Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Определение 1.2. Комплексное число А будем называть преде­лом функции комплексного переменного  при  (и писать ), если для любого  найдется такое , что для всех  из области определения , удовлетворяющих неравен­ству  (т. е. лежащих в -окрестности точки  с «вы­колотым» центром), выполняется неравенство .

Определение 1.3. Функцию комплексного переменного  бу­дем называть непрерывной в точке , если 1) точка  входит в область определения ; 2) существует ; 3) .

Определение 1.4. Если функция  определена в некото­рой окрестности точки  и существует предел

то этот предел называется производной функции  в точке  и обозначается  или . В этом случае функция  называется дифференцируемой в точке .

Так как определения 1.2–1.4 формально совпадают с опреде­лениями тех же понятий для функций действительного перемен­ного, то доказанные для последних теоремы о пределе, непрерыв­ности и дифференцируемости суммы, разности, произведения и частного двух функций, о непрерывности и дифференцируемости сложной функции, о непрерывности дифференцируемой функции распространяются без изменений на функции комплексного пере­менного. Отметим также следующие утверждения:

а) Число  является пределом функции  при  тогда и только тогда, если , .

б) Функция  непрерывна в точке  тогда и только тогда, если функции  непрерывны в точке .

в) Если функция  непрерывна на замкнутом ограниченном множестве (т. е. в каждой точке этого множества), то она огра­ничена на этом множестве, т. е. значения  в точках этого множества не превосходят некоторой величины.

Предлагаем читателю проверить справедливость а), б) само­стоятельно[2].

Производные высших порядков определяются формулой

.

Важное замечание. В определении производной функции ком­плексного переменного содержится гораздо более сильное требо­вание, чем в определении того же понятия для функции действи­тельного переменного  (хотя внешне эти определения совпа­дают).

В самом деле, в определении  содержится требование существования одинакового предела  при стремлении х к  слева  и справа . Определение  требует существования одинакового предела  при приближении  к  по всем возможным на плоскости направлениям. Этим объ­ясняется то, что дифференцируемые функции комплексного пере­менного обладают рядом замечательных свойств, не имеющих места для дифференцируемых функций действительного перемен­ного. В частности, в § 1.8 будет показано, что из существования  в точке  (и некоторой ее окрестности) вытекает существование производных всех порядков  и разложи­мость  в степенной ряд в точке .

Пусть функция  имеет производную в точке . Вводя обозначение , получим:

,                                     (1.7)

где  при . Подставляя в (1.7)

            (1.8)

где обозначено

получим равенство

,               (1.9)

откуда следует:

                                (1.10)

.

Напомним, что функция двух переменных , полное при­ращение которой  представлено в виде

где  – некоторые постоянные,  при , назы­вается дифференцируемой в точке ; при этом . Следовательно, равенства (1.10) показывают, что функции ,  дифференцируемы в точке ; при этом

.                              (1.11)

Таким образом, нами доказано следующее: если функция ком­плексного переменного  дифференцируема в точке , то ее действительная и мнимая части ,  также диф­ференцируемы в точке  и удовлетворяют в ней условиям

.                                    (1.12)

Обратно, пусть функции ,  дифференцируемы в точке  и удовлетворяют в ней условиям (1.12). Тогда, оче­видно, выполняются равенства (1.10), где А, В определяются формулами (1.11). Возвращаясь от (1.10) к (1.9) и применяя снова обозначения (1.8), получим:

где  при . Деля почленно на и переходя к пре­делу при , получим, что

,

т. е. функция  имеет в точке  производную, равную .

Равенства (1.12) называются условиями Коши – Римана. Нами доказана следующая теорема.

Теорема 1.1. Для того чтобы функция комплексного перемен­ного  была дифференцируема в данной точке, необходимо и достаточно, чтобы функции , были дифференцируемы в этой точке и удовлетворяли в ней усло­виям Коши – Римана (1.12). Для производной  имеют место равенства:

.           (1.13)

Пример 1. Проверить условия Коши – Римана для функции

Решение. Имеем:

;

откуда

.

Условия (1.12) выполнены во всех точках плоскости; следова­тельно, функция  дифференцируема во всей плоскости.

Пример 2. Исследовать на дифференцируемость функцию .

Решение. Имеем:

откуда

Условия (1.12) выполнены только в одной точке (0,0); следо­вательно, функция  дифференцируема только в точке

Задание для самостоятельной работы.

