Статистическое распределение выборки
Поможем в ✍️ написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

 

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка.

При этом значение х1 наблюдалось n1 раз, значение х2n2 раз, значение хknk раз и  – объём выборки.

Наблюдаемые значения хi называются вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке – вариационным рядом. Число наблюдений называ­ют частотами, а их отношения к объёму выборки  – относительными частотами.

Определение. Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал).

49

Заметим, что в теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике – соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами, или относительными частотами.

Пример. Задано распределение частот выборки объёма n = 20.

 

хi 2 6 12
ni 3 10 7

 

Написать распределение относительных частот.

Решение.

Найдём относительные частоты:

W1 = 3/20 = 0,15

W2 = 10/20 = 0,5

W3 = 7/20 = 0,35

Напишем распределение относительных частот:

 

хi 2 6 12
Wi 0,15 0,5 0,35

 

Контроль: 0,15 + 0,5 + 0,35 = 1

 

Обычно при эксперименте результаты наблюдений фиксируют в протоколе наблюдений в порядке их появления.

Например,

 

2 4 2  4 3 3 3
0 2 4 3 2 2 4
5 4 3 4 3 3 5

 

В выборке одно значение вариант может встречаться несколько раз, и поэтому целесообразно составлять таблицу или ряд вариант с частотами появления i-го значения.

 

Для составления варианта ряда нужно:

1. найти хmin и хmax значения выборки;

50

2. в первый столбец таблицы записать варианты значений случайной величины, начиная с хmin и до хmax;

3. просмотреть все элементы выборки в протоколе и отметить каждое значение во втором столбце таблицы;

4. подсчитать количество меток и записать соответствующее им число ni в третий столбец таблицы;

5. подсчитать количество элементов в выборке (объем выборки) n, которое должно быть равно:

где k – количество наименований вариант в вариационном ряде.

Если объем выборки большой, то существуют способы подсчёта меток. Например, каждая пятая палочка перечёркивает четыре предыдущие:

 

//// //// //// ///

 

 

хi   ni ni/n
0   1 1/21
1   0 0
2   5 5/21
3 //// // 7 7/21
4 //// 6 6/21
5 2 2 2/21
   

 

Если количество вариант k слишком велико или близко к объёму выборки, то целесообразно составить вариационный ряд по интервалам значений генеральной совокупности. Вариационный ряд по интервалам значений можно получить с помощью приведённого выше алгоритма, где во 2-м пункте следует заполнить первый столбец таблицы интервалами значений генеральной совокупности. Все интервалы выбираются одинаковой длины, т.е., чтобы хmin в последний интервал. Обычно начало интервала входит в интервал, а его конец – не входит.

Используют 2 вида графиков вариационных рядов: полигон и гистограмму.

 

51

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки

(х1; n1), (х2; n2). . .( хk; nk)

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которых соединяют точки (х1; w1), (х2; w2). . .( хk; wk)

 

Полигон относительных частот

                                        wi

                            10/21

 


                              5/21

 

 


                                           1 2 3 4 5                хi

 

                                         ni /h

 

                                          8

 


                                         6

 


                                          4

 


                                         2

 


                                            1 2 3 4 5

Гистограмма частот

 

Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты хi,, а на оси ординат – соответствующие им относительные частоты wi . Точки (хi ; wi) соединяют отрезками прямых и получают полигон относительных частот.

В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной h и находят для каждого частичного интервала ni  – сумму частот вариант, попавших в i-й интервал.

52

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению ni /h (плотность частоты).

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии ni /h. Площадь i-го частичного прямоугольника равна hni /h = ni – сумме частот вариант i-го интервала.







Дата: 2018-11-18, просмотров: 374.