Всю совокупность единиц, которые подлежат обследованию называют генеральной совокупностью. Ее численность обозначается N.

Часть совокупности, которая подлежит выборочному обследованию, называют выборочной, ее численность обозначается n.

Задание выборочного наблюдения – получить правильное представление о показателях генеральной совокупности на основе изучения выборочной совокупности.

При выборочном наблюдении имеют дело с двумя категориями обобщающих показателей:

- доля (удельный вес) (в генеральной совокупности обозначается P, в выборочной – w);

- средняя величина.

Удельный вес дает характеристику совокупности по вариационному признаку и рассчитывается как отношение числа единиц совокупности, которые имеют интересующий нас признак к общему числу единиц совокупности.

Среднее значение вариационного признака во всей генеральной совокупности называется генеральной средней , а среднее значение признака, который подлежит выборочному наблюдению называется выборочной средней .

В процессе статистических исследований нередко приходится ограничивать объем выборки. В статистике доказано, что даже выборки весьма малого объема (до 30 единиц), которые называют малыми выборками, позволяют получить приемлемые для анализа результаты.

Проблема малых выборок была решена в 1908г. английским статистиком У.Гассетом (псевдоним Стьюдент (студент)). Он сумел определить зависимость между величиной доверительного коэффициента t, а так же численностью малой выборки n с одной стороны, и вероятностью нахождения ошибки выборки в заданных пределах с другой стороны. Эта зависимость получила название – распределение Стьюдента.

Для определения возможных границ ошибки пользуются так называемым критерием Стьюдента, который определяется по формуле:

 ,

где   мера случайных колебаний выборочной средней в малой выборке.

Размер рассчитывается на основе данных выборочного наблюдения по формуле:

.

Для упрощения расчетов имеются специальные таблицы значений критериев Стьюдента.

Понятие об ошибках выборки.

Ошибка выборки возникает из-за различий в вариации значений изучаемого признака у единиц выборочной и генеральной совокупности. Поскольку при соблюдении требований случайного отбора все единицы генеральной совокупности имеют равные шансы попасть в выборку, состав выборки может значительно изменяться при повторении испытаний. Соответственно будут меняться параметры выборки, и возникать ошибки выборки. Ошибки выборки неизбежны, они вытекают из сути метода. Ошибки выборки не могут быть постоянными при повторении отбора.

Вероятность появления определенной ошибки выборки находят с помощью теорем теории вероятностей. Согласно теореме Чебышева, при достаточно большом объеме выборки и ограниченной дисперсии генеральной совокупности вероятность того, что разность между выборочной средней и генеральной средней будет сколь угодно мала, близка к единице:

 при .

А. М. Ляпунов доказал, что независимо от характера распределения генеральной совокупности при увеличении объема выборки распределение вероятностей появления того или иного значения выборочной средней приближается к нормальному распределению (центральная предельная теорема). Следовательно, вероятность отклонения выборочной средней от генеральной средней, т.е. вероятность появления заданной предельной ошибки, также подчиняется указанному закону и может быть найдена как функция от t с помощью интеграла вероятностей Лапласа:

,

где – нормированное отклонение выборочной средней от генеральной средней.

При определении ошибки выборки речь идет о том, чтобы максимально приблизить показатели выборочной совокупности к показателям генеральной совокупности и выявить допустимые граничные отклонения этих показателей.

В процессе выборочного наблюдения возможно решить 2 задачи:

- установить пределы (границы) среднего значения признака в генеральной совокупности: ;

- найти пределы (границы) доли альтернативного признака в генеральной совокупности: .

Ошибка репрезентативности, или разница между выборочной и генеральной характеристикой (долей или средней), которая возникает вследствие несплошного наблюдения, в основе которого лежит случайный отбор, рассчитывается как граница вероятной ошибки (предельная ошибка выборки).

В общем виде предельная ошибка выборки определяется (на основе теоремы Ляпунова) как:

 = t ,

где t – коэффициент доверия, зависящий от вероятности, с которой определяется предельная ошибка выборки (значения t при заданной вероятности P определяются по таблице значений, которая рассчитывается по формуле Лапласа).

Например, при P=0,683          t =1,

при P=0,954           t =2,

при P=0,997           t =3.

Вероятность, которая принимается при расчете выборочной характеристики, называется доверительной. В качестве уровня доверительной (гарантированной) вероятности принимается, обычно, 0,954 или 0,997. Тогда граница ошибки определяется величиной, удвоенной или утроенной по отношению к средней ошибке выборки .

Средняя ошибка выборки определяется по формулам:

- для повторного случайного отбора

= ;       

– для бесповторного случайного и механического отборов

= ;

где - дисперсия (для типовой выборки - средняя из внутригрупповых дисперсий; для простой случайной и механической выборок – дисперсия выборочной совокупности).

Таким образом, предельная ошибка выборки для средней рассчитывается по формулам:

- для повторного случайного отбора

;      

– для бесповторного случайного и механического отборов

.

Предельная ошибка выборки для доли альтернативного признака:

- при повторном отборе

,

- при бесповторном

,

где - доля альтернативного признака;

m -численность совокупности по альтернативному признаку;

 - численность выборочной совокупности.

Следовательно, при выборочном наблюдении определяется не одно, точное значение обобщающей характеристики генеральной совокупности, а лишь ее доверительный интервал с заданным уровнем вероятности. И это серьезный недостаток выборочного метода статистики.

Вероятности конкретного размера ошибок подсчитать невозможно (нецелесообразно), гораздо важнее знать, что ошибка наблюдений не выйдет за определенные пределы.

Рассмотрим пример. Допустим, в результате выборочного исследования жилищных условий жителей города, осуществленного на основе случайной повторной выборки, получен такой ряд распределения.

Таблиця 9.1