Лекция 3. Матрицы, действия над ними. Матричный метод решения систем линейных уравнений

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Действия над матрицами. Вычисление обратной матрицы

Определение: Матрица - это множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m строк и n столбцов:

или A=(a_ij), где

Для обозначения матрицы используют прописные латинские буквы, для обозначения элементов матрицы – строчные латинские буквы с указанием номера строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Запись «матрица B имеет размер mxn» означает, что речь идет о матрице, состоящей из m строк и n столбцов. Например, матрица имеет размер 2x3. Далее, bij - обозначение элемента, стоящего на пересечении i-й строки и j-го столбца данной матрицы (в примере b23=5).

Матрица, у которой число строк совпадает с числом столбцов, называется квадратной. Элементы a₁₁ , a₂₂,…, a_nn квадратной матрицы A (размера nxn) образуют главную диагональ. Квадратная матрица, у которой отличные от нуля элементы могут стоять только на главной диагонали, называется диагональной. Диагональная матрица, у которой все элементы (главной диагонали!) равны 1, называется единичной. Наконец, квадратная матрица, у которой ниже (выше) главной диагонали находятся только нули, называется верхней (нижней) треугольной матрицей. Например, среди квадратных матриц размера 3x3

, , ,

матрица A является верхней треугольной, B – диагональной, C – нижней треугольной, E – единичной.

Замечание: нужно помнить, что матрица-это таблица, а определитель - это число.

Если m¹n, то матрица называется прямоугольной, если m=n, то матрица называется квадратной.

Определение. Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковое число строк и одинаковое число столбцов, и их соответствующие элементы равны.

Определение. Если в матрице A типа m´n переставить строки со столбцами, получим матрицу типа n´m, которая будет называться транспонированной и обозначается A^T.

Пример:

1) Если ;

2) Если ;

3) Если

Действия над матрицами.

1. Сложение матриц.

Суммой двух матриц является матрица, элементы которой равны сумме соответствующих элементов этих матриц.

Замечание: складывать можно матрицы, имеющие одинаковое строение.

Пример1. Сложить матрицы А и В;

2. Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы A=(a_ij) на число k называется такая матрица k×A, каждый элемент которой равен k×a_ij.

Пример:

а) умножить матрицу на число k=3:

;

б) найти матрицу, противоположную матрице :

в) Найти 2 A- B, если , .

Решение. Сначала умножаем матрицу A на число «2», затем матрицу B на число «-1», и, наконец, находим сумму полученных матриц:

3. Умножение матриц:

а) умножение квадратных матриц

A×B=C.

Произведением двух матриц A и B является матрица С, каждый элемент которой C_ij равен сумме произведений всех элементов i-й строки матрицы А на элементы j-го столбца матрицы B.

Пусть даны две квадратные матрицы

Тогда (8.1)

Пример. Найти произведение матриц А и В, если

б) Правило нахождения матрицы-произведения распространяется на умножение прямоугольных матриц. Для умножения прямоугольных матриц справедливы следующие правила:

1) умножение матрицы А на матрицу В допустимо только тогда, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В;

2) в результате умножения двух прямоугольных матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько строк в первой матрице и столько столбцов, сколько столбцов во второй матрице.

Произведение AB можно определить только для матриц A размера mxn и B размера nxp, при этом AB= C, матрица C имеет размер mxp, и ее элемент c_ij находится как скалярное произведение i-й строки матрицы A на j-й столбец матрицы B: ( i=1,2,…, m; j=1,2,…, p). Фактически необходимо каждую строку матрицы A (стоящей слева) умножить скалярно на каждый столбец матрицы B (стоящей справа).

Пример. Найти произведение матриц и .

Решение. Размер матрицы A 3x2, матрицы В 2х2. Поэтому произведение АВ найти можно, произведение ВА – нет. Действуя по сформулированному выше правилу, получаем:

Пример. Найти произведение матриц А и В, если

Пример. Найти произведение Е×А, где

Замечание. Произведение двух матриц не подчиняется переместительному закону, т.е. А×В¹В×А.

