Вероятность вычисляется по следующей формуле:

Подставим в эту формулу данные из таблицы 6.12:

Однако для точного вычисления требуемой вероятности полученного ре­зультата недостаточно. Необходимо дополнительно рассмотреть вероятности всех теоретически возможных вариантов распределения результатов в таблице 6.5, которые носят более крайний (экстремальный) характер по сравнению с исходным.     

Вернемся к нашему примеру (табл. 6.5) и представим его в следующем виде:

Более экстремальные распределения результатов, не искажающие их итогов, будут иметь такой вид:

Вычислим соответствующие вероятности для случаев b) и с):

Тогда точная вероятность будет равна сумме полученных значений:

Для рассмотрения ситуации в общем виде представим распределение ре­зультатов в таблице размером (2x2) следующим образом:

Тогда, в общем случае, искомое точное значение вероятности будет определяться как сумма нескольких слагаемых, каждое из которых вычисляется по формуле:

Вернемся к нашему примеру. Из таблицы 6.6 можно видеть, что x =8, r = 11, с = 10 и min (r, с) = 10.

Следовательно, вычисления по этой формуле начнутся со значения x = 8; закончатся, когда x примет значение x = min (r, с)= 10. В итоге будут получены три значения вероятности для x =8, x =9, x = 10, сумма которых даст, разумеется, тот же результат, который был получен выше. Несмотря на явные преимущества точного теста Фишера, особенно при работе с малыми выборками, он не столь популярен, как тест X², поскольку, как видно из приведенного примера, требует большого объема дополнительных вычислений. Поэтому при наличии достаточных по размеру выборок исследователи предпочитают применять тест X². При наличии малых выборок требуемых вычислений удается избегать за счет использования громоздкой статистической таблицы для этого теста⁷.     

⁷ В книге Sidney Siegel [Siegel, 1956] статистическая таблица для точного теста Фишера занимает
15 страниц.        

В таблице 10 (Приложение 2) приведен фрагмент этой таблицы, относящий­ся к рассматриваемому примеру.

Выберем уровень значимости α =0,05 и сформулируем соответствующие гипотезы.

Н₀: Число случаев храпа одинаково для людей, спящих на спине, и для людей, спящих в других позах.

Н₁: Число случаев храпа неодинаково для тех, кто спит на спине, и для тех, кто спит в других позах (двусторонняя критическая область⁸).

⁸ Поскольку в альтернативной гипотезе не утверждается, что среди тех, кто спит на спине, число случаев храпа больше.

Если все необходимые для проверки вычисления осуществляются вручную (как показано выше), то получаемое в итоге точное значение вероятности р (в нашем случае р =0,015) сравнивается со значением выбранного уровня зна­чимости α для случая односторонней критической области. Если р > α, нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если р < α, то нулевая гипотеза от­клоняется и принимается альтернативная.

В нашем случае р=0,015. Для перехода к двусторонней критической облас­ти удвоим это значение. Получим р=0,030. Поскольку это значение меньше, чем α =0,05, нулевая гипотеза отклоняется и принимается альтернативная. Число случаев храпа неодинаково для тех, кто спит на спине, и для тех, кто спит в других позах.

В случае использования статистической таблицы для точного теста Фишера последовательность действий такова:

Находим в таблице 10 (Приложение 2) случай, соответствующий значениям (А+В) = 11 и (С+ D) = 11. В колонке «В (или А)» ищем значение В, соответст­вующее тому, что приведено в таблице 6.6 (В =3). Поскольку этого значения в таблице нет, используем вместо В значение А = 8. Напротив значений В (или А) в таблице приведены критические значения D (или С), соответствующие указанным уровням значимости для односторонней критической области. Поскольку в рассматриваемом примере используется двусторонняя критическая область и уровень значимости α =0,05, то в таблице необходимо искать значе­ния, соответствующие α =0,025.

Если фактическое значение D (или С), приведенное в таблице 6.6, больше критического значения D (или С), приведенного в табл. 10, нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если фактическое значение D (или С) меньше или равно критическому значению D (или С), нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная.

Из таблицы следует, что для уровня значимости α =0,025 и А = 8 критическое значение С=2. Фактическое значение С также равно двум (табл. 6.6).

Поскольку эмпирическое значение (С=2) равно критическому, нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная (для α =0,05): число случаев храпа неодинаково для тех, кто спит на спине, и для тех, кто спит в других позах.

При работе с большими выборками обычно используется другой подход, основанный на свойствах нормального распределения. Вначале вычисляет значение z по следующей формуле (смысл входящих в формулу обозначений рассмотрен выше):

Затем по таблице z -распределения определяется соответствующая полученному значению z вероятность, которая сравнивается с выбранным уровнен значимости α для односторонней критической области.

ВКЛЮЧАЕМ КОМПЬЮТЕР...

Создадим в программе SPSS переменные «Храп» (snoring) (1 — есть храп, 2 — не храпа) и переменную «Поза во время сна» (pos), где 1 означает сон на боку или животе, 2 — сон на спине.

Дальнейшие действия и результат показаны на рис. 6.6—6.8.

Рис. 6.6. Выбор требуемой статистической процедуры

Рис. 6.7. Точный тест Фишера: необходимые действия и настройки

Рис. 6.8. Точный тест Фишера: результат