НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
Поможем в ✍️ написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Аппарат степенных рядов позволяет естественным образом продолжить функции действительного переменного , , и некоторые другие в комплексную область.

Так как разложения в ряды

,                                (1.36)

,                       (1.37)

                      (1.38)

 

справедливы при любых действительных , то в силу теоремы Абеля ряды в правых частях сходятся при любых комплексных . Формулы (1.36)–(1.38) примем за определения , ,  при комплексном .

При таких определениях , ,  являются аналитиче­скими функциями во всей плоскости (см. следствие из теорем 1.4, 1.5), совпадающими на действительной оси с соответствующими функциями действительного переменного. Дифференцируя почленно ряды (1.36) – (1.38), получим:

, , .

Теорема 1.6. При любых комплексных ,  справедливы фор­мулы сложения

,                                               (1.39)

.                        (1.40)

Доказательство. Зафиксируем какое-либо действитель­ное значение . Тогда левая и правая части (1.39) являются функ­циями от , совпадающими на действительной оси (так как для действительных значений ,  формула (1.39) верна). Так как эти функции аналитичны во всей плоскости, то по свойству единствен­ности аналитических функций (см. § 1.8, замечание 1) они совпа­дают при всех комплексных значениях . Зафиксируем теперь любое комплексное значение . Тогда левая и правая части (1.39) являются аналитическими функциями от  и в силу доказанного совпадают на действительной оси. Следовательно, они совпадают и при всех комплексных значениях , т. е. формула (1.39) верна при любых комплексных , . Аналогично может быть доказана формула (1.40).

Теорема 1.7. При любом комплексном  справедлива формула Эйлера

.                                        (1.41)

Доказательство. Из (1.36) – (1.38) вытекает:

Из (1.36), (1.41) в качестве элементарных следствий вытекают такие формулы (предлагаем читателю проверить их самостоя­тельно):

а) При любом комплексном

    

б) При любом комплексном

(т. е.  является периодической функцией с периодом ).

в) Если , то

.

г) Комплексное число  с модулем  и аргументом  можно представить в виде

.                                                  (1.42)

Выражение (1.42) называется показательной формой комплекс­ного числа .

Функции , определяются равенствами

,     .

Гиперболические функции определяются равенствами:

, , , .

Нетрудно установить тождества:

Комплексное число  будем называть натуральным логариф­мом комплексного числа , если

                                                     (1.43)

Так как вместе с  условию (1.43) удовлетворяет число , то логарифм  имеет много значений. Чтобы найти все зна­чения логарифма , подставим в (1.43)

где  – главное значение аргумента  (см. § 1.1). Тогда получим ; откуда , т. е.

( – целое число). Следовательно, обозначая общее значение ло­гарифма  через , получим:

( – произвольное целое число), где обозначено:

.                                                                                    (1.44)

Выражение (1.44) будем называть главным значением нату­рального логарифма . Очевидно, при совпадает с обыч­ным логарифмом .

 является примером многозначной функции (см. замеча­ние к § 1.2).

 

Задание для самостоятельной работы.

1) Доказать (1.40), не опираясь на свойство единственности аналитических функций.

2) Проверить справедливость утверждений а) – г).

3) Доказать периодичность тригонометрических и гиперболи­ческих фун-кций комплексного переменного, найти «наименьшие» периоды для  и .

4) Вычислить , , , .

5) Найти область существования и точки разрыва функции .

6) Доказать формулы , , используя формулу (1.13).

 

РЯД ТЕЙЛОРА

Рассмотрим функцию , аналитическую внутри круга  с центром в точке . Покажем, что  разлагается в этом круге в степенной ряд вида (1.33).

Пусть  – любая точка внутри круга . Проведем внутри  окруж­ность  с центром в точке  так, что­бы точка  оказалась внутри этой окружности. Тогда значение функции в точке  можно представить инте­гральной формулой Коши:

.                                        (1.45)

Рассмотрим отдельно множитель :

                    (1.46)

Если точка  лежит на окружности , то  (рис. 1.12), поэтому

и второй множитель правой части (1.46) является суммой геомет­рической прогрессии:

          (1.47)

 

Рис. 1.12.

