Аппарат степенных рядов позволяет естественным образом продолжить функции действительного переменного 
, 
, 
и некоторые другие в комплексную область.
Так как разложения в ряды
, (1.36)
, (1.37)
(1.38)
справедливы при любых действительных 
, то в силу теоремы Абеля ряды в правых частях сходятся при любых комплексных . Формулы (1.36)–(1.38) примем за определения 
, 
, 
при комплексном 
.
При таких определениях 
, , 
являются аналитическими функциями во всей плоскости (см. следствие из теорем 1.4, 1.5), совпадающими на действительной оси с соответствующими функциями действительного переменного. Дифференцируя почленно ряды (1.36) – (1.38), получим:
, 
, 
.
Теорема 1.6. При любых комплексных 
, 
справедливы формулы сложения
, (1.39)
. (1.40)
Доказательство. Зафиксируем какое-либо действительное значение 
. Тогда левая и правая части (1.39) являются функциями от 
, совпадающими на действительной оси (так как для действительных значений 
, 
формула (1.39) верна). Так как эти функции аналитичны во всей плоскости, то по свойству единственности аналитических функций (см. § 1.8, замечание 1) они совпадают при всех комплексных значениях 
. Зафиксируем теперь любое комплексное значение 
. Тогда левая и правая части (1.39) являются аналитическими функциями от 
и в силу доказанного совпадают на действительной оси. Следовательно, они совпадают и при всех комплексных значениях 
, т. е. формула (1.39) верна при любых комплексных 
, 
. Аналогично может быть доказана формула (1.40).
Теорема 1.7. При любом комплексном 
справедлива формула Эйлера
. (1.41)
Доказательство. Из (1.36) – (1.38) вытекает:
Из (1.36), (1.41) в качестве элементарных следствий вытекают такие формулы (предлагаем читателю проверить их самостоятельно):
а) При любом комплексном 
б) При любом комплексном
(т. е. 
является периодической функцией с периодом 
).
в) Если 
, то
.
г) Комплексное число с модулем 
и аргументом 
можно представить в виде
. (1.42)
Выражение (1.42) называется показательной формой комплексного числа 
.
Функции 
, 
определяются равенствами
, 
.
Гиперболические функции определяются равенствами:
, 
, 
, 
.
Нетрудно установить тождества:
Комплексное число 
будем называть натуральным логарифмом комплексного числа , если
(1.43)
Так как вместе с условию (1.43) удовлетворяет число 
, то логарифм 
имеет много значений. Чтобы найти все значения логарифма 
, подставим в (1.43)
где 
– главное значение аргумента 
(см. § 1.1). Тогда получим 
; откуда 
, т. е.
( 
– целое число). Следовательно, обозначая общее значение логарифма 
через 
, получим:
( 
– произвольное целое число), где обозначено:
. (1.44)
Выражение (1.44) будем называть главным значением натурального логарифма . Очевидно, при 
совпадает с обычным логарифмом .
является примером многозначной функции (см. замечание к § 1.2).
Задание для самостоятельной работы.
1) Доказать (1.40), не опираясь на свойство единственности аналитических функций.
2) Проверить справедливость утверждений а) – г).
3) Доказать периодичность тригонометрических и гиперболических фун-кций комплексного переменного, найти «наименьшие» периоды для 
и 
.
4) Вычислить 
, 
, 
, 
.
5) Найти область существования и точки разрыва функции 
.
6) Доказать формулы 
, 
, используя формулу (1.13).
РЯД ТЕЙЛОРА
Рассмотрим функцию 
, аналитическую внутри круга 
с центром в точке 
. Покажем, что разлагается в этом круге в степенной ряд вида (1.33).
Пусть 
– любая точка внутри круга 
. Проведем внутри 
окружность 
с центром в точке 
так, чтобы точка 
оказалась внутри этой окружности. Тогда значение функции в точке 
можно представить интегральной формулой Коши:
. (1.45)
Рассмотрим отдельно множитель 
:
(1.46)
Если точка 
лежит на окружности , то 
(рис. 1.12), поэтому
и второй множитель правой части (1.46) является суммой геометрической прогрессии:
(1.47)
|
Рис. 1.12.
