Определение 1.2. Комплексное число А будем называть пределом функции комплексного переменного при
(и писать
), если для любого
найдется такое
, что для всех
из области определения
, удовлетворяющих неравенству
(т. е. лежащих в
-окрестности точки
с «выколотым» центром), выполняется неравенство
.
Определение 1.3. Функцию комплексного переменного будем называть непрерывной в точке
, если 1) точка
входит в область определения
; 2) существует
; 3)
.
Определение 1.4. Если функция определена в некоторой окрестности точки
и существует предел
то этот предел называется производной функции в точке
и обозначается
или
. В этом случае функция
называется дифференцируемой в точке
.
Так как определения 1.2–1.4 формально совпадают с определениями тех же понятий для функций действительного переменного, то доказанные для последних теоремы о пределе, непрерывности и дифференцируемости суммы, разности, произведения и частного двух функций, о непрерывности и дифференцируемости сложной функции, о непрерывности дифференцируемой функции распространяются без изменений на функции комплексного переменного. Отметим также следующие утверждения:
а) Число является пределом функции
при
тогда и только тогда, если
,
.
б) Функция непрерывна в точке
тогда и только тогда, если функции
непрерывны в точке
.
в) Если функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве (т. е. в каждой точке этого множества), то она ограничена на этом множестве, т. е. значения
в точках этого множества не превосходят некоторой величины.
Предлагаем читателю проверить справедливость а), б) самостоятельно[2].
Производные высших порядков определяются формулой
.
Важное замечание. В определении производной функции комплексного переменного содержится гораздо более сильное требование, чем в определении того же понятия для функции действительного переменного (хотя внешне эти определения совпадают).
В самом деле, в определении содержится требование существования одинакового предела
при стремлении х к
слева
и справа
. Определение
требует существования одинакового предела
при приближении
к
по всем возможным на плоскости направлениям. Этим объясняется то, что дифференцируемые функции комплексного переменного обладают рядом замечательных свойств, не имеющих места для дифференцируемых функций действительного переменного. В частности, в § 1.8 будет показано, что из существования
в точке
(и некоторой ее окрестности) вытекает существование производных всех порядков
и разложимость
в степенной ряд в точке
.
Пусть функция имеет производную в точке
. Вводя обозначение
, получим:
, (1.7)
где при
. Подставляя в (1.7)
(1.8)
где обозначено
получим равенство
, (1.9)
откуда следует:
(1.10)
.
Напомним, что функция двух переменных , полное приращение которой
представлено в виде
где – некоторые постоянные,
при
, называется дифференцируемой в точке
; при этом
. Следовательно, равенства (1.10) показывают, что функции
,
дифференцируемы в точке
; при этом
. (1.11)
Таким образом, нами доказано следующее: если функция комплексного переменного дифференцируема в точке
, то ее действительная и мнимая части
,
также дифференцируемы в точке
и удовлетворяют в ней условиям
. (1.12)
Обратно, пусть функции ,
дифференцируемы в точке
и удовлетворяют в ней условиям (1.12). Тогда, очевидно, выполняются равенства (1.10), где А, В определяются формулами (1.11). Возвращаясь от (1.10) к (1.9) и применяя снова обозначения (1.8), получим:
где при
. Деля почленно на
и переходя к пределу при
, получим, что
,
т. е. функция имеет в точке
производную, равную
.
Равенства (1.12) называются условиями Коши – Римана. Нами доказана следующая теорема.
Теорема 1.1. Для того чтобы функция комплексного переменного была дифференцируема в данной точке, необходимо и достаточно, чтобы функции
,
были дифференцируемы в этой точке и удовлетворяли в ней условиям Коши – Римана (1.12). Для производной
имеют место равенства:
. (1.13)
Пример 1. Проверить условия Коши – Римана для функции
Решение. Имеем:
;
откуда
.
Условия (1.12) выполнены во всех точках плоскости; следовательно, функция дифференцируема во всей плоскости.
Пример 2. Исследовать на дифференцируемость функцию .
Решение. Имеем:
откуда
Условия (1.12) выполнены только в одной точке (0,0); следовательно, функция дифференцируема только в точке
Задание для самостоятельной работы.
1) Проверить условия Коши – Римана для функции (п – целое число); используя формулу (1.13), доказать, что
2) Показать, что функции (1.6) не дифференцируемы ни в одной точке плоскости.