1) Проверить условия Коши – Римана для функции  (п – целое число); используя формулу (1.13), доказать, что

2) Показать, что функции (1.6) не дифференцируемы ни в од­ной точке плоскости.

3) Найти точки разрыва функции  (см. § 1.1).

 

§ 1.5. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.
КОМПЛЕКСНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ

Определение 1.5. Если функция  дифференцируема не только в данной точке , но и в некоторой окрестности этой точки, то она называется аналитической в точке .

Определение 1.6. Функция , аналитическая во всех точках области D, называется аналитической в области D.

В силу теоремы 1.1 для аналитичности функции  в точке необходимо и достаточно, чтобы условия Коши – Римана (1.12) выполнялись в самой этой точке и в некоторой ее окрестности; для аналитичности в области необходимо и достаточно, чтобы условия (1.12) выполнялись во всех точках этой области.

Так, функция из примера 1 предыдущего параграфа является аналитичес-кой во всей плоскости. Функция из примера 2 не яв­ляется аналитической ни в одной точке (из дифференцируемости в отдельной точке не вытекает аналитичность в ней).

Сумма, разность, произведение и частное (при условии нера­венства нулю знаменателя) двух аналитических функций, а также сложная функция, составленная из двух аналитических функций, являются аналитическими функциями.

Пусть функция  аналитична в области D. Записывая усло­вия Коши –Римана

дифференцируя первое из этих тождеств[3] по х, второе по у и скла­дывая, получим:

                                         (1.14)

Аналогично, дифференцируя первое тождество по у, второе по х и вычитая, получим:

Дифференциальное уравнение (1.14) называется уравнением Лапласа, а решения этого уравнения называются гармоническими функциями; две гармонические функции , , связанные тождествами (1.12), называются сопряженными. Таким образом доказано: если функция комплексного переменного  яв­ляется аналитической в области D, то ее действительная и мнимая части являются сопряженными гармоническими функциями в области D.

Обратно, если ,  –– сопряженные гармонические функции в области D, то функция  является, очевидно, аналитичес-кой в области D.

Замечание. Если дана одна гармоническая функция , то для отыскания сопряженной к ней нужно, очевидно, решить си­стему уравнений:

                            (1.15)

где , . Так как в этом случае выполнено условие , то эта система разрешима и определяет  с точностью до постоянного слагаемого. Из сказанного вытекает: зная действительную часть  аналитической функ­ции , можно восстановить функцию  с точ-ностью до по­стоянного слагаемого.

Пример. Восстановить , если .

Решение. Составим систему уравнений (1.15):

.                                              (*)

Из первого уравнения находим

,

где  – произвольная (пока) функция от у. Продифференци­руем последнее равенство по у:

.

Сопоставление со вторым уравнением (*) дает , откуда . Таким образом, , следовательно,

где ,  – произвольная постоянная.

В заключение этого параграфа приведем электростатический смысл аналитической функции. Пусть в области D на плоскости задано электростатическое поле (поле вектора напряженности)

.

Потенциалом электростатического поля  называется функция , удовлетворяющая условиям:

.

Предположим, что в области D нет зарядов, тогда во всех точ­ках D

,

откуда

,

т. е. потенциал  будет гармонической функцией в области D.

Функция комплексного переменного

,

где  – гармоническая функция, сопряженная к , называется комплексным потенциалом электростатического поля .

Очевидно, комплексный потенциал  является аналитической функцией в области D. Имеем (см. формулу (1.13)):

,

откуда

.

Функция , сопряженная к потенциалу , называется силовой функцией поля , ее линии уровня (т. е. линии ) называются силовыми линиями; линии уровня функции  (т. е. линии ) называются эквипотенциальными линиями поля .

Докажем, что силовые и эквипотенциальные линии образуют ортогональную сеть в области D. В самом деле, в любой точке М области D (рис. 1.4)

откуда

(мы пользовались условиями Коши – Римана (1.12)), т. е. . Так как вектор  ортогонален касательной к силовой линии в точке М, а вектор  – к эквипотенциальной линии в точке М, то эти линии ортогональны в точке М.

 

Рис. 1.4.

Введение комплексного потенциала позволяет применить хо­рошо разработанный аппарат теории функций комплексного пере­менного к исследованию проблем электростатики.

 

Задание для самостоятельной работы.

1) Найти комплексный потенциал электростатического поля , силовые, эквипотенциальные линии этого поля.

2) Найти длину и направление вектора напряженности элек­тро-статического поля, силовые и эквипотенциальные линии поля по заданному комплексному потенциалу:

а)           б)