В кубе проведите плоскость через выделенные элементы
⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 13Следующая ⇒
Поможем в ✍️ написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

 

Найдите линии пересечения этой плоскости с гранями и заштрихуйте полученный многоугольник.

 

 

9. Треугольники АВС и АВD лежат в разных плоскостях. Точки А1 и В1  - середины отрезков АС и ВС. Докажите, что прямая А1В1 параллельна плоскости ABD.

 

       

 

10. Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Точки E,F,H–соответственно середины отрезков АВ, АС,АD. Докажите, что плоскости ВСD и EFH параллельны.

11. Даны две параллельные плоскости. Через точки А и В одной из них проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках А1 и В1. Докажите, что четырёхугольник АВВ1А1 – параллелограмм.

12. KLMN - тетраэдр (все грани – равносторонние треугольники).

а) Постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через ребро KL и точку А-середину ребра NM;

б) Докажите, что плоскость, проходящая через середины Е, О, и F отрезков LM, MA и МК, параллельна плоскости LKA.

13. Стороны АВ и ВС параллелограмма АВСD пересекают плоскость . Докажите, что прямые АD и DС также пересекают плоскость .

14. Докажите, что если данная прямая параллельна прямой, по которой пересекаются две плоскости, и не лежит в этих плоскостях, то она параллельна этим плоскостям.

15. Основание АВ трапеции АВСD параллельно плоскости , а вершина С лежит в этой плоскости. Докажите, что: а) основание CD трапеции лежит в плоскости ; б) средняя линия трапеции параллельна плоскости .
       

 

 

16. Докажите, что если три плоскости, не проходящие через одну прямую, попарно пересекаются, то прямые, по которым они пересекаются, либо параллельны, либо имеют общую точку.   17. В пространственном четырёхугольнике АВСD стороны АВ и CD равны. Докажите, что прямые АВ и CD образуют равные углы с прямой, проходящей через середины отрезков ВС и AD.   18. Докажите, что плоскости  и  параллельны, если две пересекающиеся прямые m и n плоскости  параллельны плоскости .

 

ПРОЧИТАЙТЕ УСЛОВИЕ ЗАДАЧ И РАЗБЕРИТЕ

ИХ РЕШЕНИЕ

1. Через концы отрезка АВ и его середину М проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках А1, В1 и М1. Найдите длину отрезка ММ1, если АА1 = 3,6 дм, ВВ1 = 4,8 дм.
Дано:                                АВ, ;                            М АВ;                         АМ= МВ; А1, М1, В1 a; АА1| | DD1| | ММ1; АА1= 3,6см;                                             ВВ1= 4,8см. Найти: ММ1.

Решение: 1) Если АА1||ВВ1||ММ1- то эти отрезки лежат в одной плоскости b(по свойству параллельных прямых). b a=А1В1.  

2) По теореме Фалеса М1 - середина АВ, тогда ММ1 - средняя линия трапеции АА1В1ВÞ по свойству средней линии

трапеции ММ1= (АА1+ВВ1) = (3,6+4,8)=4,2(см.).

Ответ: ММ1 = 4,2см.

 

Примерный план решения задач первого типа

1. Провести плоскость через: две параллельные прямые;

                                             две пересекающиеся прямые;

                                             треугольник, трапецию.

2. Применяя теорему Фалеса, признак параллельности прямой и плоскости доказать, что дана средняя линия треугольника (трапеции).

3. Используя свойство средней линии треугольника (трапеции) найти неизвестные величины.

2. Точки М, Н, К, Р–середины соответственно отрезков А D , DС, ВС, АВ. Найдите периметр четырёхугольника МНКР, если МР = 8дм., АС =32дм.

Дано:

[АD],[DС],[ВС],[АВ];

МÎАD, АМ= МD;

НÎDС, DН=НС;

РÎАВ, АР= РВ;

КÎ ВС, ВК= КС;

МР= 8дм., АС= 32дм.

Найти: РМНКР.

Решение:

1) АВСD пространственный четырёхугольник (его вершины не лежат в одной плоскости) и М, Н, К, Р- середины его сторон (кроме АС).

2) РМ - средняя линия DАВD (по условию) ÞРМ|| ВD;

НК - средняя линия DСDВÞНК|| ВD, значит по признаку параллельности прямых РМ|| НК, тогда четырёхугольник РМНК лежит в одной плоскости.

МН - средняя линия DАDС и РК- средняя линия DАВСÞМН|| АС и РК||АС,

тогда МН|| РК, значит РМНК – параллелограмм

3) РМНКР = 2(РМ+МН).

По свойству средней линии треугольника

МН= АС= =16(дм.). РМНКР.=2(8+16)=48(дм.).

Ответ: РМНКР.=48дм.

