Дополнения к операторному методу
Поможем в ✍️ написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

 

Для перехода от изображения F ( p ) к функции времени f ( t ) может быть использовано обратное преобразование Лапласа:

                                 (a)

Функция F ( p ) аналитична в области Re p > v и стремится к нулю при р →∞. При практическом использовании этой формулы интеграл по бесконечной прямой, параллельной оси ординат, заменяют контурным интегралом, охватывающим все полюсы функции:

                                 (б)

Полюсами называют значения ру при которых F ( p ) обращается в бесконечность. В том случае, когда F ( p ) = N ( p )/ М(р), полюсами являются корни уравнения М(р) = 0. В теории функций комплекс* ного переменного доказывается, что правая часть формулы (б) рав» на сумме вычетов (Res) подынтегральной функции во всех ее полю­сах, т. е.

Вычетом функции в некотором полюсе называют величину, на которую уменьшается разделенный на 2л/ контурный интеграл от этой функции, когда контур при его стягивании пересечет этот по-

люс. Но вычет функции  в простом полюсе pk равен

Поэтому:

Таким образом, используя обратное преобразование Лапласа, вывели формулу разложения (7.43).

Запишем формулу разложения при наличии кратных корней. Положим, что уравнение М(р)= 0 имеет q простых корней (р1„ р2,..., р q), корень р r кратности r и корень ps кратности s . Тогда:

 

Переходная проводимость.

Ранее указывалось, что ток в любой ветви схемы может быть представлен в виде произведения напряжения U на входе схемы на собственную или взаимную проводимость g : i = Ug .

При переходных процессах это соотношение также имеет силу. Если на вход какой-либо цепи в момент t = 0 включается постоянное напряжение U (ЭДС Е), то ток i ( t ) в любой ветви этой схемы равен произведению постоянного напряжения U на проводимость g ( t):

i ( t )= Ug ( t).                          (7.45)

При переходном процессе проводимость является функцией времени, поэтому в скобках указывается время t ; g ( t ) называют

переходной проводимостью. Она измеряется в тех же единицах (См), что и обычная проводимость.

Если в формуле (7.44) принять U = 1 В, то i ( t ) = g ( t ), т. е. переходная проводимость какой-либо ветви схемы численно равна току i ( t ) в этой ветви при подключении цепи к источнику постоянно­го напряжения в 1 В. Индексы у g ( t ) указывают на то, какую именно переходную проводимость имеют в виду. Если индексы одинаковы, то имеют в виду собственную переходную проводимость ветви, но­мер которой соответствует цифре, указанной в индексе; если индек­сы разные, то - проводимость между теми ветвями, номера которых указаны в индексе. Например, если источник постоянного напряжения V при нулевых начальных условиях включают в первую ветвь, то ток первой ветви i 1(t) = Ug 11(t), а ток третьей ветви

Переходную проводимость можно определить расчетным либо опытным путем. При расчете gkk ( t ) классическим или операторным методом ток k-ветви находят при включении источника постоянного напряжения в /г-ветвь; gkk ( t ) ток &-ветви вычисляют при включении источника постоянного напряжения U в m-ветвь. Далее, в полученных формулах полагают U = 1 В. При опытном определении переходной проводимости ток i ( t ) соответствующей ветви находят путем осциллографирования.

Ранее было доказано, что gkm = gmk Это свойство вытекает из симметрии определителя относительно главной диагонали.

Аналогично можно доказать, что операторное изображение проводимости gkm (р) равно операторному изображению gmk (р). Но если равны изображения двух переходных проводимостей, то равны и сами переходные проводимости, т. е. gkm ( t )= gmk ( t ).

Данное равенство свидетельствует о том, что на переходные процессы распространяется теорема взаимности. Для переходных процессов теорема взаимности формулируется следующим образом (см. «скелетные» схемы рисунка 7.7): в любой линейной электрической цепи ток переходного процесса k-ветви ik ( t ), вызываемый включением источника ЭДС em ( t ) в m-ветвь (рисунок 7.7, а), равен току переходного процесса im ( t ) в m-ветви, вызываемому включением источника ЭДС ek ( t ) в k-ветвь (рисунок 7.7, б), при условии, что ek (t) = ет ( t ).

Рисунок 7.7

 

Дата: 2018-11-18, просмотров: 353.