Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака Х. (Количественный признак, например, контролируемый размер детали).

n_х – число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака меньшее х;

n – общее число наблюдений (объем выборки).

Относительная частота события Х < х = .

Если изменяется х, то изменяется и , т.е. она есть функция от х. Так как эта функция находится опытным (эмпирическим) путём, то её называют эмпирической.

Определение. Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию F*(х), определяющую для каждого значения х относительную частоту события Х < х.

53

Итак, по определению:

где n_х – число вариант, значения которых меньше х

n – объем выборки.

Например, чтобы найти F *(х₂), надо число вариант меньшее х₂ разделить на n: .

Функцию распределения F(х), генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Она нам известна как интегральная функция распределения. Различие между F *(х) и F(х) состоит в том, что F(х) определяет вероятность события Х < х, а F *(х) – определяет относительную частоту этого же события. Но W → р и чем больше n , тем меньше различие. Поэтому целесообразно использовать эмпирическую функцию распределения выборки для приближённого представления интегральной функции распределения генеральной совокупности.

Функция F *(х) обладает всеми свойствами функции F(х):

1) Значения F *(х) принадлежат отрезку [0,1].

2) F *(х) – неубывающая функция.

3) Если х₁ – наименование варианта, то F *(х) = 0, ; если х_k – наибольшая варианта, то F *(х) = 1, х > х_k

Следовательно, эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической (интегральной) функции распределения генеральной совокупности.

Пример: Построить эмпирическую функцию по данному распределению выборки:

Решение.

Объем выборки n = 60.

1. х_min = 2, следовательно F *(х) = 0, .

2. Значение х < 6, а именно х₁ = 2 наблюдалось12 раз, следовательно F *(х) = 12/60 = 0,2 при .

3. Значение х < 6  х₁ = 2, х₂ = 6, наблюдались 12 + 18 раз, F *(х) = 30/60 = 0,5 при .

4. х_max = 10  F *(х) = 1, х > 10.

54

Искомая эмпирическая функция: .

График этой функции изображён на рисунке.

          F *(х)

                1

              0,5

              0,2

                           2    4   6  8 10  12  х

В общем виде формула для вычисления F *(х) выглядит следующим образом:

Вопросы для самопроверки:

1. Каковы основные задачи математической статистики?

2. Что такое выборка?

3. Определение и построение полигона частот.

4. Определение и построение гистограммы частот.

5. Эмпирическая функция распределения, расчёт и построение графика.

После изучения теории и решения задач из раздела 1, можно выполнять практическую работу №1.

55

Приложение.

Студент выполняет тот вариант, который совпадает с его номером в журнале.

Практическая работа № 1.