Из (1.46), (1.47) вытекает, что подынтегральную функцию в правой части (1.45) можно представить в виде суммы ряда:
(1.48)
Учитывая, что значения 
в точках окружности 
не превосходят некоторой величины М (по свойству непрерывных функций), получим для всех 
на :
( 
– радиус 
). Так как числовой ряд 
сходится (геометрическая прогрессия, 
), то ряд (1.48) правильно сходится на . Подставляя (1.48) в правую часть (1.45) и почленно интегрируя, получим:
или
(1.49)
где
. (1.50)
Мы представили значение функции в произвольной точке круга 
рядом (1.49) с коэффициентами (1.50). Отметим, что коэффициенты (1.50) одни и те же для всех точек из круга 
, так как в силу следствия из теоремы Коши величина интеграла (1.50) одна и та же для всех окружностей 
с центром в точке 
, лежащих внутри круга .
Ряд (1.49) с коэффициентами (1.50) называется рядом Тейлора. Таким образом, доказана
Теорема 1.8. Любая функция 
, аналитическая внутри круга с центром , разлагается внутри этого круга в ряд Тейлора (1.49).
Сопоставляя формулу (1.50) с доказанной формулой (1.28) для производных аналитической функции, получим знакомые выражения для коэффициентов ряда Тейлора:
.
Замечание 1. Если функция 
аналитична в точке 
, т. е. дифференцируема в некоторой ее окрестности, то по теореме 1.8 она разлагается в этой окрестности в степенной ряд (1.49). Обратно, если разлагается в степенной ряд в некоторой окрестности точки 
, то по следствию из теоремы 1.5 она аналитична в этой окрестности, а значит, и в точке . Таким образом, утверждения « аналитична в точке », « разлагается в степенной ряд в окрестности точки » равносильны. Этим отчасти объясняется термин «аналитическая функция»: она может быть аналитически задана в виде степенного ряда. В дальнейшем читатель должен воспринимать термин «аналитическая функция» как «разлагающаяся в степенной ряд».
Замечание 2. Из теоремы 1.8 следует: радиус сходимости ряда Тейлора (1.49) равен расстоянию от точки до ближайшей к особой точки (т. е. точки, в которой не является аналитической).
Замечание 3. Если значения 
на контуре в формуле (1.50) не превосходят числа М, то, пользуясь оценкой (1.18) модуля интеграла, получим:
(здесь 
– радиус ); таким образом,
. (1.51)
Неравенства (1.51) называются неравенствами Коши для коэффициентов ряда Тейлора.
Если 
, то точка называется нулем функции 
. Предполагая аналитической в точке , разложим ее в степенной ряд в окрестности 
; тогда, очевидно, 
. Если при этом 
, то число 
будем называть порядком нуля . В этом случае
,
где 
– функция, аналитическая в точке и не равная нулю в этой точке: 
. Обратно, если 
, где 
удовлетворяет указанным условиям, то, разложив в ряд Тейлора в точке , получим:
,
где 
, т. е. – нуль -го порядка .
Например, точки 
, 
являются нулями первого порядка (или простыми нулями) функции 
: 
, где 
при 
; аналогично 
, где 
при 
.
Задание для самостоятельной работы.
1) Разложить в ряд Тейлора: а) 
в точке 
; б) 
в точке 
.
2) Найти радиус сходимости ряда Тейлора функции 
в точке 
(см. замечание 2).
3) Найти нули функции и определить их порядки: а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
4) Доказать единственность разложения в ряд Тейлора:
если 
, 
, то 
.
РЯД ЛОРАНА
Рассмотрим функцию , аналитическую внутри кольца между двумя окружностями с центром (в частном случае кольцо может быть кругом с «выколотым» центром). Проведем окружности 
с центром в точке так, чтобы каждая из них находилась внутри данного кольца и чтобы точка 
оказалась между ними. Из точки 
как из центра проведем окружность 
, лежащую между (рис. 1.13).
|
|
Рис. 1.13.
