Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Определение 2.6. Пусть функции ,  удовлетворяют требованиям 1⁰–3⁰ в определении оригинала. Сверткой функций ,  называется третья функция, вычисляемая по формуле

.                                (2.18)

Например,

.

Нетрудно убедиться, что функция (2.18) также удовлетворяет требованиям
1⁰–3⁰.

Лемма 2.3. Имеет место равенство

.

Доказательство. Выполняя в (2.18) замену переменной интегрирования: , получим

.

В приложениях операционного исчисления важную роль играет

Теорема 2.2. L -изображение свертки двух оригиналов равно произведению их L -изображений:

.                                      (2.19)

Доказательство. Обозначим . Далее равенство (2.19) доказывается при p в полуплоскости , где v_k – показатели роста функций , , тогда рассматриваемые несобственные интегралы сходятся (лемма 2.1) и проводимые преобразования корректны; затем оно может быть аналитически продолжено в p-плоскость. По определению (2.1) преобразования Лапласа имеем

.

Обозначим D область на -плоскости, изображенную на рис. 2.11 (для наглядности  изображена точкой на числовой оси). По правилу преобразования двойного интеграла в повторный, примененному справа налево, получим

Рис. 2.11.

.

Подставим  и перейдем к повторному интегралу в другом порядке:

.

Выполняя во втором интеграле замену , получим

.

Теорема доказана.

 

Задание для самостоятельной работы.

Вычислить свертку следующих функций:

а) ;        б) ;         в) ;    
г) ; д) ;             е) .

 

ФОРМУЛА ДЮАМЕЛЯ

В § 2.7 было установлено удобное правило описания линейных стационарных цепей на языке L-изображений с помощью передаточной функции – формулы (2.11), (2.12). Укажем часто применяемый способ описания цепей этого класса на языке оригиналов с использованием понятия «свертка». Для большей наглядности и для упрощения записей рассмотрим частный случай цепи (2.10):

.                           (2.20)

Выходной сигнал  вычисляется по входному сигналу  как решение задачи Коши для дифференциального уравнения (2.20) при нулевых начальных условиях:

.

Полученное далее правило остается верным для цепей общего вида (2.10).

Обозначим  реакцию цепи (2.20) на сигнал  (рис. 2.12). Это означает, что  – решение задачи Коши

 (2.21)

Теорема 2.3. Реакция  линейной стационарной цепи (2.20) на входное воздействие  дается формулой

,                                     (2.22)

где  – функция (2.21).

Доказательство. Достаточно проверить справедливость для функции (2.22) равенства , где  – передаточная функция цепи (2.20). Из определения функции  следует:

.

Применяя к обеим частям равенства (2.22) операцию L, с учетом теоремы о свертке (2.19), формулы для L-изображения производной и требования  получим:

.

Теорема доказана.

Формула (2.22) называется формулой Дюамеля. Функция  называется переходной функцией линейной стационарной цепи (2.20).

Пример. Найти переходную функцию линейной стационарной цепи

.

Пользуясь формулой Дюамеля, найти реакцию цепи на гармонику .

Решение. Переходная функция  есть решение задачи Коши вида (2.21):

Применяя к обеим частям уравнения операцию L, вычисляя затем с учетом формулы  L-изображение  и разлагая полученную рациональную дробь в сумму элементарных дробей, получим

,

откуда по правилу восстановления оригинала по L-изображению

.

 

В силу теоремы 2.3 для вычисления реакции цепи на входной сигнал  нужно «свернуть» его с производной  по формулам (2.22), (2.18):

.

Вычисление этого интеграла с использованием приема «возвратного» интегрирования дает искомый результат:

.

Задание для самостоятельной работы.

Найти переходные функции линейных стационарных цепей:

а) ;     б) ;     в) .

Пользуясь формулой Дюамеля, найти реакции этих цепей на сигналы , .

§ 2.10. ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ.
ФИЛЬТРУЮЩЕЕ СВОЙСТВО ДЕЛЬТА-ФУНКЦИИ

В заключение изложим кратко широко применяемый в расчетах прием, предложенный в начале прошлого века английским физиком Дираком.