3) Найти точки разрыва функции (см. § 1.1).
§ 1.5. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.
КОМПЛЕКСНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ
Определение 1.5. Если функция дифференцируема не только в данной точке
, но и в некоторой окрестности этой точки, то она называется аналитической в точке
.
Определение 1.6. Функция , аналитическая во всех точках области D, называется аналитической в области D.
В силу теоремы 1.1 для аналитичности функции в точке необходимо и достаточно, чтобы условия Коши – Римана (1.12) выполнялись в самой этой точке и в некоторой ее окрестности; для аналитичности в области необходимо и достаточно, чтобы условия (1.12) выполнялись во всех точках этой области.
Так, функция из примера 1 предыдущего параграфа является аналитичес-кой во всей плоскости. Функция из примера 2 не является аналитической ни в одной точке (из дифференцируемости в отдельной точке не вытекает аналитичность в ней).
Сумма, разность, произведение и частное (при условии неравенства нулю знаменателя) двух аналитических функций, а также сложная функция, составленная из двух аналитических функций, являются аналитическими функциями.
Пусть функция аналитична в области D. Записывая условия Коши –Римана
дифференцируя первое из этих тождеств[3] по х, второе по у и складывая, получим:
(1.14)
Аналогично, дифференцируя первое тождество по у, второе по х и вычитая, получим:
Дифференциальное уравнение (1.14) называется уравнением Лапласа, а решения этого уравнения называются гармоническими функциями; две гармонические функции ,
, связанные тождествами (1.12), называются сопряженными. Таким образом доказано: если функция комплексного переменного
является аналитической в области D, то ее действительная и мнимая части являются сопряженными гармоническими функциями в области D.
Обратно, если ,
–– сопряженные гармонические функции в области D, то функция
является, очевидно, аналитичес-кой в области D.
Замечание. Если дана одна гармоническая функция , то для отыскания сопряженной к ней нужно, очевидно, решить систему уравнений:
(1.15)
где ,
. Так как в этом случае выполнено условие
, то эта система разрешима и определяет
с точностью до постоянного слагаемого. Из сказанного вытекает: зная действительную часть
аналитической функции
, можно восстановить функцию
с точ-ностью до постоянного слагаемого.
Пример. Восстановить , если
.
Решение. Составим систему уравнений (1.15):
. (*)
Из первого уравнения находим
,
где – произвольная (пока) функция от у. Продифференцируем последнее равенство по у:
.
Сопоставление со вторым уравнением (*) дает , откуда
. Таким образом,
, следовательно,
где ,
– произвольная постоянная.
В заключение этого параграфа приведем электростатический смысл аналитической функции. Пусть в области D на плоскости задано электростатическое поле (поле вектора напряженности)
.
Потенциалом электростатического поля называется функция
, удовлетворяющая условиям:
.
Предположим, что в области D нет зарядов, тогда во всех точках D
,
откуда
,
т. е. потенциал будет гармонической функцией в области D.
Функция комплексного переменного
,
где – гармоническая функция, сопряженная к
, называется комплексным потенциалом электростатического поля
.
Очевидно, комплексный потенциал является аналитической функцией в области D. Имеем (см. формулу (1.13)):
,
откуда
.
Функция , сопряженная к потенциалу
, называется силовой функцией поля
, ее линии уровня (т. е. линии
) называются силовыми линиями; линии уровня функции
(т. е. линии
) называются эквипотенциальными линиями поля
.
Докажем, что силовые и эквипотенциальные линии образуют ортогональную сеть в области D. В самом деле, в любой точке М области D (рис. 1.4)
откуда
(мы пользовались условиями Коши – Римана (1.12)), т. е. . Так как вектор
ортогонален касательной к силовой линии в точке М, а вектор
– к эквипотенциальной линии в точке М, то эти линии ортогональны в точке М.
![]() |
Рис. 1.4.
Введение комплексного потенциала позволяет применить хорошо разработанный аппарат теории функций комплексного переменного к исследованию проблем электростатики.
Задание для самостоятельной работы.
1) Найти комплексный потенциал электростатического поля , силовые, эквипотенциальные линии этого поля.
2) Найти длину и направление вектора напряженности электро-статического поля, силовые и эквипотенциальные линии поля по заданному комплексному потенциалу:
а) б)
Дата: 2018-12-28, просмотров: 344.