Для любых матриц А, В, С, нулевой матрицы О одинакового размера и любых чисел λ и μ справедливы равенства:
1) A + B = B + A;
2) (A + B) + C = A + (B + C);
3) A + O = A;
4) A + (–A) = O;
5) 1·A = A;
6) (λμ)A = λ(μA);
7) (λ + μ)A = λA + μA;
8) λ(A + B) = λA + λB.
Умножение матриц
Произведением матрицы A = (aij) размера m ´ n на матрицу B = (bij) размера n ´ l называется матрица C = A·B = (cij) размера m ´ l, элементы которой cij определяются формулой:
Операция умножения матриц определена только для таких матриц, для которых число столбцов первого сомножителя совпадает с числом строк второго. Заметим, что элемент cij, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы C, равен сумме попарных произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы A и j-го столбца матрицы B:
Пример 3. Даны матрицы Вычислить произведения AB и BA.
Решение. Используя правило умножения, получаем
Найдем по определению элементы матрицы C:
|
В результате получим: .
Перемножим матрицы в другом порядке. По правилу умножения
В результате вычислений получим:
Оба произведения AB и BA определены, но являются матрицами разных размеров, поэтому B ≠ BA.
Свойства операции умножения матриц
Пусть λ – любое число, O – нулевая матрица, А, В, С – произвольные матрицы, для которых определены операции сложения и умножения, записанные в левых частях следующих равенств. Тогда определены операции в правых частях, причем справедливы равенства:
1) (A + B)C = AC + BC;
2) A(B + C) = AB + AC;
3) (AB)C = A(BC);
4) AE = EA = A для любой квадратной матрицы A порядка n и единичной матрицы E того же порядка;
5) AO = OA = O;
6) λ(AB) = (λA)B = A(λB).
Квадратные матрицы A и B одного порядка, для которых AB = BA, называются перестановочными (или коммутирующими).
Пример 4. Рассмотрим квадратные матрицы A и E одного порядка n. По свойству 4 операции умножения они перестановочны. Рассмотрим матрицу λE = diag{λ, λ,… λ}. Тогда по свойствам 6 и 4
A(λE) = λ(AE) = λ(EA) = (λE)A .
Таким образом, матрицы A и λE – перестановочны.
Транспонирование матриц
Если в матрице A заменить строки соответствующими столбцами, то полученная новая матрица AT называется транспонированной по отношению к матрице A. Пусть
тогда транспонированная матрица имеет вид:
Пример 5. Пусть
Тогда
Квадратная матрица порядка n называется симметрической, если
A = AT
У симметрической матрицы элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны:
aij = aji при любых i = 1, 2,… n; j = 1, 2,… n.
Пример 6. Матрица – симметрическая.
Квадратная матрица порядка n называется кососимметрической, если A = – AT
У кососимметрической матрицы элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, имеют противоположные знаки, а все диагональные элементы равны нулю:
aij = – aji , aii = – aii = 0 при любых i = 1, 2,… n; j = 1, 2,… n.
Пример 7. Матрица поэтому A – кососимметрическая матрица.
Дата: 2018-12-21, просмотров: 294.