Можно ли на основании полученных результатов утверждать, что среди иммигранток блондинки встречаются чаще?

Для ответа на поставленный вопрос чаще всего используется тест Х² — один из наиболее популярных непараметрических тестов. С ним мы уже встречались, когда рассматривали случай одной выборки (параграф 3.2). Тогда он применялся для сравнения эмпирического распределения качественных признаков (страна-производитель автомобилей) с теоретическим распределением (равномерным).

Гораздо чаще данный тест используется для сравнения между собой двух и более эмпирических распределений качественных признаков, полученных на независимых выборках.

В нашем примере мы имеем две независимые выборки: коренные израильтянки и иммигрантки и качественный признак — цвет волос, выраженный в дихотомической шкале наименований (блондинка или неблондинка). При этом как число независимых выборок, так и число градаций качественной перемен­ной может быть сколь угодно большим.         

Основная идея использования теста Х² связана со сравнением наблюдаемых (observed) частот в каждой из клеток таблицы с теоретически ожидаемыми (expected) частотами. С опорой на имеющиеся наблюдаемые значения (О) и вычисленные для каждой клетки таблицы ожидаемые значения (Е) определяется значение Х².

Для таблицы, содержащей r строк и k столбцов, формула для вычисления Х² выглядит так:

Для понимания смысла формулы представим расчетную таблицу следующим образом (табл. 6.2).

Таблица 6.2

Таблица для теста Х² (случай двух независимых выборок)

Ожидаемые (теоретические) частоты вычисляются так:

Е₁₁=(А+В)(А+С)/ N

Е₁₂=(А+В)(В+ D)/ N

Е₂₁=(С+ D)(А+С)/ N

Е₂₂=(С+ D)(В+ D)/ N

Если эти выражения подставить в формулу для Х², то после несложных ал­гебраических преобразований получим следующий результат (справедливый только для таблицы размером 2x2):

Подставим в выражение для Х² значения, полученные Антоном и Ричардом (N=90; А=20; В= 18; С=38; D= 14), и произведем необходимые вычисления:

Корректнее пользоваться другой формулой, в которую введена поправка на непрерывность³ для таблиц размером 2x2:

³ С поправкой на непрерывность для таблицы размером 2х2 мы уже сталкивались при рас­смотрении теста МакНемара. Она позволяет корректировать ошибки, возникающие при исполь­зовании непрерывного распределения Х² для анализа дискретных данных. Если эту поправку не использовать, то значение Х² оказывается большим, чем в том случае, если эта поправка исполь­зуется. При проверке статистических гипотез это увеличивает число случаев, при которых нуле­вая гипотеза отвергается без должных на то оснований. К сожалению, во многих случаях иссле­дователи поправку на непрерывность игнорируют и производят вычисления без нее.

После всех предварительных замечаний и преобразований приступим к формулированию нулевой и альтернативной гипотез (как и прежде, использу­ем уровень значимости α =0,05).

Н₀: Среди коренных израильтянок и среди иммигранток девушки-блондинки встречаются одинаково часто.     

Н₁: Среди девушек-иммигранток блондинки встречаются чаще, чем среди коренных израильтянок (односторонняя критическая область).

Для проверки нулевой гипотезы вычисляется эмпирическое значение Х²_эмпир по приведенной выше формуле (с поправкой на непрерывность). Подставим в эту формулу значения, полученные Антоном и Ричардом: N=90, А=20; В= 18; С=38; D=14

Полученное значение Х²_эмпир сравниваем со значением Х²_критич, которое находим в табл. 2 (Приложение 2) для выбранного уровня значимости α и числа степеней свободы df =( r -1)( k -1), где r — число строк в расчетной таблице,  а k — число столбцов в ней. В нашем случае r = k =2 и df =1.

В табл. 2 приведены значения Х²_критич для различных значений уровня зна­чимости α, соответствующих двусторонней критической области. Как мы уже знаем, односторонней критической области с уровнем значимости α соответствует двусторонняя критическая область с уровнем значимости 2α. В нашем случае α =0,05. Поэтому ищем в таблице значение Х²_критич для df =1 и уровня значимости 2α=0,1. Найденное значение Х²_критич =2,71.

Поскольку Х²_эмпир > Х²_{критич,} нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная. Девушки-блондинки встречаются чаще среди иммигрантов, чем среди коренных израильтянок⁴.

4 Использование односторонней критической области, позволяющей определить направление различий между двумя выборками, возможно только для таблицы размером 2x2. Во всех остальных случаях использования теста х² это сделать невозможно.

С таблицей размером 2x2 связан еще один показатель, называемый отношением шансов (odds ratio— О R).   

На основании результатов, полученных Антоном и Ричардом, можно сказать, что шанс встретить блондинку среди иммигранток определяется как 18:14. Шанс встретить блондинку среди коренных израильтянок будет 20:38.

Оdds Ratio показывает отношение полученных результатов (отношение шансов):

О R = 18:14/20:38 = 2,44.

Иными словами, шанс встретить блондинку среди студенток-иммигранток в 2,44 раза выше шанса встретить блондинку среди студенток, родившихся в Израиле⁵.

5 Нетрудно видеть из таблицы 6.2, что О R определяется как ВС/А D.

Приведем еще один пример для случая, когда результаты представлены в шкале наименований, содержащей более двух категорий.

В ходе одного из исследований, проведенных центром RADAR, были полу­чены социодемографические характеристики израильских героиновых нарко­манов [Isralowitz et al., 2007]. В частности, были получены данные об их семей­ном положении и типичной занятости в течение последних трех лет. Это позволило сформировать две независимые выборки, первая из которых вклю­чила тех, кто на протяжении трех последних лет имел полную или частичную занятость, а вторая тех, кто в течение последних трех лет был безработным.

В таблице 6.3 приведены данные о семейном положении для каждой из выборок (данные только для мужчин).

Таблица 6.3