Определение 1.1. Пусть имеется некоторое множество М ком­плексных чисел. Если указано правило, по которому каждому числу отвечает определенное комплексное число , то гово­рят, что на множестве М задана функция комплексного перемен­ного z, и пишут так:

.

Множество М называется областью определения , совокуп­ность N всех значений называется областью значений .

Чтобы пояснить геометрический смысл функции комплексного переменного, рассмотрим два экземпляра комплексной плоскости: «z-плоскость» и
« -плоскость» (рис. 1.3).

Множествам чисел М, N отвечают множества точек соответ­ственно на
z-плоскости и -плоскости. Таким образом, функция комплексного переменного задает отображение множества М то­чек на плоскости на некоторое другое множество N точек на плос­кости[1].

Рис. 1.3.

Примерами функций комплексного переменного являются:

линейная функция

;

дробно-линейная функция

где – заданные комплексные числа, ;

степенная функция

   (п – целое число),

 функции .                      (1.6)

Другие примеры функций комплексного переменного будут рас­смотрены в § 1.10.

В ближайших параграфах мы распространим на функции ком­плексного переменного фундаментальные понятия математического анализа: предел, непрерывность, производная, интеграл, затем перейдем к изучению специального класса функций комплексного переменного – так называемых аналитических функций. Совокуп­ность свойств аналитических функций (изучение которых и состав­ляет главное содержание теории функций комплексного перемен­ного) представляет собой мощный аппарат исследования в физике и технике.

Замечание 1. Пусть  – функция комплексного перемен­ного. Обозначим , . Тогда, очевидно, u, v – функции от х, у:

.

Таким образом, задание функции комплексного переменного равносильно заданию двух «вещественнозначных» функций двух действительных переменных. Например, пусть ; тогда по­лучаем:

Обратно, зная эти две функции, можем восстановить :

Замечание 2. Если указано правило, по которому каждому числу  из некоторого множества комплексных чисел M отвечает определенный набор комплексных чисел , то говорят, что на мно­жестве М задана многозначная функция. Примером многозначной функции является функция

Другой важный пример многозначной функции комплексного переменного будет рассмотрен в § 1.10.

Задание для самостоятельной работы.

1) Найти действительную и мнимую части функций:

 а) ;       б) ;    в)

2) На какую линию -плоскости отобразится линия -плоскости с помощью функции ?