Дано:

АВСD прямоугольник;

КÏ АВСD;

АК^ АВСD;

КВ=7м;

КС=9м;

КD=6м.

Найти: АК.

Решение:

1) Рассмотрим D он прямоугольный (АК^ АВСD), по теореме Пифагора КD²= АК²+АD² ÞАК²=КD²-АD², КD=6м, АD-?

2) Найдём АD. Для этого рассмотрим DКВС. Здесь КВ- наклонная, АВ- её проекция, АВ^ВС(т. к. АВСD-

прямоугольник), значит по ТТП (теорема трёх перпендикуляров) КВ^ВСÞDКВС прямоугольный (ÐКВС=90⁰), тогда по теореме Пифагора ВС²=КС²-КВ², причём ВС=АD т. к. АВСD – прямоугольник, тогда АD²=КС²-КВ².

3) Найдём АК. АК²=КD²-АD²= КD²-(КC²-КВ²)=6²-(9²-7²)=36 – (81-49)=4, АК=  =2(м) . Ответ: АК=4м.

3. Точка L находится на расстоянии 10см. от вершин равностороннего треугольника АВС со стороной АВ=8  см. Найдите: а) расстояние от точки L до плоскости треугольника L О; б) площадь треугольника АО L ; в) расстояние от точки L до сторон треугольника.

Дано:

DАВС- равносторонний;

LÏDАВС;

LA=10см;

АВ=8  см.

Найти: а) L О

б) S _{D АО L} ; в) L К.

Решение:

1) Опустим перпендикуляр из точки L на плоскость АВС, обозначим точку пересечения перпендикуляра и плоскости точкой О, значит LО- расстояние от точки О до плоскости DАВС. Рассмотрим DАОL прямоугольный Þ по теореме Пифагора

АL²=АО²+LО², тогда LО²=АL²-АО².

2) АО-? АО=R (радиус описанной окружности около DАВС),

R= = =8(см), АО=8см, значит LО² = 10² – 8² = 36,

LО= =6(см).

3) S_DАОL= LO*АО= *6*8=24(см²)

4) Опустим перпендикуляр LK на сторону ВС (LK- расстояние от точки L до стороны ВС). Рассмотрим DLОК , он прямоугольный, т. к. LО^АВС, тогда по теореме Пифагора LK²=LO²+ОК², LO=6см., КО-?.

5) Найдём КО, для этого рассмотрим DАВС, здесь КО=r (радиус вписанной окружности в треугольник), r =  =  = 4(см)Þ КО=4см. Тогда

LK²=6² + 4² =52, LK= = =2 (см).

Ответ: LO=6см, S_DАОL=24см², LK=2 см.

4. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и В D на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если АС= 6м, В D = 7м, CD =6м.

рассмотрим DCDB (BD^CD по условию), по теореме Пифагора СВ²=CD²+BD².

3) Значит АВ² =АС²+(CD²+BD²) = 6²+7²+6² = 121, АВ= =11(м).

Ответ: АВ=11м.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

1. Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁  и постройте его сечение: а) плоскостью АВС₁; б) плоскостью АСС₁. Докажите, что построенные сечения являются параллелограммами.

2. Точка S равноудалена от вершин прямоугольного треугольника и не лежит в плоскости этого треугольника. Докажите, что прямая SM где М – середина гипотенузы, перпендикулярна к плоскости треугольника.

4. Можно ли из данных плоских фигур получить модели геометрических тел? Если можно, то какие и как это сделать?

5. Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁  и отметьте точки M и N соответственно на рёбрах ВВ₁ и СС₁. Постройте точку пересечения: а) прямой MN с плоскостью АВС; б) прямой АМ с плоскостью А₁В₁С₁.

7. Решите анаграммы и исключите лишнее слово:

а) лоннанаяк ; пенлярперкуди; ципрояек; ачток;

б) давктар; кинтрельуго; гурк; бук;

в) стькоспло; паямяр; ачток; тояраснисе; 

г) чул; аямпря; козрето; луго.

8. Постройте развёртку поверхности правильной пирамиды, боковое ребро которого равно 5,5см., а основание является:

а) равносторонним треугольником со стороной 4,3см;

б) квадратом с диагональю 5см;

в) ромбом со стороной 4см. и одним из углов, равным 85⁰;

г) правильный шестиугольник со стороной 3см.

9. Сколько пирамид изображено на рисунке? Разделение пирамид ведите по линиям.

10. Перерисуйте из приложения (в конце пособия) развёртки треугольной пирамиды и правильной четырёхугольной пирамиды. Склейте из этих развёрток пирамиды и обозначьте разными цветами:

а) расстояние от вершины пирамиды до вершин основания;

б) расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания;

в) радиусы вписанной и описанной окружности основания правильной четырёхугольной пирамиды;

г) линейный угол между боковой гранью и основанием.

11. Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁  и постройте его сечение плоскостью, проходящей через диагональ АС основания параллельно диагонали ВD₁. Докажите, что если основание параллелепипеда – ромб и углы АВВ₁ и СВВ₁ прямые, то построенное сечение – равнобедренный треугольник

ПРИЗМА

Так называется многогранник, две грани которого (основания) – равные n – угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а

остальные n- граней (боковые грани) – параллелограммы.

ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПРИЗМЫ

Высота призмы – перпендикуляр, проведенный из точки одного основания к плоскости другого.

Диагональ призмы – отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани.

Диагональное сечение – сечение, которое проходит через какую-нибудь диагональ призмы и боковое ребро.

Поверхность призмы состоит из двух оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из параллелограммов.

ОСНОВНЫЕ ВИДЫ ПРИЗМ

ПИРАМИДА

Так называется многогранник, одна грань которого (основание) – многоугольник, а все остальные грани (боковые) - треугольники, имеющие общую вершину (вершина пирамиды).

ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПИРАМИДЫ

Высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

Диагональное сечение – сечение, проходящее через два не соседних боковых ребра пирамиды.

Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней. Каждая боковая грань – треугольник.

ОСНОВНЫЕ ВИДЫ ПИРАМИД

УПРАЖНЕНИЯ

1. Какие из фигур, изображенных на рисунке, являются призмами и почему?

2. Существует ли треугольная призма, у которой:

а) только две боковые грани - прямоугольники;

б) только две боковые грани перпендикулярны плоскости основания;

в) только одна боковая грань – прямоугольник?

3. ABCDEFKA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ E ₁ F ₁ K ₁  - невыпуклая прямая призма.

4. Верно ли утверждение:

а) основанием наклонной призмы является правильный многоугольник;

б) куб является призмой;

в) если призма наклонная, то ее высота равна длине бокового ребра;

г) высота призмы – отрезок, соединяющий две вершины, не лежащие в одной грани;

д) если сторона основания правильной четырехугольной призмы равна ее высоте, то эта призма куб?

5. Сделайте рисунок наклонной четырехугольной призмы, обозначьте ее и запишите: вершины, основания, боковые ребра, боковые грани, противоположные грани.

6. Среди изображенных тел выберите номера тех, которые являются параллелепипедом.

7. Какое из утверждений является неверным:

а) призма – это многогранник;

б) параллелепипед – это многоугольник;

в) усечённая пирамида - пирамида?

8. Из скольких кубиков с ребром 3 см каждый можно составить куб с ребром 15 см?

10. Верно ли утверждение:

а) прямоугольник может быть основанием наклонного параллелепипеда;

б) наклонный параллелепипед имеет множество плоскостей симметрии;

в) параллелепипед имеет четыре диагонали;

г) существует такой наклонный параллелепипед, у которого четыре грани прямоугольники?

11. Вершинами некоторого многогранника являются центр верхней грани куба, и середины всех сторон нижней его грани. Как называется этот многогранник? Перечислите равные ребра, и укажите какие грани этого многогранника равны между собой.

12. Ответьте на вопросы

а) сколько боковых ребер пирамиды могут быть перпендикулярными к плоскости основания;

б) будет ли пирамида правильной, если ее боковыми гранями являются правильные треугольники?

13. Верно ли утверждение:

а) пирамида всегда будет правильной, если в ее основании лежит правильный многоугольник;

б) высота боковой грани правильной пирамиды – апофема;

в) в любой пирамиде можно провести апофему;

г) тетраэдр – правильный многогранник;

д) наименьшее число ребер, какое может иметь пирамида – шесть;

е) тетраэдр имеет несколько плоскостей симметрии, проходящих через данную вершину.

14. В правильной треугольной пирамиде SABC:

а) укажите угол между боковой гранью SAB и плоскостью основания АВС, для этого постройте линейный угол этих плоскостей;

б) укажите радиус вписанной и описанной окружности основания;

в) вычислите r и R, если АВ=10 см;

г) вычислите длину бокового ребра и высоту, если боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60⁰.

15. Известно, что многогранник, у которого 26 вершин, является призмой. Какой многоугольник лежит в основании этой призмы? Сколько боковых граней имеет эта призма?

16. Может ли пирамида иметь: а) 13 рёбер; б) 14 рёбер; в)13 боковых рёбер? Если такая пирамида существует, то какая она?

17. Может ли призма иметь: а) 15 рёбер; б) 28 рёбер; в) 8 боковых рёбер?

Если эта призма существует, то какая она? Сколько у неё боковых рёбер, вершин?

ПРОЧИТАЙТЕ УСЛОВИЕ ЗАДАЧ И

РАЗБЕРИТЕ ИХ РЕШЕНИЕ

Дата: 2018-12-21, просмотров: 6278.

Материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления пользователям Интернета и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. © 2018 - 2025