3=k₂(x-2), где k₂=tga.

Угловой коэффициент данной прямой k₁=-4/3.

Учитывая, что угловые коэффициенты перпендикулярных прямых связаны соотношением

k₁×k₂=-1, получаем -4/3×k₂= -1, откуда k₂=3/4.

Подставляя k₂ в полученное уравнение, выпишем уравнение прямой

Уравнение прямой “в отрезках”

Если ни один из коэффициентов уравнения (12.2) не равен нулю, то его можно преобразовать к виду

                                                                                                             (11.7)

где  - величины отрезков, которые отсекает прямая на координатных осях.

Это уравнение (11.7) называется уравнением прямой“ в отрезках”.

Этим уравнением пользуются для построения прямой.

Поэтому при необходимости уравнение прямой приводят к виду уравнения “в отрезках” и строят прямую.

Пример. Построить прямую 5x-3y=-15.

Решение.

Преобразуем это уравнение в уравнение прямой в “отрезках”. Для этого разделим обе части уравнения на -15. Получим

На оси абсцисс откладываем отрезок, величина которого равна    a= -3 единицы, на оси ординат b=5 единиц и соединим их концы.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку M ₁ ( x ₁ ; y ₁ )

и имеющей заданный нормальный вектор

Определение. Любой ненулевой вектор , перпендикулярный данной прямой, называется нормальным вектором этой прямой.

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M₁(2; 3) и имеющей нормальный вектор

Решение. Запишем уравнение искомой прямой, подставив данные в (11.8):

-1(x-2)+4(y-3)=0;

-x+2+4y-12=0;

 x-4y+10-0.

Определение. Любой ненулевой вектор , коллинеарный данной прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку M₁(x₁, y₁) и имеющей заданный направляющий вектор, имеет вид:

                                                                                                   (11.9)

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(2; -1) и имеющей направляющий вектор

Решение. Подставим данные своего примера в (11.9) и получим:

Параллельность прямых

Пусть на плоскости заданы две прямые

Нормальные векторы этих прямых имеют координаты

Если l₁ êêl₂, то их нормальные векторы коллинеарны Þ

Если , то прямые различны, не параллельны друг другу, а значит пересекаются в одной точке (l₁Il₂).

Если , то оба уравнения определяют одну и ту же прямую l₁=l₂.

Пример. Установить, параллельны ли прямые?

а)    4x-6y+10=0 и 6x-9y+2=0.

Решение. Составляем соотношение

прямые параллельны;

б)    6x-3y-2=0 и 4x-10y+6=0.

Решение: прямые не параллельны.

Перпендикулярность прямых

Если l₁^l₂, то скалярное произведение нормальных векторов этих прямых должно быть равно нулю, т.е.  A₁A₂+B₁B₂=0.

Пример. Установить, перпендикулярны ли прямые 5x-2y+1=0 и 4x+10y-1=0?

Решение.

5×4+(-2)×10=0

20-20=0 Þ прямые перпендикулярны.

Угол между двумя прямыми

Определение. Углом между двумя прямыми называется величина меньшего из углов, образованного этими прямыми.

, где  - нормальные векторы прямых l₁ и l₂ (11.10)

Пример. Найти угол между двумя прямыми

2x-3y+4=0 и     x+5y-3=0.

Решение. Найдем координаты нормальных векторов заданных прямых:

Теперь воспользуемся формулой (11.10)