Пример 3. Найти .

Решение. Воспользовавшись вычислениями, проведенными при решении примера, а также правилами умножения матрицы на число и сложения матриц, получим:

Вычисление обратной матрицы.

Определение: Квадратная матрица А называется вырожденной, если ее определитель равен нулю.

Определение: Если А - квадратная матрица, то обратной по отношению к А называется матрица, которая при умножении на А (как справа, так и слева), дает единичную матрицу.

Если А - исходная матрица, то обратная к ней обозначается А^-1.

А^-1×А=А× А^-1=Е, .

Определение: Пусть дана матрица А. Матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов матрицы и затем транспонированная, называется взаимной к А и обозначается А^*.

(8.2)

Обратная матрица А^-1 получается путем деления каждого элемента взаимной матрицы на определитель системы D, т.е.

. (8.3)

Любая невырожденная (D¹0) квадратная матрица имеет обратную матрицу. Причем А×А^-1=Е. Таким образом, можно описать схему вычисления обратных матриц:

1) Найти определитель исходной матрицы (он не должен быть равен нулю).

2) Найти алгебраические дополнения всех элементов исходной матрицы и записать новую матрицу, состоящую из этих алгебраических дополнений.

3) Транспонировать матрицу, состоящую из алгебраических дополнений (т.е. записать взаимную матрицу).

4) Разделить полученную матрицу на определитель D.

Пример. Найти матрицу, обратную к .

1) Þ матрица невырожденная, а значит, существует обратная.

Получим новую матрицу

3) Транспонируем новую матрицу и получим взаимную к А матрицу: .

Проверим правильность полученного результата.

Если А^-1 найдена верно, то должно выполняться условие: .

Проверим это

Полученный результат (А^-1) правильный.

Нахождение обратных матриц применяется при решении линейных систем матричным методом.

Решение систем линейных уравнений матричным способом.

Пусть дана система уравнений

(9.1)

Рассмотрим матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных

Свободные члены и неизвестные можно записать в виде матриц-столбцов:

Тогда, используя правило умножения матриц, эту систему уравнений можно записать так:

или А×X=B (9.2)

Равенство (5.2) называется матричным уравнением.

Такое уравнение решается по формуле:

X=A^-1×B. (9.3)

Матричные уравнения решаются по схеме:

1) найти обратную матрицу А^-1;

2) найти произведение обратной матрицы А^-1 на матрицу-столбец свободных членов В, т.е. A^-1×B;

3) записать ответ, пользуясь определением равных матриц.

Пример. Решить матричным способом систему уравнений.

Составим матричное уравнение А×X=B, где

и решим его.

Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А:

А₁₁= 3 А₁₂=-6 А₁₃= 3

А₂₁=-4 А₂₂= 2 А₂₃=-1

А₃₁= 2 А₃₂=-1 А₃₃=-4.

Составим матрицу из алгебраических дополнений

и транспонируем ее (тем самым получим взаимную матрицу).

Запишем обратную матрицу:

Найдем решение системы:

X=A^-1×B= ;

Результат можно проверить подстановкой в любое из уравнений системы, например, во второе:

3x₁+2x₂+x₃=23;

3×4+2×3+5=23;

12+6+5=23;

23=23.

Второе уравнение обратилось в тождество после подстановки найденных значений неизвестных, а значит, получен правильный результат.

Ранг матрицы и его нахождение.

Определение. Рангом матрицы r называется наивысший порядок ее минора, отличного от нуля, при условии, что миноры более высокого порядка равны нулю.

Каждый элемент матрицы можно считать ее минором 1-го порядка.

Способы вычисления ранга матрицы.