 

Из (1.46), (1.47) вытекает, что подынтегральную функцию в правой части (1.45) можно представить в виде суммы ряда:

       (1.48)

Учитывая, что значения  в точках окружности  не пре­восходят некоторой величины М (по свойству непрерывных функ­ций), получим для всех  на :

(  – радиус ). Так как числовой ряд сходится (геомет­рическая прогрессия, ), то ряд (1.48) правильно сходится на . Подставляя (1.48) в правую часть (1.45) и почленно инте­грируя, получим:

или

                    (1.49)

где

.                                   (1.50)

Мы представили значение функции в произвольной точке круга  рядом (1.49) с коэффициентами (1.50). Отметим, что коэффициенты (1.50) одни и те же для всех точек  из круга , так как в силу следствия из теоремы Коши величина интеграла (1.50) одна и та же для всех окружностей  с центром в точке , лежащих внутри круга .

Ряд (1.49) с коэффициентами (1.50) называется рядом Тейлора. Таким образом, доказана

Теорема 1.8. Любая функция , аналитическая внутри круга с центром , разлагается внутри этого круга в ряд Тейлора (1.49).

Сопоставляя формулу (1.50) с доказанной формулой (1.28) для производных аналитической функции, получим знакомые вы­ражения для коэффициентов ряда Тейлора:

.

Замечание 1. Если функция  аналитична в точке , т. е. дифференцируема в некоторой ее окрестности, то по теореме 1.8 она разлагается в этой окрестности в степенной ряд (1.49). Обратно, если  разлагается в степенной ряд в некоторой окрестности точки , то по следствию из теоремы 1.5 она аналитична в этой окрестности, а значит, и в точке . Таким образом, утверждения «  аналитична в точке », «  разлагается в степенной ряд в окрестности точки » равносильны. Этим отчасти объясняется термин «аналитическая функция»: она может быть анали­тически задана в виде степенного ряда. В дальнейшем читатель должен воспринимать термин «аналитическая функция» как «разла­гающаяся в степенной ряд».

Замечание 2. Из теоремы 1.8 следует: радиус сходимости ряда Тейлора (1.49) равен расстоянию от точки  до ближайшей к  особой точки (т. е. точки, в которой  не является аналитиче­ской).

Замечание 3. Если значения  на контуре  в формуле (1.50) не превосходят числа М, то, пользуясь оценкой (1.18) мо­дуля интеграла, получим:

(здесь – радиус ); таким образом,

.                                     (1.51)

Неравенства (1.51) называются неравенствами Коши для коэффи­циентов ряда Тейлора.

Если , то точка  называется нулем функции . Предполагая  аналитической в точке , разложим ее в сте­пенной ряд в окрестности ; тогда, очевидно, . Если при этом , то число будем называть порядком нуля . В этом случае

,

где  – функция, аналитическая в точке  и не равная нулю в этой точке: . Обратно, если , где  удовлетворяет указанным усло­виям, то, разложив  в ряд Тейлора в точке , получим:

 ,

где , т. е.  – нуль -го порядка .

Например, точки ,  являются нулями первого по­рядка (или простыми нулями) функции : , где  при ; аналогично , где  при .

 

Задание для самостоятельной работы.

1) Разложить в ряд Тейлора: а)  в точке ; б) в точке .

2) Найти радиус сходимости ряда Тейлора функции  в точке  (см. замечание 2).

3) Найти нули функции и определить их порядки: а) ; б) ; в) ; г) .

4) Доказать единственность разложения в ряд Тейлора:

если , , то .

РЯД ЛОРАНА

Рассмотрим функцию , аналитическую внутри кольца ме­жду двумя окружностями с центром  (в частном случае кольцо может быть кругом с «выколотым» центром). Проведем окружности  с центром в точке  так, чтобы каждая из них на­ходилась внутри данного кольца и чтобы точка  оказалась между ними. Из точки  как из центра проведем окружность , лежащую между  (рис. 1.13).

 

Рис. 1.13.