В силу следствия из теоремы Коши имеем:
На основании интегральной формулы Коши последний из этих трех интегралов равен 
, поэтому получаем:
(1.52)
Первое слагаемое правой части на основании вычислений § 1.11 представляется рядом
где
(1.53)
Чтобы разложить в ряд второе слагаемое, заметим, что если 
, то 
, поэтому
,
откуда
или
,
где
(1.54)
(возможность почленного интегрирования проверяется так же, как в предыдущем параграфе). Заметим, что в формулах (1.53), (1.54) в качестве контура интегрирования можно взять любую окружность 
с центром в точке , лежащую внутри кольца (по следствию из теоремы Коши), поэтому формулы (1.53), (1.54) можно объединить в одну следующим образом:
. (1.55)
Подставляя полученные разложения в (1.52), получим:
или
(1.56)
с коэффициентами (1.55).
Ряд (1.56) называется рядом Лорана.
Таким образом, доказана
Теорема 1.9. Любая функция , аналитическая внутри кольца с центром 
, разлагается внутри этого кольца в ряд Лорана (1.56) с коэффициентами (1.55).
Пример. Разложить функцию 
в ряд Лорана в кольце 
.
Решение. Вначале разложим на простейшие дроби:
Разложим в ряд каждое слагаемое отдельно, используя примененный выше прием: разложение в бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Так как в данном кольце 
, 
, то
;
.
Вычитая эти разложения, получим:
Замечание. Если в формуле (1.55) значения на контуре 
не превосходят числа М и радиус равен 
, то, повторяя вычисления, проведенные в § 1.11 (замечание 3), получим оценки для модулей коэффициентов ряда Лорана:
( 
= 0, ±1, ±2, …).
Задание для самостоятельной работы.
1) Разложить в ряд Лорана: а) 
в кольце 
и в кольце 
; б) 
в кольце 
.
2) Доказать единственность разложения в ряд Лорана:
если 
и 
то 
.
§ 1.13. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
Точки плоскости, в которых функция является аналитической, будем называть правильными точками этой функции, а точки, в которых не является аналитической (в частности, точки, в которых не определена), – особыми точками. Особая точка называется изолированной, если в некоторой ее окрестности нет других особых точек.
Если есть изолированная особая точка 
, то в достаточно малом круге с «выколотым» центром функция будет аналитической и, следовательно, разлагается в ряд Лорана
(1.57)
Ряд 
назовем правильной частью, ряд 
– главной частью разложения (1.57). Возможны три случая:
1) В разложении (1.57) отсутствует главная часть (т. е. все коэффициенты 
).
2) Главная часть содержит конечное число членов.
3) Главная часть содержит бесконечное число членов.
В этих случаях особая точка называется соответственно 1) устранимой, 2) полюсом, 3) существенно особой точкой.
В случае устранимой особой точки из (1.57) следует 
. Если доопределить в точке 
, приняв 
, то станет правильной точкой (особенность «устраняется»).
Если 
– полюс, то
, (1.58)
где 
.
После приведения к общему знаменателю получим:
, (1.59)
где обозначено:
.
Последнее равенство показывает, что функция 
является аналитичес-кой в точке и 
.
Таким образом, если точка является полюсом функции 
, то в окрестности этой точки изображается в виде (1.59), где аналитична в точке и 
. Обратно, если имеет вид (1.59), где удовлетворяет указанным условиям, то, разлагая в ряд Тейлора в точке и выполняя почленное деление на 
, получим разложение вида (1.58), откуда следует, что 
– полюс 
.
Число 
называется порядком полюса. Полюс первого порядка называется простым полюсом.
Заметим следующее: функция имеет в точке полюс 
-го порядка тогда и только тогда, если функция 
имеет в точке нуль такого же порядка (см. конец § 1.11). В самом деле, из (1.59) (с выполнением указанных условий для ) следует:
,
где 
аналитична и не равна нулю в точке , т. е. является нулем -го порядка для 
; обратный переход выполняется так же.
Из формулы (1.59) вытекает:
если – полюс , то
.
Таким образом, поведение аналитической функции в окрестности полюса может быть описано следующим образом: при стремлении к по любому направлению 
.
