Рассмотрим в верхней полуплоскости  функцию

,                                (1.81)

где .

Рис. 1.25.

Имеем:

                 (1.82)

Из (1.82) видно, что производная  существует (и не равна нулю) всюду, кроме точек  (рис. 1.25). Далее заметим следующее:

1) на каждом интервале действительной оси, не содержащем особых точек, каждая из скобок в правой части (1.82) сохраняет знак, и поэтому аргумент производной  сохраняет постоян­ное значение;

2) при переходе через каждую особую точку слева направо (по «малой» дуге в верхней полуплоскости) аргумент одной из скобок уменьшается на  (рис. 1.26), аргументы остальных скобок не меняются, поэтому аргумент производной  увеличи­вается на .

Из пунктов 1), 2) и из геометрического смысла производной вытекает, что при отображении (1.81) действительная ось перехо­дит в ломаную линию с прямыми углами при вершинах, при этом особые точки  переходят в вершины ломаной. Перемеще­нию точки  по действительной оси слева направо отвечает пере­мещение ее образа  по ломаной против часовой стрелки.

Рис. 1.26.

Более подробные рассмотрения показывают, что эта ломаная представляет собой границу прямоугольника , расположенного, как показано на рис. 1.27; стороны этого прямоугольника могут быть найдены по формулам

                     (1.83)

Рис. 1.27.

Из сказанного и из сформулированного выше (в замечании) правила вытекает, что функция , определяемая формулой (1.81), конформно отображает верхнюю полуплоскость  в прямоугольник П со сторонами (1.83). Можно доказать, что это отображение взаимно однозначно.

Функция (1.81) называется эллиптическим интегралом первого рода. Для вычисления значений этой функции составлены таб­лицы; в частности, с помощью таблиц могут быть вычислены ве­личины (1.83).

Пусть теперь требуется найти конформное и взаимно однозначное отображение верхней полуплоскости на прямоугольник с заданными сторонами , расположенный так, как показано на рис. 1.28. Вначале, пользуясь таблицами эллиптических интегралов, нужно подобрать значение параметра  так,

Рис. 1.28.

чтобы выполня­лось соотношение , тогда функция , отвечающая этому значению , отображает конформно и взаимно однозначно верхнюю полуплоскость на прямоугольник П, подобный данному. Затем нужно последовательно выполнить преобразования сжатия с коэффициентом , поворота на угол  и переноса на величину ; окончательная формула для искомого отображения, как легко убедиться, такова:

.

В заключение отметим, что функция, обратная к функции , называется эллиптическим синусом и обозначается ; оче­видно, она отображает прямоугольник П на верхнюю полуплос­кость.

Задание для самостоятельной работы.

1) Отобразить конформно и взаимно однозначно область на каждую из указанных областей:

а) ;     б) ;    в) ;               г) .

2) Отобразить конформно и взаимно однозначно на единичный круг каждую из указанных областей:

а) ;       б) ;       в) ;      г) .

3) Найти конформное и взаимно однозначное отображение внеш­ности единичного круга на верхнюю полуплоскость, при котором мнимая ось переходит в себя.

4) На какую область плоскости отображает:

а) функция  область ;

б) функция  об­ласть , ;

в) функция  область , ?

5) Отобразить конформно и взаимно однозначно на верхнюю полуплоскость каждую из следующих областей:

а) общую часть кругов , ;

6) общую часть кругов , .