1 способ. Вычислить всевозможные миноры n-го порядка и если хотя бы один из них окажется отличным от нуля, то ранг матрицы равен n. Если все миноры n-го порядка равны нулю, то вычислить миноры (n-1) порядка и так далее, пока не найдется первый минор, отличный от нуля.

Пример. Определить ранг матрицы

Вычислим минор 3-го порядка.

Будем вычислять всевозможные миноры 2-го порядка.

Ответ: ранг матрицы r равен 2.

2 способ основан на приведении матриц к ступенчатому виду.

Определение. Матрица называется ступенчатой, если каждая ее строка содержит хотя бы один элемент, отличный от нуля, который расположен правее (первого) отличного от нуля элемента предыдущей строки.

Пример.

A₁- ступенчатая

A₂- не ступенчатая

2 способ состоит в том, что ранг матрицы равен количеству ненулевых строк ее ступенчатого вида.

Матрицу можно привести к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований ее строк:

1) перестановки строк;

2) умножения строк на одно и то же число;

3) прибавления к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и то же число.

Замечание. Элементарные преобразования строк не меняют ранга матрицы; также не меняет ранга матрицы отбрасывание нулевых строк.

Пример.

Вычислить ранг матрицы:

Решение.

~ ~

~ ~ .

Полученная матрица имеет ступенчатый вид и у нее две строки Þ r = 2.

Лекция 4. Векторы, линейные операции над ними, способы задания.

Способы задания векторов и действия над ними.

Определение. Любой направленный отрезок принято называть вектором.

Определение. Отрезок называется направленным, если на нем задано начало и конец.

Вектор определяется числом и направлением. К числу векторных величин относятся сила, перемещение, скорость и т.д. Векторы обозначают либо одинарными латинскими символами: либо двумя заглавными латинскими символами, например где А - начало направленного отрезка, а В - его конец. Геометрически вектор изображается направленным отрезком, соединяющим две точки пространства:

В .

Чтобы задать вектор, достаточно указать его модуль и направление.

Также вектор может быть задан координатами (4.1)

Определение. Модулем (длиной) вектора называется длина порождающего его отрезка.

Длина вектора обозначается таким образом:

Пример. Записать векторы, изображенные на рисунке.

Так как первая буква в записи вектора должна обозначать начало вектора, то на рисунке изображены следующие векторы:

Определение. Вектор, модуль которого равен нулю, называется нулевым или нуль - вектором.

Очевидно, что (нуль-вектор) - это точка.

Определение. Если , то вектор называется единичным.

Координаты вектора с началом в точке A(x₁; y₁; z₁) и концом в точке

B(x₂; y₂; z₂) определяются таким образом:

= (x₂ - x₁; y₂ - y₁; z₂ - z₁). (4.2)

Определение. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Коллинеарными являются векторы (см. рис.):

Причем, у первых двух коллинеарных векторов

направления совпадают. Такие векторы называ-

ются сонаправленными и пишут . Если направления у векторов противоположны, то их называют противоположно-направленными и пишут

Определение. Два коллинеарных вектора называют равными, если они сонаправлены и имеют равные длины.

Т. е.

Также два вектора называются равными, если равны их соответствующие координаты, например, если = (a_x; a_y; a_z) , а = (x₂ - x₁; y₂ - y₁; z₂ - z₁) , то

Вектор, полученный параллельным переносом вектора в пространстве, является равным вектору .

Определение. Векторы называются компланарными, если после приведения их к общему началу они лежат в одной плоскости.

Линейные операции над векторами.

Определение 1. Суммой векторов называется такой вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец - с концом вектора при условии, что начало вектора перенесено в конец вектора (правило треугольника).

Пример 1. Таким образом, чтобы сложить два вектора , нужно выбрать на плоскости произвольную точку М и отложить от нее вектор а затем от точки А отложить вектор Тогда вектор является суммой векторов , т.е.

Определение 2. Суммой двух векторов является диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, исходящая из их общего начала (правило параллелограмма).