Чтобы выяснить поведение функции в окрестности существенно особой точки, рассмотрим следующий пример. Пусть 
. Тогда из формулы (1.36) вытекает:
при 
(1.60)
Так как это разложение содержит бесконечно много членов с отрицательными степенями , то точка является существенно особой точкой для 
. Обратим внимание на следующее: если стремится к нулю слева ( 
), то 
и 
; если 
справа ( 
), то 
и 
. Эти элементарные соображения показывают, что поведение функции в окрестности существенно особой точки более сложно, чем в окрестности устранимой особой точки и полюса. Можно доказать, что справедлива следующая теорема Сохоцкого: если – существенно особая точка аналитической функции , то для любого комплексного числа 
найдется последовательность точек 
такая, что 
.
Задание для самостоятельной работы.
1) Найти особые точки функции и определить их характер (для полюсов указать их порядки):
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
; д) 
.
2) Будет ли точка 
изолированной особой точкой для функции 
?
ВЫЧЕТЫ
Пусть – изолированная особая точка аналитической функции ; тогда в окрестности этой точки изобразится рядом Лорана (1.57).
Определение 1.11. Коэффициент при 
в разложении Лорана (1.57), т. е. число 
называется вычетом функции относительно особой точки 
и обозначается 
:
Например, из (1.60) вытекает: 
.
Из формулы (1.55) для коэффициентов ряда Лорана следует:
, (1.61)
где 
– окружность с центром достаточно малого радиуса.
Роль вычетов выясняет следующая
Теорема 1.10 (основная теорема о вычетах). Если функция 
аналитична внутри замкнутого контура и на самом контуре, за исключением конечного числа точек 
внутри , то интеграл 
равен произведению числа 
на сумму вычетов относительно особых точек, лежащих внутри :
. (1.62)
Доказательство. Проведем окружности 
с центрами соответственно 
столь малых радиусов, чтобы все окружности лежали внутри , не имели общих точек и внутри каждой окружности находилась только одна особая точка (рис. 1.14). Тогда в силу следствия из теоремы Коши
откуда, вследствие (1.61), и вытекает формула (1.62).
 
|
Рис. 1.14.
Доказанная теорема показывает: если мы научимся практически находить вычеты, то это даст нам подход к вычислению интегралов от функций комплексного переменного. Укажем некоторые приемы вычисления вычетов.
1) Пусть – простой полюс 
:
Умножая почленно на 
и переходя к пределу при 
, получим:
. (1.63)
Пусть теперь 
, где 
, аналитичны в точке и 
, 
, 
. Последнее условие означает, что является простым нулем и, следовательно, простым полюсом для . Формула (1.63) дает:
Итак, в этом случае
(1.64)
Например, 
2) Пусть – полюс второго порядка :
,
где 
. Умножая почленно на 
и дифференцируя полученное равенство по 
, получим:
,
откуда
Например,
(*)
Аналогичным вычислением может быть найден вычет относительно полюса
-го порядка:
(1.65)
3) В ряде случаев вычет может быть найден путем разложения в ряд Лорана.
Пример 1. Найти 
Решение. Имеем:
откуда 
Пример 2. Вычислить 
, где Г – окружность 
.
Решение. Оба полюса 
лежат внутри Г, поэтому, применяя формулы (1.62), (1.64), получим:
Задание для самостоятельной работы.
1) Найти вычеты следующих функций относительно каждого из полюсов:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
; д) 
2) Вычислить 
, где Г – окружность 
.
§ 1.15. ПРИМЕНЕНИЕ ВЫЧЕТОВ
К ВЫЧИСЛЕНИЮ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
С помощью вычетов могут быть вычислены некоторые несобственные интегралы от функций действительного переменного.
Теорема 1.11. Если функция аналитична на действительной оси и в верхней полуплоскости, за исключением конечного числа точек 
в верхней полуплоскости, и если при 
стремится к нулю быстрее, чем 
:
(1.66)
то
. (1.67)
Доказательство. При достаточно большом 
все особые точки 
будут лежать внутри полукруга, ограниченного сегментом 
и верхней половиной 
окружности 
(рис. 1.15). Тогда в силу основной теоремы о вычетах
(1.68)
(С – граница полукруга); с другой стороны,
.
|
Рис. 1.15.
