Дельта-функцией δ( t ) или единичным импульсом (рисунок 13, а) называют прямоугольный импульс амплитудой 1/Δτ и длительностью Δτ при Δτ → 0. Единичным называют потому, что площадь его равна единице: - 1/ Δτ Δτ = 1. Размерность δ( t ) - с-1.
Единичной функцией 1(0 (рисунок 13, б) называют функцию, равную единице при t > 0 и равную нулю при t < 0. Единичная функция 1(- t )(рисунок 13, в) равна нулю при t > 0 и единице при t < 0 . Функции 1 ( t ) и 1(-t ) имеют нулевую размерность. Свойства δ( t ):
1. из определения δ( t ) следует, что:
Рисунок 13
2. производная функции 1( t ) равна δ - функции:
dl ( t ) / d t = δ (0);
3. δ -функция обладает фильтрующим действием:
f(t) δ (t – t1) = f(t1) δ (t – t1),
4.изображение по Лапласу δ -функции равно 1:
а
на основании теоремы смещения.
Единичные функции 1(t) и 1(-t) также обладают фильтрующим действием. Умножение произвольной функции f ( t ) на 1( t ) обращает произведение f ( t ) на 1( t ) в нуль при t < 0. Аналогично,
Импульсное (игольчатое) напряжение или ток в виде δ-функции единичной площади записывают так: δ ( t )- 1. Здесь единица имеет размерность В с или А с соответственно.
В соответствии с рисунком 13, а импульсное напряжение единичной площади, равное δ(t)-1 В с, можно представить как сумму двух прямоугольных импульсов: импульса напряжения 1/Δτ, вступающего в действие при t = 0, и импульса - (1/Δτ), вступающего в действие при t = Δτ.
При t ˃ Δτ и нулевых начальных условиях ток на входе цепи при -воздействии на нее напряжения в виде δ -функции:
Разложив g ( t - Δτ) в ряд Тейлора по степеням Δτ и учитывая малость Δτ, получим:
где - импульсная переходная проводимость. Для моментов времени t > Δτ она численно равна току в цепи при воздействии на цепь напряжения в виде δ -функции.
Аналогично, - импульсная переходная функция.
Для t > Δτ → 0 она численно равна напряжению на выходе четырехполюсника при воздействии на его вход импульса напряжения δ(t) 1 В с. В интервале времени от 0_ до 0+ (во время действия импульса):
u 2 ( t ) = h '( t)•l+ h(0+) δ(t) = h δ(t ).
Наряду с понятиями ’’переходная проводимость” g ( t ) и ’’импульсная переходная проводимость” g '( t ) применяют дуальные понятия: переходное сопротивление r ( t ) и импульсное переходное сопротивление r '( t ). Переходное сопротивление rab ( t ) численно равно напряжению на входе цепи uab ( t ) при воздействии на ее вход единичного тока:
Импульсное переходное сопротивление r ' ab ( t ) численно равно напряжению на входе цепи uab ( t ) после того как на ее вход воздействовал импульс тока в виде δ-функции единичной площади:
Величины r ( t ) и r '( t ) могут быть входными и взаимными, однако g ( t ) nR ( t ) не являются взаимно обратными величинами; g ( t ) определяется при питании схемы от источника ЭДС, a R ( t ) - при питании схемы от источника тока.
Подчеркнем, что в литературе по переходным процессам в зависимости от рассматриваемого вопроса под одним и тем же названием - импульсная переходная функция - понимают либо функцию h '( t), либо h ( t ). Между этими функциями имеется зависимость
h δ ( t ) = h (0+) δ ( t )+ h / ( t );
h '( t ) характеризует реакцию четырехполюсника (его выходное напряжение) после окончания воздействия на его вход единичным импульсом напряжения 1 - δ( t ) В с, a h δ t ) - напряжение на выходе четырехполюсника и во время действия импульса и после окончания.
Аналогичные соотношения существуют между двумя импульсными переходными проводимостями:
gδ ( t ) = g (0+) δ ( t )+ g / ( t );
и между двумя импульсными переходными сопротивлениями:
R δ ( t ) = R (0+) δ ( t )+ R / ( t );
при воздействии на вход схемы единичным импульсом тока. С помощью h \ t ) интеграл Дюамеля запишется так:
Здесь:
hδ ( t - τ) == h ( 0) δ( t ) + h ' ( t - τ).
Формулу интеграла Дюамеля в математических работах называют формулой свертки двух функций в данном случае функций u ( t ) и hδ ( t ).
7.38. Определение h ( t ) и h \ t ) через К(р).
Как упоминалось, при воздействии на вход четырехполюсника единичного напряжения u 1 ( t )=1( t ) напряжение на выходе его u 2 ( t )= h ( t ). Если это положение записать относительно изображений, учитывая, что 1( t )==1/p - и обозначив изображение h ( t ) через Н(р) то H (р)=К(р)/р.
Отсюда:
К(р) == рН(р). (7.47)
Определим теперь h ( t ) через К(р). Поскольку h ( t ) = = Н(р), а Н(р) определено предыдущей строкой, то:
h ( t ) == K ( p )/ p. (7.48)
При воздействии на вход четырехполюсника единичным импульсом напряжения u 1 ( t ) = 1 δ ( t ) == 1 = и1(р), напряжение на выходе его:
u 2 ( t ) = hδ ( t ) == U 1(р)К(р) = 1•К(р),
таким образом
hδ ( t ) == K ( p ) . (7.49)
Дата: 2018-11-18, просмотров: 443.