Проверка однородности (равенства) дисперсий означает провер­ку случайности расхождения сравниваемых характеристик.

a) Проверка однородности дисперсий выборочной и генеральной совокупности

Для решения этой задача может быть использован c² -крите­рий или F критерий.

Проверка гипотез с использованием c²  - критерия. Для этой цели используются неравенство следующего вида:

                (5.19)

когда используется двухсторонний критерий;

                                    (5.20)

когда используется односторонний критерий.

Здесь обозначено: n - число наблюдений;

 - статистическая дисперсия случайной величины  x ;

- дисперсии генеральной совокупности ;

 и  квантили случайной величины  , взятые при уровнях значимости 1-α/2 и α/2 и числе степеней свободы k=n-1.

Рассмотрим следующий пример .

Проверить однородность статистической дисперсия и дисперсии генеральной совокупности , если известно:

n = 170; S2(T) = 10,87; б2(T) = 9,20; α = 0,10 .

По таблицам c² - распределения определяем:

Следовательно, сравниваемые дисперсии S²(T)  и  s ² (T) одно­родны, тo есть расхождение между ними случайно.

В случае использования одностороннего критерия, имеем:

 то есть                  

Следовательно, с уровнен значимости α = 0,10 гипотеза о случайном расхождении дисперсий S²(T) и s ² (T) должна быть отвергнута.

Проверка гипотез с использованием F - критерия. В этой случае используется зависимость:

          (5.21)

Когда применяется двухсторонний критерии;

                (5.22)

когда применяется односторонний критерия.

При использовании формул (6.5) и (6.4) в числителе должна стоять большая дисперсия.

Если окажется, что s ² (T) > S²(T) , то формулы (6.3) и (6.4) принимает вид:

В приведенных формулах  и  значения c² - критерия взятые при  уровнях значимости α/2 и α числе степеней свободы числителя k ₁ = n - 1 и знаменателя ∞.

Рассмотрим пример применения формул.

Дано: n = 170; 1 - α =0,90; S ² ( T ) = 10,87; ²(Т) = 9,3

Вычисляем значения F - критерия                                                                                                                           

Табличное значение F - критерия для  = 0,05; К₁=169 и К₂= ∞ (таблица 10):  (169;  ) = 1,29

Поскольку F = 1,17 <  (169;  ) =1,22 

то при использовании двухстороннего критерия гипотеза о случайности расхождений между б²(Т) и S²(T) не отвергается .

В случае использования одностороннего критерия F = 1,29 > (169;  ) =1,14 . Следовательно, и этом случае гипотезе о случайности расхождений дисперсий отвергается.

Если статистическое значение критерия близко к его теоретическому значению, то нужно. проверять гипотезу с использова­нием как c² -критерия, тек и F - критерия.

б/ Проверка однородности дисперсий выборочных совокупностей

Проверка однородности дисперсий двух выборочных совокупностей. Обычно эта проверка осуществляется с использованием F-  критерия:

F = ³ ( K _1; K ₂ ) - - в случае двухстороннего критерия; (5.23)

 F = ³ ( K _1; K ₂ ) - в случае одностороннего критерия.    (5.24)

В числителе, как уже указывалось, должна находиться большая дисперсия. Если же

³ ,  то F = (K_1;K₂), F = £  (K_1;K₂).

Пример :   .

Проведено наблюдение над двумя группами насосных агрегатов, при этом n₁ = 23   и n₂ = 22  , для которых получены следующие значения наработок отказ:

Проверить однородность дисперсий выборочных совокупностей при доверительной вероятности 1 -   = 0,90.

По таблице 10 при  /2 = 0,05; К₁ = 21 и К₂ = 22, находим:

(21; 22) = 2,06

Вычисляем дисперсионное отношение и сравниваем его с табли­чным:

Следовательно, гипотеза о случайности расхождений между дисперсиями должна быть принята (при такой разнице в дисперсиях это объясняется малым числом наблюдений (испытаний)  n₁ и n₂).

Проверка гипотезы об однородности дисперсий, когда число групп наблюдений более двух. Для этой дела могут быть использованы два вида критериев:

G -  критерий (критерий Кочрена), когда объем наблюдений в группах одинаковы, т.е. n₁ = n₂ = ... = n_m.

Значение G -критерия выделяется по следующей формуле:

      (5.25)

где α - уровень значимости;

m - число групп наблюдена;

k = n-1 - число степеней свободы,

Пример.

 Была проанализирована статистическая информации по 4 насосным станциям о времени восстановления насосных агрегатов, m=4.  Объем выборки в каждой группе статистической информации  составил n =17; при этом:

 = 40;  = 30 ; = 50;  =20.

Проверить однородность дисперсий при α = 0,05 (табли­ца 13 для G - критерия составлены для α = 0,05 и α = 0,01).

В  рассматриваемом случае  max = .

G=  = =0.357 < G0,05 (4; 16) = 0,4366

Следовательно, гипотеза о случайности расхождения между m дисперсиями не отвергается.

Как видим, проверка с помощью G - критерия очень проста, но критерий не очень чувствителен .

М - критерий (критерий Бартлетта) - используется для проверки однородности дисперсий, когда объемы наблюдений в каждой группе различны. Значение М - статистики вычисляется по следующей формуле :

           (5.26)

где     - с суммарное число степеней своды;

- число степеней свободы в j -той группе наблюдений:

 - число наблюдений j -той группе;

 -дисперсия в j - той группе наблюдений.

Вычисленное значение М -критерия. сравнивается с величи­нами ma(α;m;c) и mb(α;m;c)

Здесь С₁ вычисляется по формуле:

         (5.27)

Если вычисленное значение М - критерия меньше m_a(α;m;C₁) для всех значений С₁ , то принимается гипо­теза об однородности дисперсии.

Если ,  то вычисляется значение С₁ .

Для вычисленного значения С1 и значений α и m по таблицам определяются величины ma и mb .

Если m_a(α;m;c1) ≤ M то гипотеза отвергается, если M < m_в(α;m;С₁), то гипотеза принимается.

При проверке однородности дисперсий следует отдавать пред­почтение критерию Бартлетта, т.к. он более мощный, чем G - критерий.

Если G -критерий дает отрицательный ответ об однород­ности дисперсий, то необходимо проверить гипотезу с использова­нием M - критерия.

Пример.

Проведено исследование характеристики прочности стальных труб с толщиной стенки d. Результаты исследований приведены в таблице 5.1.

Таблица 5.1

d j - толщина стенки, мм	1	2	3	4	5
nj - объем наблюдений	9	8	5	6	4
sвj - , кг/ мм2	68,2	68,2	64	62,5	61,8
( )	10,95	11,82	7,18	5.58	6

 Однородность дисперсий S _j ( s _{в )} при уровне значимости α = 0,05 проверяется по М -критерию.  

Вычисляются значения величин, входящих в формулу для М - критерия

По таблицам для М - критерия, (приложение 2 табл. 14) находим : m_a(α;m;c₁) и  m_в(α;m;c₁)

В этих таблицах С₁ меняется от 0 до 5 .

При C₁ = 0 m_a = m_в = 9,49,

C₁ = 5 m_a = m_в = 11,02,

т.е. для всех значений С₁ вычисленное значение М -критерия

М = 2,55 < m_в =0,49 ¸ 11,02,