Заменяя левую часть величиной (1.68) и переходя к пределу при 
, получим:
Остается показать, что последний предел равен нулю. Зададимся произвольным 
. Тогда по условию (1.66) существует такое 
, что при 
будет 
. Но в точках полуокружности 
; следовательно, если взять 
, то при 
будет:
;
тогда в силу (1.18)
.
Таким образом, показано, что, выбирая радиус 
полуокружности достаточно большим, мы можем сделать величину 
сколь угодно малой, а это и значит, что 
. Теорема доказана.
Пример 1. Вычислить
.
Решение. Функция 
аналитична на действительной оси, имеет в верхней полуплоскости только одну особую точку 
и удовлетворяет условию (1.66).
Следовательно, применяя формулу (1.67) и используя ранее полученный результат (*), находим:
.
При вычислении несобственных интегралов иногда бывает полезна следующая лемма (приводим ее без доказательства):
Лемма Жордана. Если функция имеет вид:
, (1.69)
где 
, 
аналитична на действительной оси и в верхней полуплоскости, за исключением конечного числа точек 
, и 
, то имеет место формула (1.67).
Пример 2. Вычислить
.
Решение. Обратим внимание, что для этого интеграла условие (1.66) не выполняется. Далее заметим, что
(так как функция 
нечетная). Поэтому
.
Подынтегральная функция имеет вид (1.69): 
, 
– аналитична на действительной оси, имеет в верхней полуплоскости полюс 
, . Поэтому на основании леммы Жордана и формулы (1.64)
.
В заключение этого параграфа рассмотрим пример на вычисление несобственного интеграла с использованием теоремы Коши (теорема 1.2).
Пример 3. Вычислить интеграл Пуассона 
.
Решение. Функция 
аналитична во всей плоскости, поэтому в силу теоремы Коши интеграл от нее по границе сектора ОАВ (рис. 1.16) равен нулю:
Переходя к пределу при 
, получим 
, где
|
Рис. 1.16.
На отрезке 
, поэтому
.
(Здесь использовано, что 
). На дуге 
, поэтому
.
Откуда, учитывая неравенство 
, получим
следовательно, 
. Таким образом
.
ПРИНЦИП АРГУМЕНТА
Укажем правило подсчета числа нулей и полюсов аналитической функции внутри заданного контура.
Теорема 1.12. Пусть функция 
не имеет нулей и особых точек на замкнутом контуре и имеет внутри конечное число особых точек, являющихся полюсами. Тогда разность между числом нулей и числом полюсов функции 
внутри контура равна числу оборотов, которые описывает вектор, соединяющий начало координат с точкой 
, при однократном обходе точкой 
контура в положительном направлении (при этом каждый нуль и каждый полюс засчитывается столько раз, какова их кратность).
Доказательство. Напомним: если точка 
– нуль порядка 
функции 
, то в окрестности точки 
, (1.70)
где аналитична в точке и 
. Из (1.70) вытекает:
и
.
Функция 
аналитична в точке ; следовательно, функция 
имеет простой полюс в точке 
и
.
Аналогично, если – полюс порядка m функции 
, то в окрестности 
,
где 
аналитична в точке и 
. Повторяя вычисления, получим:
.
Так как на нет нулей и полюсов , то функция 
аналитична на . Обозначая нули и полюса внутри соответственно через 
, …, 
, 
, …, 
, по основной теореме о вычетах получим:
(1.71)
где N – сумма кратностей нулей 
, M – сумма кратностей полюсов 
. С другой стороны, учитывая, что 
, по формуле Ньютона – Лейбница для аналитических функций (см. § 1.7) имеем:
,
где правая часть означает приращение, которое получает 
, когда точка описывает контур в положительном направлении. Так как
,
то
(функция 
непрерывна на и после обхода возвращается к первоначальному значению) и
.
Правая часть этого равенства выражает число оборотов, которые описывает вектор, соединяющий начало координат с точкой 
, когда точка описывает в положительном направлении. Сопоставляя с (1.71), получим:
,
что и требовалось доказать.
