Раздел 2. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

§ 2.1. ОРИГИНАЛ. L -ИЗОБРАЖЕНИЕ ОРИГИНАЛА

Будем рассматривать функции времени (сигналы) со свойствами

1⁰. при ;

2⁰. непрерывна при ;

3⁰. растет не быстрее экспоненты при : существуют числа , такие, что

Определение 2.1. Функция со свойствами 1⁰ – 3⁰ называется оригиналом (рис. 2.1). Точная нижняя грань чисел , при которых верна оценка 3⁰, называется показателем роста оригинала .

Рис. 2.1. Рис. 2.2.

Определение 2.2. Преобразованием Лапласа или -изображением оригинала называется функция комплексного переменного , вычисляемая по формуле

. (2.1)

Поставим вопрос: при каких значениях существует неопределенный интеграл (2.1)? Рассмотрим на -плоскости полуплоскость , где – показатель роста (рис. 2.2).

Лемма 2.1. Интеграл (2.1) сходится при всех в полуплоскости .

Доказательство. Воспользуемся теоремой сравнения для несобственных

интегралов: если при и интеграл сходится, то интеграл

также сходится. Имеем: при

откуда с учетом свойства 3⁰ оригинала следует оценка

При в полуплоскости будет (рис. 2.2) и интеграл от правой части этого неравенства по промежутку сходится (поверьте это), тем самым и подавно сходится интеграл (2.1).

Лемма 2.2. Функция (2.1) является аналитической функцией в полуплоскости .

Доказательство. Мы знаем: аналитичность функции комплексного переменного в области равносильна существованию производной первого порядка в этой области. Дифференцирование интеграла (2.1) по параметру дает

Аналогично предыдущему нетрудно убедиться, что несобственный интеграл в правой части сходится (проверьте это). Лемма доказана.

Тем самым к функции (2.1) применимы все правила теории аналитичес-ких функций, установленные в разделе 1.

Теория преобразования Лапласа называется операционным исчислением. Далее излагаются (как правило без доказательства) и иллюстрируются на примерах основные правила операционного исчисления, затем построенный математический аппарат применяется к некоторым задачам теории дифференциаль-ных уравнений и теории автоматического управления.

В заключение этого параграфа рассмотрим два простых примера на вычисление - изображений.

Пример 1. Найти - изображение функции Хевисайда

Решение. Функция очевидным образом удовлетворяет требованиям 1⁰ – 3⁰с показателем роста , тем самым является оригиналом. По лемме 2.1

- изображение определено в полуплоскости (рис. 2.4). По формуле (2.1) найдем

;

. (2.2)

Рис. 2.3. Рис. 2.4.

Пример 2. Найти - изображение функции

Решение. Данная функция (рис. 2.5) является оригиналом с показателем роста , поэтому определена в полуплоскости (рис. 2.6).

По формуле (2.1) имеем

. (2.3)

Отметим, что формула (2.2) формально содержится в (2.3): случай .

Замечание 1. Мы вывели формулу (2.3) при условии . Однако правая часть (2.3) определена при всех . Далее будем считать формулу (2.3) верной при всех . Так же будем поступать и в других случаях: будем считать формулу для -изображения верной при всех p , при которых полученное выражение имеет смысл. Говорят так: -изображение аналитически продолжается из полуплоскости в комплексную плоскость.

Замечание 2. Далее всегда будем задавать оригиналы их значениями на полуоси , не оговаривая всякий раз требование при .

Рис. 2.5. Рис. 2.6.

Задание для самостоятельной работы.

Проверить, что данные функции – оригиналы, и вычислить их -изобра-жения (2.1):

а) ; б) ; в) ; г) .

СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

В приложениях операционного исчисления систематически используются следующие правила 1⁰–7⁰. Далее в 2⁰–7⁰ – L-изображение оригинала .

1⁰ . Теорема линейности:

; .

2⁰.Теорема подобия:

3⁰.Теорема смещения:

4⁰.Теорема запаздывания:

5⁰.Изображение производных:

. . .

6⁰.Изображение интеграла:

7⁰.

Свойство 1⁰ непосредственно следует из определения (2.1). Предлагаем читателю доказать свойства 2⁰–5⁰. Отметим, что при доказательстве теоремы запаздывания существенно используется требование 2⁰ в определении оригинала.