 

В силу следствия из теоремы Коши имеем:

На основании интегральной формулы Коши последний из этих трех интегралов равен , поэтому получаем:

                        (1.52)

Первое слагаемое правой части на основании вычислений § 1.11 представляется рядом

где

                                   (1.53)

Чтобы разложить в ряд второе слагаемое, заметим, что если , то , поэтому

,

откуда

или

,

где

                              (1.54)

(возможность почленного интегрирования проверяется так же, как в предыдущем параграфе). Заметим, что в формулах (1.53), (1.54) в качестве контура интегрирования можно взять любую окружность  с центром в точке , лежащую внутри кольца (по след­ствию из теоремы Коши), поэтому формулы (1.53), (1.54) можно объединить в одну следующим образом:

.                    (1.55)

Подставляя полученные разложения в (1.52), получим:

или

                                      (1.56)

с коэффициентами (1.55).

Ряд (1.56) называется рядом Лорана.


Таким образом, доказана

Теорема 1.9. Любая функция , аналитическая внутри кольца с центром , разлагается внутри этого кольца в ряд Лорана (1.56) с коэффициентами (1.55).

Пример. Разложить функцию  в ряд Лора­на в кольце .

Решение. Вначале разложим  на простейшие дроби:

Разложим в ряд каждое слагаемое отдельно, используя применен­ный выше прием: разложение в бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Так как в данном кольце , , то

;

.

Вычитая эти разложения, получим:

Замечание. Если в формуле (1.55) значения  на контуре  не превосходят числа М и радиус  равен , то, повторяя вычис­ления, проведенные в § 1.11 (замечание 3), получим оценки для модулей коэффициентов ряда Лорана:

 (  = 0, ±1, ±2, …).

Задание для самостоятельной работы.

1) Разложить в ряд Лорана: а)  в кольце  и в кольце ; б)  в кольце .

2) Доказать единственность разложения в ряд Лорана:

если  и

то .

§ 1.13. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ

Точки плоскости, в которых функция  является аналитиче­ской, будем называть правильными точками этой функции, а точ­ки, в которых  не является аналитической (в частности, точки, в которых  не определена), – особыми точками. Особая точка называется изолированной, если в некоторой ее окрестности нет других особых точек.

Если  есть изолированная особая точка , то в достаточно малом круге с «выколотым» центром  функция  будет ана­литической и, следовательно, разлагается в ряд Лорана

                           (1.57)

Ряд  назовем правильной частью, ряд  – главной частью разложения (1.57). Возможны три случая:

1) В разложении (1.57) отсутствует главная часть (т. е. все коэффициенты ).

2) Главная часть содержит конечное число членов.

3) Главная часть содержит бесконечное число членов.

В этих случаях особая точка  называется соответственно 1) устранимой, 2) полюсом, 3) существенно особой точкой.

В случае устранимой особой точки из (1.57) следует . Если доопределить  в точке , приняв , то  станет правильной точкой  (особенность «устраняется»).

Если  – полюс, то

 ,       (1.58)

где .

После приведения к общему знаменателю получим:

,                                               (1.59)

где обозначено:

.

Последнее равенство показывает, что функция  является аналитичес-кой в точке  и .

Таким образом, если точка  является полюсом функции , то в окрестности этой точки  изображается в виде (1.59), где  аналитична в точке  и . Обратно, если  имеет вид (1.59), где  удовлетворяет указанным условиям, то, раз­лагая  в ряд Тейлора в точке  и выполняя почленное деле­ние на , получим разложение вида (1.58), откуда следует, что  – полюс .

Число  называется порядком полюса. Полюс первого порядка называется простым полюсом.

Заметим следующее: функция  имеет в точке  полюс -го порядка тогда и только тогда, если функция  имеет в точке  нуль такого же порядка (см. конец § 1.11). В самом деле, из (1.59) (с выполнением указанных условий для ) сле­дует:

,

где  аналитична и не равна нулю в точке , т. е.  является нулем -го порядка для ; обратный переход выпол­няется так же.

Из формулы (1.59) вытекает:

если  – полюс , то

.

Таким образом, поведение аналитической функции в окрест­ности полюса может быть описано следующим образом: при стремлении к  по любому направлению .