Доказанное правило называется принципом аргумента. Очевидно, в частном случае, если внутри нет полюсов , принцип аргумента дает возможность подсчитать число нулей внутри .
Пример. Доказать, что многочлен степени п
имеет ровно п нулей.
Решение. Имеем
, (1.72)
где
.
Так как 
, то существует такое 
, что при 
будет 
; следовательно, точка, изображающая 
, будет лежать внутри круга радиуса 
с центром в точке 
(рис. 1.17). Из сказанного вытекает, что: а) все нули лежат внутри окружности 
; б) когда точка описывает окружность в положительном направлении, точка 
(первый множитель в (1.72)) делает п полных оборотов вокруг нуля, точка (второй множитель (1.72)) – ни одного; следовательно, точка 
делает п полных оборотов. В силу принципа аргумента число нулей равно n, что и требовалось доказать.
|
Рис. 1.17.
Доказанное утверждение называется основной теоремой алгебры.
ПРИНЦИП МАКСИМУМА
Применим принцип аргумента для обоснования другого фундаменталь-ного правила теории функций – принципа максимума. Сначала докажем следующую лемму.
Лемма 1.2. Если функция аналитична в точке 
, 
, 
то существует окрестность точки , не содержащая корней уравнения 
кроме точки .
Доказательство. Так как 
то в разложении Тейлора 
хотя бы одно из чисел 
, поэтому имеем:
, (1.73)
где 
. С другой стороны, если в любой близости точки имелись бы корни уравнения 
то существовала бы последовательность точек 
, 
, 
. Подставляя в (1.73) 
и учитывая, что 
, получили бы
;
переходя к пределу при 
, получили бы 
. Полученное противоречие доказывает лемму.
Теорема 1.13 (принцип максимума). Если функция , не равная постоянной, непрерывна в ограниченной замкнутой области 
и аналитична во внутренних точках 
, то ее модуль достигает наибольшего значения на границе области 
.
Доказательство. Так как функция 
непрерывна в замкнутой ограниченной области , то она достигает наибольшего значения в некоторой точке 
:
при 
. (1.74)
Геометрически это означает, что все точки 
при лежат в круге 
на 
-плоскости (рис. 1.19). Покажем, что – граничная точка 
.
В самом деле, пусть – внутренняя точка . Тогда удовлетворяет в точке условиям леммы 1.2, и поэтому существует столь малая окружность 
с центром , что на и внутри нет нулей функции 
кроме точки 
(можно считать, что с внутренностью целиком лежит внутри (рис. 1.18)). Обозначив 
(очевидно, 
) и выбрав точку 
так, что 
, 
(рис. 1.19), будем иметь:
,
где
, 
при 
.
При обходе точкой окружности в положительном направлении первый множитель в правой части делает не менее одного оборота вокруг нуля (в силу принципа аргумента), второй – ни одного (рис. 1.17), следовательно, функция 
имеет хотя бы один нуль 
внутри : 
. Получено противоречие с (1.74), теорема доказана.
Теорема 1.14. Функция 
, гармоническая в замкнутой ограниченной области 
и не равная постоянной, достигает наибольшего и наименьшего значения на границе области .
Доказательство. Обозначим 
, где 
– гармоническая в функция, сопряженная (см. § 1.5). Тогда функция 
удовлетворяет в области 
условиям теоремы 1.13 и, следовательно, ее модуль 
достигает наибольшего значения на границе 
; отсюда вытекает, что 
достигает наибольшего значения на границе . Вводя вместо 
функцию 
, убедимся, что наименьшее значение также достигается на границе 
.
Теорема 1.14 геометрически означает, что график гармонической функции есть поверхность (рельеф) без вершин и впадин.
| 
|
Рис. 1.18. Рис. 1.19.
Задание для самостоятельной работы.
1) Доказать: если функция удовлетворяет в области условиям теоремы 1.14 и не имеет нулей в 
, то ее модуль достигает наименьшего значения на границе 
.
2) Найти графики (рельефы) гармонических функций:
а) 
; б) 
; в) 
.
Дата: 2018-12-28, просмотров: 458.
