По первому закону Кирхгофа, алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в любом узле схемы, равна нулю. Так, для узла а схемы рисунка 7.3

i ₁ + i + i ₂  = 0.                                    (7.27)

Применим преобразование Лапласа к уравнению (7.27) и вос­пользуемся тем, что изображение суммы равно сумме изображений:

I ₁ ( p ) + I ( p ) + I ₂ ( p ) = 0.

В общем случае

                                      (7.28)

Уравнение (8.43) выражает собой первый закон Кирхгофа в операторной форме.

Второй закон Кирхгофа в операторной форме.

Для любого замкнутого контура любой электрической цепи можно составить уравнение по второму закону Кирхгофа для мгновенных значений. Предварительно необходимо выбрать положительные направления дл_я токов в ветвях и направление обхода контура.

Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для контура рисунок 7.5.  Контур обходим по часовой стрелке. Учтем, что индуктивности L ₁ и L ₂ связаны магнитно. При выбранных положительных направлениях для токов i ₁, и i ₂ между L ₁ и L ₂ имеет место согласное включение.

Рисунок 7.5

Падение напряжения на L ₁ равно  на L ₂ составляет  При составлении уравнения учтем, что начальное напряжение на конденсаторе равно и_с(0). Пусть оно действует согласно с током i ₃. Начальное значение i ₁ = i ₁,(0), тока i₂(0) = i ₂(0). Имеем:

(7.29)

Каждое из слагаемых(7.29)заменим операторным изображением:

                             (7.30)

Подставив (7.30) в (7.29), объединим слагаемые с I ₁ ( p ), I ₂ ( p ), I ₃ ( p ) перенесем в правую часть u_c (0)/ p , L ₁ i ₁ ,(0) и другие внутренние ЭДС. В результате получим:

            (7.31)

где

В более общем виде уравнение (7.31) можно записать так:

                     (7.32)

Уравнение (7.32) представляет собой математическую запись второго закона Кирхгофа в операторной форме. В состав E_k ( p ) в общем случае входят и внутренние ЭДС.

7.20. Составление уравнений для изображений путем исполь­зования методами, рассмотренными ранее

Из уравнений, составленных по законам Кирхгофа для мгновенных значений, вытекают соответствующие уравнения для изображения.

Уравнения для изображений по форме аналогичны уравнениям, составленным для той же цепи с помощью символического метода для комплексов токов и напряжений.

Но если каждому уравнению для комплексов отвечает соответствующее уравнение для изображений, то все основанные на законах Кирхгофа приемы и методы составления уравнений (методы эквивалентного генератора, контурных токов, узловых потенциалов, наложения и т. п.) можно применить и при составлении уравнений для изображений.

При составлении уравнений для изображений ненулевые начальные условия учитывают путем введения ’’внутренних" ЭДС, обусловленных начальными токами через индуктивные элементы и начальными напряжениями на конденсаторах.