Чтобы выяснить поведение функции в окрестности существенно особой точки, рассмотрим следующий пример. Пусть . Тогда из формулы (1.36) вытекает:

при

                           (1.60)

Так как это разложение содержит бесконечно много членов с отрицательными степенями , то точка является существенно особой точкой для . Обратим внимание на следующее: если  стремится к нулю слева ( ), то  и ; если  справа ( ), то  и . Эти элементарные со­ображения показывают, что поведение функции в окрестности существенно особой точки более сложно, чем в окрестности устра­нимой особой точки и полюса. Можно доказать, что справедлива следующая теорема Сохоцкого: если  – существенно особая точка аналитической функции , то для любого комплексного числа  найдется последовательность точек  такая, что .

 

Задание для самостоятельной работы.

1) Найти особые точки функции и определить их характер (для полюсов указать их порядки):

а) ; б) ;     в) ; г) ;        д) .

2) Будет ли точка  изолированной особой точкой для функции ?

 



ВЫЧЕТЫ

Пусть  – изолированная особая точка аналитической функ­ции ; тогда в окрестности этой точки  изобразится рядом Лорана (1.57).

Определение 1.11. Коэффициент при  в разложении Лорана (1.57), т. е. число  называется вычетом функции  относительно особой точки  и обозначается :

Например, из (1.60) вытекает: .

Из формулы (1.55) для коэффициентов ряда Лорана следует:

,                                 (1.61)

где  – окружность с центром  достаточно малого радиуса.

Роль вычетов выясняет следующая

Теорема 1.10 (основная теорема о вычетах). Если функция  аналитична внутри замкнутого контура  и на самом контуре, за исключением конечного числа точек  внутри , то интеграл  равен произведению числа  на сумму выче­тов относительно особых точек, лежащих внутри :

.                               (1.62)

Доказательство. Проведем окружности  с центрами соответственно  столь малых радиусов, чтобы все окружности лежали внутри , не имели общих точек и внутри каждой окружности находилась только одна особая точка (рис. 1.14). Тогда в силу следствия из теоремы Коши

откуда, вследствие (1.61), и вытекает формула (1.62).

 

Рис. 1.14.

Доказанная теорема показывает: если мы научимся практически находить вычеты, то это даст нам подход к вычислению интегралов от функций комплексного перемен­ного. Укажем некоторые приемы вы­числения вычетов.

1) Пусть  – простой полюс :

Умножая почленно на  и переходя к пределу при , получим:

.                                       (1.63)

Пусть теперь , где ,  аналитичны в точке  и , , . Последнее условие означает, что  является простым нулем  и, следовательно, простым полюсом для . Формула (1.63) дает:

Итак, в этом случае

                                        (1.64)

Например,

2) Пусть  – полюс второго порядка :

,

где . Умножая почленно на  и дифференцируя полученное равенство по , получим:

,

откуда

Например,

    (*)

Аналогичным вычислением может быть найден вычет относительно полюса
-го порядка:

                (1.65)

3) В ряде случаев вычет может быть найден путем разложе­ния в ряд Лорана.

Пример 1. Найти

Решение. Имеем:

откуда

Пример 2. Вычислить , где Г – окружность .

Решение. Оба полюса  лежат внутри Г, поэтому, при­меняя формулы (1.62), (1.64), получим:

Задание для самостоятельной работы.

1) Найти вычеты следующих функций относительно каждого из полюсов:

а) ; б) ;      в) ;       г) ;  д)

2) Вычислить , где Г – окружность .

 

§ 1.15. ПРИМЕНЕНИЕ ВЫЧЕТОВ
К ВЫЧИСЛЕНИЮ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

С помощью вычетов могут быть вычислены некоторые несоб­ственные интегралы от функций действительного переменного.

Теорема 1.11. Если функция  аналитична на действитель­ной оси и в верхней полуплоскости, за исключением конечного числа точек  
в верхней полуплоскости, и если  при  стремится к нулю быстрее, чем
:

                                 (1.66)

то

.                                     (1.67)

Доказательство. При достаточно большом  все осо­бые точки  будут лежать внутри полукруга, ограничен­ного сегментом  и верхней половиной  окружности  (рис. 1.15). Тогда в силу основной теоремы о вычетах

                                (1.68)

(С – граница полукруга); с другой стороны,

.

