Статистической гипотезой называют всякую гипотезу, которая относится к законам распределения или параметрам закона распределения случайных величин и которая может быть проверена статистически, т.е. ко результатам выборочных наблюдений.

Статистические гипотезы могут быть отнесены или к распреде­лениям случайных величин, или к их числовым характеристикам.

В первом случае при проверке статистических гипотез приходится решать два вида задач:                                                                                               

- когда проверяются гипотезы о законах распределения случайных величин т.е. проверяют различие (или сходимость) между статистическим распределением и распределением генеральной сово­купности;

- когда проверяется однородность двух (или более) статистических (выборочных) распределений, т.е.  проверяется гипотеза, что оба выборочных распределения  характеризуют одну генеральную со­вокупность.

Во втором случае, - при проверке гипотез относительно число­вых характеристик или параметров законов распределения, -могут решаться следующие задачи

-когда сравниваются средние значения выборочной совокупности и генеральной совокупности (случайно ли расхождение между ними или расхождение существенно);

- когда проверяется гипотеза о равенстве дисперсий выборочной   и   генеральной совокупности;

- когда проверяется гипотеза о равенстве средних значений двух или  более выборочных наблюдений;

- когда проверяется статистическая гипотезе о равенстве двух или  более выборочных дисперсий,

   При проверке статистических гипотез выдвигаются две гипотезы:  

Н_о  - нулевая гипотеза; т.e. такая гипотеза, которая подтверждает выдвинутое предположение, например, что расхождения между характеристиками случайны и Н₁ - альтернативная (противоположная) гипотеза, которая отвергает сделанное предположение, т.е., что расхождения неслучайны, существенны.

Проверка статистических гипотез осуществляется в следующей последовательности [4,15] :

 а) В соответствий с решаемой задачей формулируется критерий R . В общем случае критерий R является функцией выборочных  наблюдений т.е.

                   R = R {Fn ( x₁, x₂, · · · x_n; q )}      

R = R {  ( x_i ; q )}                          ( 5. 1 )

б) По результатам и выборочных наблюдения вычисляется значение критерия R.

в) Вычисленное значение критерия R со значением этого критерия, устанавливаемого в соответствии с выдвинутым предположением.

Рассмотрим геометрическую  интерпретацию  поставленной задачи. Критерий R , являющийся функцией выборочных наблюдений, представляет собой случайную величину, следовательно, он может описан  некоторым законом  распределения (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Плотность вероятности наблюдения велчины R

Обозначим  W - область возможного изменения критерия. Рассмотрим область w , отсекаемую некоторой прямой, при этом значение критерия в этой точке обозначим R _a  , а оставшуюся область - через W - w = W \ w (знак \ означает исключение).

Говорят, что гипотеза Н_о справедлива, если значение статистического критерия R   попадает в область W \ w т.е.

Н_о :  R Є W \ w                       (5.2)

 Если  справедлива гипотеза Н_1, то критерий R попадает в  критическую область  w, т.е.

Н_о :  R Є w                           (5.3)

В связи с тем, что значение критерия R величина случайная, поэтому может оказаться, что R попадает в критическую  область, хотя справедлива гипотеза Н_о и, наоборот, R попадает в область W \ w   , хотя справедлива гипотеза Н_1.

Следовательно, при проверке гипотез может быть совершено два вида ошибок.

Ошибка первого рода возникает в тех случаях, когда справедлива гипотеза Н_о,  но , но критерий R попадает в критическую зону w. Вероятность такой ошибки обозначается через a .

Ошибка второго рода  состоит в том, что справедлива альтернативная  гипотеза Н₁  , но значение критерия R попадает в об­ласть W \ w. Вероятность такой ошибки обозначается через, b.

Вероятность  ошибки первого  рода определяется из соотношения

      Р {R  Є w / Н_о } = a (5.4)

В этом случае величина  a  называется уровнем значимости.  

Вероятность ошибки второго рода определяется по формуле:

Р { R Є W \ w / Н₁} = b     (5.5)

При  проверке гипотез возникает проблема выбора уровня значимости a  

 При уменьшении a вероятность отвергнуть нулевую гипотезу Н_о уменьшается, но при этом растет β , т. е. увеличивается вероятность ошибки второго рода - принять гипотезу, когда она не­верна.

Выбор критической области и представляет собой сущность решения задачи о проверке статистических гипотез.

При решении ряда практических задач одному и тому же уровню значимости a могут соответствовать различные критические области.

Рассмотрим эту задачу на примере t - критерия :

Первый случай. Область больших положительных отклонений (рис. 5.2)

Рис.5.2. Область больших положительных отклонений

Второй случай. Область больших отрицательных отклонений (рис. 5.3).

Рис. 5.3 .Область больших отрицательных отклонений

Третий случай. Двухсторонняя область  отклонений (рис. 5.4).

Рис. 5.4.  Двухсторонняя область отклонений

Критическая область выбирается в соответствии с решаемой задачей. Для выбора критической области в статистике введено понятие мощности критерия. Под мощностью критерия понимают вероятность того, что значение вычисленного критерия попадает в критическую зону, если верна конкурирующая гипотеза. По статистическим данным вычисляется критерий R. Если верна альтернативная гипотеза Н₁, то вычисление значение критерия R попадает в критическую область, т.е.

Р {R  Є w / Н_о } =  g      (5.6)

Величина γ и является характеристикой мощности критерия, γ = 1-β.

При правильном  выборе критической области эта вероятность должна иметь максимальное значение.

Чем больше мощность критерия, тем меньше вероятность совершить ошибку второго рода.

В статистике различают два вида гипотез:

а/ непараметрические гипотезы и критерии. Применение их не

требует знания законов распределения случайных величин. В качестве таких критериев, например, используется  c²  -критерий (Пирсона),  λ - критерий (Колмогорова), W - критерий (Вилкоксона) и т.д. Точность (качество) проверки гипотез с помощью непараметрических критериев всегда ниже по сравнению с параметрическими критериями.

б) параметрические гипотезы и критерии. Они основаны на знании законов распределения случайной величина. Эти критерии, как правило, используются для проверки однородности средних и дисперсий. К ним относятся: t - критерий (Стьюдента), для проварки однородности средних; F - критерий (Фишера) - для про­верки однородности дисперсии двух групп наблюдений; M -критерий (Бартлетта) - для проверки однородности нескольких дисперсий, когда объемы наблюдений различны; G -критерий (Кочрена),

когда объемы выборки одинакова; L-критерий (Неймана-Пирсона) исполь­зуется для проверки однородности нескольких средних.