Исследование формы распределения
Поможем в ✍️ написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

 

Выяснение общего характера распределения предполагает не только оценку степени его однородности, но и исследование формы распределения, т.е. оценку симметричности и эксцесса.

При увеличении объема статистической совокупности (N) и одновременного уменьшения интервала группировки полигон либо гистограмма распределения все более и более приближается к некоторой плавной кривой, являющейся для указанных графиков пределом. Эта кривая называется эмпирической кривой распределения и представляет собой графическое изображение в виде непрерывной линии изменения частот, функционально связанного с изменением вариант.

В статистике различают следующие виды кривых распределения:

- одновершинные кривые (описывают однородные совокупности);

- многовершинные кривые (описывают неоднородные совокупности).

Одновершинные кривые распределения делятся на симметричные, умеренно асимметричные и крайне асимметричные.

Распределение называется симметричным, если частоты любых двух вариантов, равноотстоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой.

Симметричностью характеризуется нормальное распределение, для которого мода равна медиане и равна средней: .

Нормальный ряд распределения описывается уравнением:

где  - ордината кривой нормального распределения (относительная плотность распределения);

 - нормированное отклонение;

х            – значение изучаемого признака;

          – средняя арифметическая ряда;

    σ            – среднее квадратическое отклонение;

    π = 3,1415 – математическая константа (отношение длины окружности к ее диаметру);

     e = 2,7182 – основание натурального логарифма.

Следовательно, кривая нормального распределения может быть построена по двум параметрам – средней арифметической и среднему квадратическому отклонению.

    Если  не меняется, а изменяется только σ, то чем меньше σ, тем более вытянута вверх кривая и наоборот, чем больше σ, тем более плоской и растянутой вдоль оси абсцисс становится кривая нормального распределения (рис. 7.1).

 

X
σ1
σ2
σ3
= const σ1 < σ2 < σ3
f(X)

 

Рис. 7.1. Влияние величины σ на кривую нормального распределения

 

Если σ остается неизменной, а  изменяется, то кривые нормального распределения имеют одинаковую форму, но отличаются друг от друга положением максимальной ординаты (вершины) (рис. 7.2).

X
f(X)
 <  <
σ = const


Рис. 7.2. Влияние величины  на кривую нормального распределения

        

Итак, выделим особенности кривой нормального распределения:

1) кривая симметрична и имеет максимум в точке, соответствующей значению =Ме=Мо;

2) кривая асимптотически приближается к оси абсцисс, продолжаясь в обе стороны до бесконечности (чем больше отдельные значения X отклоняются от , тем реже они встречаются);

3) кривая имеет две точки перегиба на расстоянии ± σ от ;

4) коэффициенты асимметрии и эксцесса равны нулю.

Коэффициенты асимметрии используют для характеристики асимметрии.  Наиболее часто используется коэффициент асимметрии Пирсона:

.

В одновершинных распределениях величина этого показателя изменяется от -1 до +1.

Распределения с сильной правосторонней и левосторонней асимметрией показаны на рис. 7.3.

Мо
Мо
Правосторонняя As > 0
Левосторонняя As < 0

Рис. 7.3. Асимметрия распределения

Левосторонней будет такая асимметрия, когда левая часть кривой длиннее правой и вершина ее сдвинута вправо. Если вершина сдвинута влево и правая часть кривой длиннее левой, такая асимметрия называется правосторонней.

Показатель асимметрии Пирсона характеризует асимметрию в центральной части распределения, поэтому более распространенным и более точным является коэффициент асимметрии, рассчитанный на основе центрального момента 3-его порядка:

.

Центральным моментом в статистике называется среднее отклонение индивидуальных значений признака от его среднеарифметической величины (табл.7.1).

 

 

Таблица 7.1

Центральные моменты

Порядок момента

Формула

для несгруппированных данных для сгруппированных данных
Первый μ1
Второй μ2
Третий μ3
Четвертый μ4

 

С помощью момента четвертого порядка характеризуется еще более сложное свойство рядов распределения – эксцесс (от англ. «излишество»). Показатель эксцесса рассчитывается по формуле:

.

Эксцесс является показателем островершинности расределения. При симметричных распределениях он равен нулю, если эксцесс больше нуля, то распределение относится к островершинным, если меньше нуля – к плосковершинным (рис.7.4.).

Нормальное распределение Ex = 0
Ex < 0
Ex > 0

Рис. 1.4. Эксцесс распределения

 

По значениям показателей асимметрии и эксцесса распределения можно судить о близости распределения к нормальному: показатели асимметрии и эксцесса не должны превышать своих двукратных средних квадратических отклонений, т.е.  и . Эти средние квадратические отклонения вычисляются по формулам:

;

.

 


Дата: 2018-12-28, просмотров: 285.