 

Рис. 1.15.

 

Заменяя левую часть величиной (1.68) и переходя к пределу при , получим:

Остается показать, что последний предел равен нулю. Зада­димся произвольным . Тогда по условию (1.66) существует такое , что при  будет . Но  в точках полу­окружности ; следовательно, если взять , то при  будет:

;

тогда в силу (1.18)

.

Таким образом, показано, что, выбирая радиус  полуокружности  достаточно большим, мы можем сделать величину  сколь угодно малой, а это и значит, что . Теорема доказана.

Пример 1. Вычислить

.

Решение. Функция  аналитична на действитель­ной оси, имеет в верхней полуплоскости только одну особую точку  и удовлетворяет условию (1.66).

Следовательно, применяя формулу (1.67) и используя ранее полученный результат (*), находим:

.

При вычислении несобственных интегралов иногда бывает полезна следующая лемма (приводим ее без доказательства):

Лемма Жордана. Если функция  имеет вид:

,                                             (1.69)

где ,  аналитична на действительной оси и в верхней полу­плоскости, за исключением конечного числа точек , и , то имеет место формула (1.67).

Пример 2. Вычислить

.

Решение. Обратим внимание, что для этого интеграла усло­вие (1.66) не выполняется. Далее заметим, что

(так как функция  нечетная). Поэтому

.

Подынтегральная функция имеет вид (1.69): ,  – аналитична на действительной оси, имеет в верхней полуплоскости полюс , . Поэтому на основании леммы Жордана и формулы (1.64)

.

В заключение этого параграфа рассмотрим пример на вычисле­ние несобственного интеграла с использованием теоремы Коши (теорема 1.2).

Пример 3. Вычислить интеграл Пуассона .

Решение. Функция аналитична во всей плоскости, поэтому в силу теоремы Коши интеграл от нее по границе сектора ОАВ (рис. 1.16) равен нулю:

Переходя к пределу при , получим , где

Рис. 1.16.

На отрезке , поэтому

.

(Здесь использовано, что ). На дуге , поэтому

.

Откуда, учитывая неравенство , получим

следовательно, . Таким образом

.

 



ПРИНЦИП АРГУМЕНТА

Укажем правило подсчета числа нулей и полюсов аналитиче­ской функции внутри заданного контура.

Теорема 1.12. Пусть функция  не имеет нулей и особых точек на замкнутом контуре  и имеет внутри  конечное число особых точек, являющихся полюсами. Тогда разность между чис­лом нулей и числом полюсов функции  внутри контура  равна числу оборотов, которые описывает вектор, соединяющий начало координат с точкой , при однократном обходе точкой  контура  в положительном направлении (при этом каждый нуль и каждый полюс засчитывается столько раз, какова их кратность).

Доказательство. Напомним: если точка  – нуль порядка  функции , то в окрестности точки

,                                      (1.70)

где  аналитична в точке  и . Из (1.70) вытекает:

и

.

Функция  аналитична в точке ; следовательно, функция  имеет простой полюс в точке  и

.

Аналогично, если – полюс порядка m функции , то в окрест­ности

,

где аналитична в точке  и . Повторяя вычисления, получим:

.

Так как на  нет нулей и полюсов , то функция  аналитична на . Обозначая нули и полюса  внутри  соответ­ственно через , …, , , …, , по основной теореме о вычетах получим:

           (1.71)

где N – сумма кратностей нулей , M – сумма кратностей полюсов . С другой стороны, учитывая, что , по формуле Ньютона – Лейбница для аналитических функций (см. § 1.7) имеем:

,

где правая часть означает приращение, которое получает , когда точка  описывает контур  в положительном направлении. Так как

,

то

(функция  непрерывна на  и после обхода возвращается к первоначальному значению) и

.

Правая часть этого равенства выражает число оборотов, кото­рые описывает вектор, соединяющий начало координат с точкой , когда точка  описывает  в положительном направлении. Сопоставляя с (1.71), получим:

,

что и требовалось доказать.