 
         

 


Примерный план решения задач второго типа

1.Дан пространственный четырёхугольник (его вершины не лежат в одной плоскости). Указать точки, которые являются серединами его сторон.

2. Применяя признак параллельности прямых в пространстве и свойство средней линии треугольника, доказать, что фигура, лежащая внутри пространственного четырёхугольника – параллелограмм.

3. Применяя свойства средней линии треугольника и параллелограмма, найти неизвестные величины.

3. Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная прямой АВ, пересекает сторону АС этого треугольника в точке А1, а сторону ВС – в точке В1. Найдите длину отрезкаА1В1, если В1С = 10см., АВ/ВС = 4/5.
Дано: DАВС, a||АВ; a АС = А1; a ВС = В1; В1С = 10см.; АВ/ВС = 4/5. Найти: А1В1.   Решение: 1) Пусть DАВС лежит в плоскости g, тогда g a = А1В1. А1В1Îa и a||АВÞ А1В1||АВ (по признаку параллельности прямой и плоскости).

2) DАВС ¥ DА1В1С по второму признаку подобия треугольников

(ÐАСВ – общий, ÐСВ1А1 = ÐСВА как односторонние углы при параллельных прямых АВ и А1В1).

3) = = ; = ; А1В1= =8. Ответ: 8см.

Примерный план решения задач третьего,

Четвёртого и пятого типов

1. Провести плоскость через: треугольник, две пересекающиеся прямые. Указать линию (линии) пересечения плоскостей. Доказать параллельность необходимых сторон.

2. Записать подобные треугольники, признак, обоснование.

3. Записать пропорциональность сторон подобных треугольников. Подставить известные величины и найти неизвестные.

РИСУНКИ К ЗАДАЧАМ

 

Примечание: дугой обозначены известные, неизвестные величины знаком "?".

 

 

2.4 ЗАДАЧИ
1. Точка С лежит на отрезке АВ. Через точку А проведена плоскость , а через точки В и С – параллельные прямые, пересекающие плоскость соответственно в точках В1 и С1. Найти длину отрезка СС1, если точка С – середина отрезка АВ и ВВ1=7м.   2. Точка М, Н, Р и К – середины соответственно отрезков АD, DС, АВ и ВС; РК || МН. Найти периметр четырехугольника МНКР, если АС=8дм., ВD=10дм.   3. На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяты соответственно точки D и Е так, что DЕ = 5см., а ВD / DА =2/3. Плоскость a проходит через точки В и С и параллельна отрезку ДЕ. Найдите длину отрезка ВС.   4. Точка А - середина отрезка МР, а точки В, С, D лежат соответственно на отрезках КР, КН, МН. ВС || РН, АD || РН, АВ || СD. Найдите РН, если АВ=4дм., а периметр четырехугольника АВСD равен 28 дм.   5.Плоскоть, параллельная основаниям трапеции, пересекает стороны АВ и СD в точках М и К соответственно, АD=10м., ВС=6м. Найти МК, если М-середина отрезка АВ.   6. Точки М, N, Q и Р - середины отрезков DВ и DС, АС и АВ. Найти периметр четырехугольника MNQP, если АD=12мм., ВС=14мм.   7. Точка С лежит на отрезке АВ. Через точку А проведена плоскость, а через точки В и С- параллельные прямые, пересекающие эту плоскость соответственно в точках В1 и С1. Найдите длину отрезка СС1, если АC/СВ=3/2 и ВВ1=20м.   8. Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная прямой АВ, пересекает сторону АС в точке К, а сторону ВС - в точке М. Найти длину отрезка АВ, если длина КС =12дм., АС=24дм., КМ=9дм.   9. Параллельные плоскости a и b пересекают сторону АВ угла ВАС соответственно в точках А1 и А2 , а сторону АС этого угла – соответственно в точках В1 и В2. Найти АА2 и АВ2, если А1А2=2А1А, А1А2=12м., АВ1=5м. 10.Точки D, С, В лежат соответственно на отрезках МК, МН, РН. Точка А – середина отрезка РК, АВ||СD, ВС||АD, ВС||РМ, СD||НК. Найти РМ и НК, если СD=16мм., ВС=8мм.   11.Через концы отрезка АВ и его середину М проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках А1, В1 и M1. Найдите длину отрезка MM1, если AA1=5 см, BB1=7  см.
12. Через точку К проведены две прямые a и b, пересекающие две параллельные плоскости a и b: первую в точках А1 и А2, вторую в точках В1 и В2 соответственно. Вычислить КА1  и КВ2, если: а) А1А2/В1В2=3/4, А1В1=7дм, КА2=12дм; б) А1А2/ В1В2=1/6, А2В2=3см, В1К=12см. Точка К не лежит между плоскостями a и b. 13.В треугольнике АВС АВ=15м., АС=24м. Через точку М на стороне АВ, находящейся на расстоянии 10м от точки А, проведена плоскость, параллельная прямой АС и пересекающая сторону ВС в точке К. Найдите длину отрезка МК.   14. Плоскость, параллельная стороне АВ треугольника АВС, пересекает его стороны в точках М и К. Найти АВ, если М- середина стороны АС и МК=10мм.   15. Параллельные плоскости a и b пересекают стороны угла АВС в точках А1, С1, А2, С2 соответственно. Найти ВС1, если А1В/А1А2=1/3, ВС2=12мм.   16. Точка К лежит между параллельными плоскостями a и b. Прямые а и b, проходящие через точку К, пересекают плоскость a в точках А1 и В1, а плоскость b в точках А2 и В2 соответственно. Найти КВ1, если: а) А1К/А1А2=1/3, В1В2=15м.; б) В1А1/В2А2=4/6, КВ2=8дм; в) А2К/А1А2=2/5, В1В2=20см; г) КВ2/А1В1=1/6, А2В2=2мм.   17. Треугольник АРD и трапеция АВСD имеют общую сторону АD и лежат в разных плоскостях. Через основание ВС трапеции и середину отрезка РD – точку К проведена плоскость, которая пересекает прямую АР в точке М. Найти МК, если АД=10м.   18. Через точку А стороны КМ треугольника КМР проведена плоскость, параллельная прямой МР. Вычислить длину отрезков, на которые делится эта плоскость сторону КР, если МК=10см., МА=6см, КР=15дм.   19. Треугольники АВС и DВС не лежат в одной плоскости и имеют общую сторону; точки М, Н, К- середины соответственно сторон ВD, DС, АС. Отрезок АВ пересекает плоскость МКН в точке Р. Найти РК, если ВС=8м.   20. Параллельные плоскости a и b пересекают сторону АВ угла ВАС соответственно в точках А1 и А2, и сторону АС этого угла - соответственно в точках В1 и В2. Найти А2В2 и АА2, если А1В1=18см., АА1=24см., АА2=3/2А1А2.