Пример 2. Сложить векторы , пользуясь правилом параллелограмма.

Возьмем произвольную точку О на плоскости. Отложим от нее вектор и вектор (приведем их к общему началу).

Построим на этих векторах параллелограмм.

Тогда суммой векторов будет вектор , являющийся диагональю параллелограмма и выходящий из общего начала векторов , т.е. .

Отсюда сразу следует, что .

Сложение многих векторов производится при помощи последовательного применения правила треугольника.

Пример. Найти сумму векторов .

Возьмем произвольную точку М на плоскости и отложим от нее вектор , затем от конца вектора отложим вектор ; от конца вектора отложим вектор ; от конца вектора отложим вектор . Соединяя начало вектора с концом вектора , получим результирующий вектор, являющийся суммой данных четырех векторов.

Определение. Сумма векторов = (a_x; a_y; a_z) и = (b_x; b _y; b_z) – это вектор, координаты которого равны сумме соответствующих координат векторов слагаемых:

+ = => = (a_x + b_x; a_y + b_y; a_z + b_z ) . (4.3)

Определение. Два вектора называются противоположными, если их сумма равна нулевому вектору.

Вектор, противоположный вектору , обозначают , т.е. .

Таким образом, противоположные векторы имеют равные длины и противоположно направлены.

Определение. Разностью векторов и называют сумму векторов , т.е. .

Если два вектора и приведены к общему началу, то их разность есть вектор, идущий из конца ("вычитаемого") к концу ("уменьшаемого").

Пример. Найти разность векторов и

Возьмем произвольную точку М на плоскости и отложим от нее векторы и

Соединим концы векторов и направим этот отрезок из конца в конец . Этот вектор и будет разностью векторов и .

Определение. Произведением вектора на число (скаляр) k называется вектор , который имеет длину, равную и коллинеарен . При этом, если k>0, то векторы и сонаправлены, если k<0, то они противоположно направлены.

Произведение вектора = (a_x ; a_y ; a_z) на число – это вектор, координаты которого равны координатам вектора , умноженным на это число:

k∙ = k∙( a_x ; a_y ; a_z ) = ( k∙ a_x ; k∙ a_y ; k∙ a_z ). (4.4)

k=3

k=-2

k=3

Пример. Даны векторы и . Построить вектор .

Возьмем произвольную точку О на плоскости. Отложим от нее , а затем от конца полученного вектора отложим . Теперь соединим точку О с концом вектора . Полученный вектор и будет результирующим.

Единичный вектор того же направления, что и данный вектор. Длина и направляющие косинусы вектора.

Справедливо следующее утверждение:

Любой вектор на плоскости может быть представлен единственным способом в виде линейной комбинации двух неколлинеарных векторов и , т.е. , где - числа.

Говорят, что вектор разложен в базисе .

Определение. Базисом на плоскости называется пара неколлинеарных векторов, взятых в определенном порядке.

Определение. Числа называются координатами вектора в базисе .

Пример. Разложить векторы в базисе .

Решение: , а значит ,

Таким образом,

Также справедливо следующее утверждение: любой вектор в пространстве может быть выражен через тройку единичных векторов , направленных по осям координат, (которые называются ортами и образуют базис трехмерного пространства) при помощи линейных операций

Определение. Проекцией вектора на ось Х называется число, равное величине соответствующего отрезка на оси Х.

Проекция вектора на ось Х обозначается: .

Проекция вектора на ось Х выражается через его модуль и угол a к оси Х формулой:

Аналогично

(5.1)

Определение. Проекции вектора на координатные оси называют его координатами.

Если вектор задан координатами , то формула (5.2)

позволяет по координатам вектора определить его модуль.

Если даны две точки , являющиеся соответственно началом и концом вектора , то его координаты (x, y, z) определяются по формулам x= x₂-x₁, y= y₂-y₁, z= z₂-z₁.