1. Описание системы.

       Рассмотрим систему, состоящую из n элементов, каждый из которых работает, отказывает, сразу же после отказа  восстанавливается, после восстанов­ления возвращается на свое место и включается в работу, снова отказывает и так далее. Состояние элементов в каждый момент времени задается двоичным вектором  

       Состояние системы задается функцией

       Как и выше, мы предполагаем, что функция f удовлетво­ряет условию  :

       из  следует .

       Пусть  - множество исправных состояний системы,

        множество неисправных состояний системы.

       Пусть  l = (l ₁ , l _{2, ..,} l_{i -1,} 0 , l_{i +1, ...} l_n ).

       Определим вектор  так:

       то есть вектор  получается из l  при отказе i-го элемента.

       Назовем состояние  граничным неисправным состояни­ем, если существует  и номер i такой, что  . Другими словами, в граничное неисправное состояние мы можем попасть из  при отказе одного элемента. Множе­ство граничных неисправных состояний обозначим . Определим условие при котором отказывают элементы в системе.

       Пусть в момент t система  находится в состоянии . Допустим,  что вероятность отказа i -го элемента на  интервале  равна

          (3.129)

и не зависит от поведения процесса   l  (x) момента t, а вероятность появления более одного отказа на (t, t+h) есть  ( h )  , то есть   исключаются группо­вые отказы. Условие (3.129)выполняется с достаточной точностью если сами элементы являются достаточно сложными устройствами, так как тут действует предельная теорема Григелиониса ( см. § 3 гл. П) .

       Если же элементы - простые, то они обычно входят в системы большими симметричными группами, поток отказов от этой группы по той же теореме Григелиониса будет пуассоновским (условие постоянства)  и поэтому опять условие (3.129)должно выполняться.   Правда, с течением времени система может изнашиваться ста­реть и интенсивности  будут тогда зависеть от време­ни - . Но обычно интенсивности с течением времени меняются медленно и на не очень большом участке времени их можно считать постоянными.  

       Отметим , если  l _i =1 , то есть і -тый элемент в состоянии l неисправен.

       Обозначим  и допустим, что для любого  , иначе система становится безотказной. После отказа элемент мгновенно поступает  на восстановление. Количество ремонтных единиц -    r .  Дис­циплина восстановления элементов  может  быть произволь­ной - не все ремонтные единицы могут быть доступны для данного элемента (например, ремонтные рабочие могут иметь разную специа­лизацию) , при ремонте среди элементов может быть установлен прио­ритет, восстановление элементов может прерываться из-за поступ­ления более важного отказавшего элемента и т.п.  Но ставятся условия:

       а)    каждый элемент имеет хотя бы одну доступную для него ре­монтную единицу и, если в момент отказа элемента имеется хотя бы одна свободная и доступная для него ремонтная единица, то он мгновенно поступает на одну из них;

       б)    ремонт элемента может прерываться при поступлении других отказавших элементов, однако суммарное время ремонта  имеет всегда одно и то же распределение

,    (3.130)

       где i - номер элемента, j - номер ремонтной единицы, на которую поступил отказавший элемент (здесь мы учитываем, что ремонтные рабочие могут иметь разную квалификацию).

       Допустим, что .  В начальный момент система полностью исправна, то есть .

       Задача заключается  в нахождении распределения момента пер­вого отказа системы    .

       Если   интервалы времени  ремонта будут распределены экспоненциально, то есть

    , (3.131)

то процесс  будет Марковским.   Однако, как показывают статистические дан­ные, время ремонта почти никогда не имеет показательного рас­пределения. При допущении   (3.131) сильно искажаются  характеристики надежности. С другой сто­роны,   в реальных условиях время ремонта, обычно, очень мало по сравнению с интервалом между соседними отказами элементов. Поэтому естественно исследовать асимптоти­ческое поведение величины , когда время ремонта в не­котором смысле стремится к нулю, и, как следствие, получить приближенные формулы для характеристик надежности.  Авторамим [10, 23 ] доказано,    что если время ремонта элементов в среднем мало по сравнению со временем между соседними отказа­ми элементов, то для оценки вероятности безотказной работы си­стемы можно пользоваться приближенной формулой:

,     (3.132)

       где    .