 

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ.

1. Продолжение отрезка ВС пересекает плоскость  в точке Е. Отрезок АDлежит в плоскости . Скопируйте рисунок и изобразите отрезки АС и ВD. Определите, пересекаются ли эти отрезки? Ответ обоснуйте.

 

 

2. На рисунке изображены параллельные плоскости  и . Точка А принадлежит плоскости , точки С и D лежат в плоскости , а точка М принадлежит прямой АС.

 

Скопируйте рисунок и изобразите на нём точку В, принадлежащую плоскости , так, чтобы прямые АС и BD пересекались в точке М.

3. Зарисуйте примеры конструкций, которые спереди и слева имеют следующий вид. (В конструкции используйте только кубики).

 

                    а)                                 б)                               в)

4. На рисунке изображены геометрические тела, на поверхности которых отмечены точки. Назовите эти фигуры, нарисуйте развёртки поверхностей этих тел и покажите на них соответствующие точки. Примеры развёрток смотрите в приложении.

5. Постройте развёртку поверхности куба:

а) ребро которого равно 35мм;

б) диагональ грани которого равна 4см.

 Склейте эти модели ( припуски удобней делать на боковых гранях).

6. Рассмотрите набор деревянных брусков. Выясните можно ли составить каждый брусок из кубиков с ребром а= 2 клетки? Если да, то сколько кубиков понадобится для работы?

7. Перерисуйте из приложения развертку: 

                                           правильной треугольной призмы;

                                           правильной пятиугольной призмы;

                                           наклонного параллелепипеда.

Обозначьте вершины у каждой фигуры и перечислите:

а) все параллельные ребра (нарисуйте их одним цветом);     

б) все диагонали боковых граней и оснований (нарисуйте их другим цветом);

в) все диагонали призмы и параллелепипеда.

Для выполнения этого задания развёртки фигур необходимо увеличить и склеить (припуски удобней делать на боковых гранях).

 

8. Сколько прямоугольных параллелепипедов изображено на рисунке?

9. Туго натянутая нить последовательно закреплена в точках

1, 2, 3, 4, 5 и 6, расположенных на стержнях SA, SB и SC, которые не принадлежат одной плоскости. Скопируйте рисунок, отметьте и обозначьте точки, в которых отрезки нити соприкасаются

10. Туго натянутая нить последовательно закреплена в точках

 

1, 2, 3, 4, и 5, расположенных на стержнях SA, SB и SC, которые не принадлежат одной плоскости. Скопируйте рисунок, отметьте и обозначьте точки, в которых отрезки нити соприкасаются.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ

И ПЛОСКОСТЕЙ

  

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ

Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

  

Дата: 2018-12-21, просмотров: 1545.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒
fb
inst
tw
vk
Материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления пользователям Интернета и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. © 2018 - 2024