Определение 2.7. Дельта-функцией называется производная функции Хевисайда:

.                                               (2.23)

Из определения следует:

(при  «касательная» к графику функции  – см. рис. 2.3 – направлена вертикально, поэтому ее угловой коэффициент ). Очевидно,  не является функцией в обычном смысле; в современной терминологии является обобщенной функцией или распределением (см. книгу [14]). В основе приложений дельта-функции лежит правило, называемое ее фильтрующим свойством. Мы приведем это правило с кратким пояснением и укажем приложение к теории автоматического управления.

Из (2.23) следует (см. рис. 2.13): при любом  

(2.24)

Точка  называется носителем функции .

Теорема 2.4. Для любой непрерывной на оси функции  и любой  верно равенство

.                       (2.25)

Таким образом, дельта-функция с носителем  «отбирает» из всех значений функции значение в точке  – фильтрует множество значений.

Приведем нестрогое пояснение. Формальные вычисления по формуле (2.24) дают:

при ,

при .

Поэтому

.

Следствие. L-изображение функции  равно 1:

.                                                      (2.26)

В самом деле, из определения (2.1) преобразования Лапласа с учетом  при  и фильтрующего свойства (2.25) получаем:

.

Рассмотрим линейную стационарную цепь с передаточной функцией . Обозначим  реакцию цепи на входной сигнал  (рис. 2.14). Функция  называется весовой функцией линейной стационарной цепи.

Лемма 2.4. Передаточная и весовая функции линейной стационарной цепи связаны соотношением

.                                                    (2.27)

Доказательство. По формулам (2.11), (2.26) имеем:

.

Теорема 2.5. Реакция  линейной стационарной цепи (2.10) с весовой функцией  на входное воздействие  дается формулой

.                                                (2.28)

Доказательство. По формулам (2.19), (2.27) получаем:

,

откуда следует требуемое.

Пример. Решить пример из § 2.9, пользуясь понятием весовой функции и теоремой 2.5.

Решение. Весовая функция  есть решение задачи Коши

Применяя к обеим частям уравнения операцию L и используя формулу (2.26) для L-изображения дельта-функции: , после простых вычислений
найдем:

,

откуда

.

По формуле (2.28) получаем, как и в § 2.9:

.

 

Задание для самостоятельной работы.

Решить примеры а), б), в), указанные в конце § 2.9, пользуясь понятием весовой функции и теоремой 2.5.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Маркушевич А.И. Введение в теорию аналитических функций /
А.И. Маркушевич, Л.А. Маркушевич. – М.: Просвещение, 1977.

2. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ / Б.В. Шабат. – М.: Наука, 1976. – Ч. 1.

3. Поддубный Г.В. Математический анализ для радиоинженеров /
Г.В. Поддубный, Р.К. Романовский. – М.: Воениздат, 1976.

4. Краснов М.Л. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости / М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко. – М.: Наука, 1971.

5. Мышкис А. Д. математика для втузов (специальные курсы) /
А.Д. Мышкис. – М.: Наука, 1971.

6. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения / Н.Н. Лебедев. – М.: ГИТТЛ, 1953.

7. Диткин В.А. Введение в комплексный анализ / В.А. Диткин,
А.П. Прудников. – М.: ГИФМЛ, 1961.

8. Мартыненко В.С. Операционное исчисление / В.С. Мартыненко. – Киев: Высшая школа, 1973.

9. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление / Я.Н. Ройтенберг. – М.: Наука, 1978.

10. Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления / Е.П. Попов. – М.: Наука, 1978.

11. Чаки Ф. Современная теория управления / Ф. Чаки. – М.: Мир, 1975.

12. Шаталов А.С. Теория автоматического управления / А.С. Шаталов. – М.: Энергия, 1977.

13. Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость /
А.А. Воронов. – М.: Наука, 1978.

14. Владимиров В.С. Уравнения математической физики / В.С. Владимиров, В.В. Жаринов. – М.: ФМЛ, 2000.

 

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Омский государственный технический университет»