В некоторых задачах приходится рассматривать не только вопрос о времени безотказной работы (т.е. времени появления первого отказа) элементов и систем, но и учитывать появление ряда отказов технических устройств за определенный период времени. Например, такие задачи могут возникнуть при рассмотрении организационных вопросов технического обслуживания технических устройств (организация ремонта, замены и т.д.) и при исследовании надежности резервированных систем. Иногда предполагается, что появления последовательных отказов можно считать редкими событиями, распределенными по закону Пуассона. При этом возможны два подхода к этому вопросу.

Если задать время работы системы, то при показательном распределении времени безотказной работы вероятность появления отказов за время  вычисляется по формуле Пуассона:

                                             ,                                                            (7.5)

где  - интенсивность отказов (среднее число отказов в единицу времени в рассматриваемом интервале);

- параметр распределения.

Вероятность появления не менее  отказов за фиксированный интервал  равна

                                                                          (7.6)

В теории надежности распределение Пуассона используется в задачах, связанных с расчетом необходимого числа запасных частей и других.

Если задать фиксированное число отказов  и рассматривать в качестве случайной переменной время до появления заданного числа  отказов, то плотность распределения этой случайной величины определяется распределением Эрланга:

                                            ,                                             (7.7)

где  – параметр масштаба;  – параметр формы.

Функция распределения

                                               .                                                 (7.8)

Распределение Эрланга используется для описания многофазных процессов, случайных времен работы невосстанавливаемой системы с холодным резервом.

При  получается экспоненциальное распределение. В данном случае экспоненциальное распределение – это распределение времени ожидания первого отказа. Распределение Пуассона тесно связано с экспоненциальным распределением и распределением Эрланга. Пусть -моменты появления отказов.  - случайные промежутки времени между этими отказами.  - число отказов в фиксированном интервале времени . Если случайные величины  независимы и каждая из них распределена по экспоненциальному распределению с одним и тем же параметром масштаба , то случайное число  отказов в интервале фиксированной длины  подчиняется закону Пуассона с параметром , а случайная величина  имеет распределение Эрланга порядка  с параметром масштаба . При этом имеет место равенство

                                            .                                                         (7.9)

В распределении Эрланга параметр формы  является целым положительным числом. Если параметр формы будет положительным числом, то это распределение переходит в гамма-распределение. Плотность гамма-распределения имеет вид

                                                                                       (7.10)

где  – параметр формы, ;  – параметр масштаба, .

Числовые характеристики:

 – математическое ожидание;

– дисперсия;

 – коэффициент вариации;

 – коэффициент асимметрии;

 – коэффициент эксцесса;

 – интенсивность отказов;

 – неполная гамма-функция.

При целых значениях  функция распределения имеет вид

                                           .                                               (7.11)

При  будем иметь экспоненциальное распределение.

На рис. 7.4 представлены графики плотности гамма-распределения.

Рис. 7.4. График плотности гамма-распределения

На рис. 7.5 показа кривая интенсивности отказов

Рис. 7.5. График интенсивности отказов гамма-распределения

Гамма– распределение возникает в теории нормально распределённых величин как распределение суммы квадратов независимых величин, имеющих стандартное нормальное распределение. Оно находит применение в экологии, а также при анализе периода полураспада. Гамма-распределения используют для описания резервированной системы, состоящей из одинаковых блоков, причем под нагрузкой находится один блок, а остальные поочередно автоматически включаются в работу после отказа работающего блока. Это распределение применяется в тех же случаях, что и Вейбулла-Гнеденко, а кроме этих случаев для описания накапливающихся повреждений (изгибающие нагрузки слоистых брусков, систем с ненагруженным резервом и т.п.).

Распределение смеси

Чтобы получить теоретическое распределение, близкое к экспериментальному, иногда применяют следующий прием. Плотность распределения времени безотказной работы считается равной сумме (суперпозиция):

                                        ,                                                             (7.12)

где ,  - теоретические распределения определенного вида;

,  - коэффициенты веса, учитывающие влияние различных слагаемых.

Рассмотрим в качестве примера сумму (суперпозицию) распределений:

                                        .                                                      (7.13)

Для этого случая имеем:

                                           ,                                                         (7.14)

                                        .                                                     (7.15)

Соответствующий график распределения  приведен на рис. 7.6.

Рис. 7.6. График  для суммы (суперпозиции) двух показательных распределений

Среднее время безотказной работы:

                                                     .                                                            (7.16)

Пусть для определенности . Тогда для очень больших  ( ) члены, содержащие , малы и . При малых значениях  и  близки к единице и

                                                     .                                                      (7.17)