Замечание. В приложениях операционного исчисления к теории автоматического управления, радиотехнике, электротехнике оригинал (выходной сигнал линейной стационарной цепи), как правило, удовлетворяет требованию . В этом случае первая формула 5⁰ принимает вид

Это означает: основная операция математического анализа – дифференцирование – в переводе на язык L-изображений есть операция умножения на независимую переменную p. Аналогично формула 6⁰ означает: другая основная операция математического анализа – интегрирование – в переводе на язык
L-изображений есть операция деления на независимую переменную p. Эти два факта позволяют в ряде случаев заменить задачи, требующие применение методов математического анализа, равносильными более простыми задачами алгебры. В этом состоит основной замысел операционного исчисления.

Рассмотрим несколько примеров на применение формул 1⁰ – 7⁰.

Примеры. Найти L-изображения следующих функций.

1) .

Решение. По формулам 1⁰, 7⁰ с учетом (2.2) имеем

2) .

Решение. По формуле Эйлера (1.3) и формулам 1⁰, (2.3) получим

3) .

Решение. Обозначим , тогда (пример 2). По формуле 2⁰ найдем

4) .

Решение. Обозначим , тогда (пример 3). По формуле 3⁰

5) .

Решение. Имеем:

; .

6) .

Решение. Аналогично примеру 1:

7) .

Решение. По формулам 7⁰ и (2.2):

8) .

Решение. По формуле 6⁰

(учтен результат примера 7).

Задание для самостоятельной работы.

Пользуясь свойствами преобразования Лапласа найти L-изображения следующих функций:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) ;

и) ; к) .

§ 2.3. ТАБЛИЦА НЕКОТОРЫХ L -ИЗОБРАЖЕНИЙ

Далее при вычислении L-изображений будут использоваться приводимые ниже формулы 1 – 14; первые две доказаны выше, остальные доказываются с помощью приемов, примененных при решении примеров в § 2.2.


1.				8.
2.				9.
3.				10.
4.				11.
5.				12.
6.				13.
7.				14.

Подробные таблицы L-изображений содержатся в книге [7].

Примеры. Пользуясь свойствами преобразования Лапласа и таблицей
L-изображений, найти L-изображения следующих функций.

1) .

Решение. Представим произведение в виде разности синусов: . Пользуясь теоремой линейности и затем формулой 8 из таблицы, получим:

2) .

Решение. Имеем: , поэтому . По формуле 2 из таблицы найдем:

3) .

Решение. Представляя формулой Эйлера, получим:

По теореме линейности и формуле 5 из таблицы найдем:

Задание для самостоятельной работы.

Найти L-изображения следующих функций:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

§ 2.4. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ЕГО L -ИЗОБРАЖЕНИЮ

Одно из замечательных свойств преобразования Лапласа, широко используемое в приложениях операционного исчисления, состоит в том, что по
L -изображению может быть восстановлен оригинал . Имеется общая формула, решающая эту задачу, называемая обратным преобразованием Лапласа (см. книгу [7]) . Эта формула неудобна для практического применения, поэтому мы ее здесь не приводим. Для многих приложений достаточно приводимое ниже частное правило, основанное на теории вычетов для аналитических функций комплексного переменного (§ 1.14).

Напомним, что рациональная дробь (отношение двух многочленов)

называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя : . В силу основной теоремы алгебры комплексных чисел имеет место разложение

, (2.4)

. Очевидно, числа являются полюсами функции порядков соответственно .

Теорема 2.1. Пусть L -изображение оригинала – правильная рациональная дробь со знаменателем (2.4). Тогда оригинал равен сумме вычетов функции относительно полюсов :

Эта формула называется формулой обращения. С учетом формулы (1.65) для вычета аналитической функции относительно полюса формула обращения принимает вид

. (2.5)

Следует помнить, что здесь производная порядка вычисляется (после сокращения в квадратных скобках на ) по комплексному переменному p при фиксированном t. В частном случае, когда – полюс первого порядка, ; под производной порядка 0 понимается сама функция.

Примеры. Найти оригиналы по данным L-изображениям.

1) .

Решение. Здесь . По формуле обращения (2.5)

2) .

Решение. По формуле (2.5)

3) .

Решение. По формуле (2.5)

Замечание. Для вычисления оригиналов может быть использовано правило разложения правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей. В рассмотренном выше примере 1 разложение имеет вид

Вычисления методом неопределенных коэффициентов дают: , , . Применяя к слагаемым формулу 2 из таблицы изображений и затем теорему линейности (справа налево), получим результат