Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка.

При этом значение х₁ наблюдалось n₁ раз, значение х₂ – n₂ раз, значение х_k – n_k раз и  – объём выборки.

Наблюдаемые значения х_i называются вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке – вариационным рядом. Число наблюдений называ­ют частотами, а их отношения к объёму выборки  – относительными частотами.

Определение. Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал).

49

Заметим, что в теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике – соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами, или относительными частотами.

Пример. Задано распределение частот выборки объёма n = 20.

Написать распределение относительных частот.

Решение.

Найдём относительные частоты:

W₁ = 3/20 = 0,15

W₂ = 10/20 = 0,5

W₃ = 7/20 = 0,35

Напишем распределение относительных частот:

Контроль: 0,15 + 0,5 + 0,35 = 1

Обычно при эксперименте результаты наблюдений фиксируют в протоколе наблюдений в порядке их появления.

Например,

В выборке одно значение вариант может встречаться несколько раз, и поэтому целесообразно составлять таблицу или ряд вариант с частотами появления i-го значения.

Для составления варианта ряда нужно:

1. найти х_min и х_max значения выборки;

50

2. в первый столбец таблицы записать варианты значений случайной величины, начиная с х_min и до х_max;

3. просмотреть все элементы выборки в протоколе и отметить каждое значение во втором столбце таблицы;

4. подсчитать количество меток и записать соответствующее им число n_i в третий столбец таблицы;

5. подсчитать количество элементов в выборке (объем выборки) n, которое должно быть равно:

где k – количество наименований вариант в вариационном ряде.

Если объем выборки большой, то существуют способы подсчёта меток. Например, каждая пятая палочка перечёркивает четыре предыдущие:

хi		ni	ni/n
0		1	1/21
1		0	0
2		5	5/21
3	//// //	7	7/21
4	////	6	6/21
5	2	2	2/21

Если количество вариант k слишком велико или близко к объёму выборки, то целесообразно составить вариационный ряд по интервалам значений генеральной совокупности. Вариационный ряд по интервалам значений можно получить с помощью приведённого выше алгоритма, где во 2-м пункте следует заполнить первый столбец таблицы интервалами значений генеральной совокупности. Все интервалы выбираются одинаковой длины, т.е., чтобы х_min в последний интервал. Обычно начало интервала входит в интервал, а его конец – не входит.

Используют 2 вида графиков вариационных рядов: полигон и гистограмму.

51

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки

(х₁; n₁), (х₂; n₂). . .( х_k; n_k)

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которых соединяют точки (х₁; w₁), (х₂; w₂). . .( х_k; w_k)

Полигон относительных частот

                                        w_i

                            10/21

                              5/21

                                           1 2 3 4 5                х_i

                                         n_i /h

                                          8

                                         6

                                          4

                                         2

                                            1 2 3 4 5

Гистограмма частот

Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты х_i,, а на оси ординат – соответствующие им относительные частоты w_i . Точки (х_{i ;} w_i) соединяют отрезками прямых и получают полигон относительных частот.

В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной h и находят для каждого частичного интервала n_i  – сумму частот вариант, попавших в i-й интервал.

52

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению n_i /h (плотность частоты).

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии n_i /h. Площадь i-го частичного прямоугольника равна hn_i /h = n_i – сумме частот вариант i-го интервала.