Доказанное правило называется принципом аргумента. Оче­видно, в частном случае, если внутри  нет полюсов , принцип аргумента дает возможность подсчитать число нулей  внутри .

Пример. Доказать, что много­член степени п

 имеет ровно п нулей.

Решение. Имеем

,                                           (1.72)

где

.

Так как , то существует такое , что при  будет ; следо­вательно, точка, изображающая , будет лежать внутри круга радиуса  с центром в точке  (рис. 1.17). Из сказанного вытекает, что: а) все нули  лежат внутри окружности ; б) когда точка  описывает окружность  в поло­жительном направлении, точка  (первый множитель в (1.72)) делает п полных оборотов вокруг нуля, точка  (второй множитель (1.72)) – ни одного; следовательно, точка  де­лает п полных оборотов. В силу принципа аргумента число нулей  равно n, что и требовалось доказать.

 

Рис. 1.17.

Доказанное утверждение называется основной теоремой ал­гебры.

ПРИНЦИП МАКСИМУМА

Применим принцип аргумента для обоснования другого фунда­менталь-ного правила теории функций – принципа максимума. Сначала докажем следующую лемму.

Лемма 1.2. Если функция  аналитична в точке , ,  то существует окрестность точки , не содержащая корней уравнения  кроме точки .

Доказательство. Так как  то в разложении Тейлора  хотя бы одно из чисел , поэтому имеем:

,                       (1.73)

где . С другой стороны, если в любой близости точки  имелись бы корни уравнения  то существовала бы после­довательность точек , , . Подставляя в (1.73)  и учитывая, что , получили бы

;

переходя к пределу при , получили бы . Полученное противоречие доказывает лемму.

Теорема 1.13 (принцип максимума). Если функция , не рав­ная постоянной, непрерывна в ограниченной замкнутой области  и аналитична во внутренних точках , то ее модуль достигает наибольшего значения на границе области .

Доказательство. Так как функция  непрерывна в замкнутой ограниченной области , то она достигает наибольшего значения в некоторой точке :

      при .                         (1.74)

Геометрически это означает, что все точки  при  лежат в круге  на -плоскости (рис. 1.19). Покажем, что  – граничная точка .

В самом деле, пусть  – внутренняя точка . Тогда  удо­влетворяет в точке  условиям леммы 1.2, и поэтому существует столь малая окружность  с центром , что на  и внутри  нет нулей функции  кроме точки  (можно считать, что  с внутренностью целиком лежит внутри  (рис. 1.18)). Обозначив (очевидно, ) и выбрав точку  так, что ,  (рис. 1.19), будем иметь:

,

где

,      

при .

При обходе точкой  окружности  в положительном направ­лении первый множитель в правой части делает не менее одного оборота вокруг нуля (в силу принципа аргумента), второй – ни одного (рис. 1.17), следовательно, функция  имеет хотя бы один нуль  внутри : . Получено противоречие с (1.74), теорема доказана.

Теорема 1.14. Функция , гармоническая в замкнутой ограниченной области  и не равная постоянной, достигает наи­большего и наименьшего значения на границе области .

Доказательство. Обозначим , где  – гармоническая в  функция, сопряженная  (см. § 1.5). Тогда функция  удовлетворяет в области  условиям теоремы 1.13 и, следовательно, ее модуль  достигает наибольшего значения на границе ; отсюда вытекает, что  достигает наибольшего значения на границе . Вводя вместо  функцию , убедимся, что наименьшее значение  также достигается на границе .

Теорема 1.14 геометрически означает, что график гармониче­ской функции  есть поверхность (рельеф) без вершин и впадин.

                           Рис. 1.18.                                                                 Рис. 1.19.

 

 

Задание для самостоятельной работы.

1) Доказать: если функция  удовлетворяет в области  условиям теоремы 1.14 и не имеет нулей в , то ее модуль дости­гает наименьшего значения на границе .

2) Найти графики (рельефы) гармонических функций:

а) ;   б) ; в) .

Дата: 2018-12-28, просмотров: 323.