Допустим, что элементы в системе соединены последователь­но, если отказ любого элемента вызывает отказ системы. Подчеркнем, что это - последовательное соединение в смысле надежности оно не означает (для трубопроводной сети), что реальное соединение этих элементов в схеме будет последовательным. Напри­мер, элементы в схеме могут быть соединены параллельно, но, если отказ этих элементов есть прекращение подачи воды, то в смысле надежности они будут соединены последовательно. Это важное за­мечание относится и ко всем дальнейшим пунктам.

       Определим для последовательного соединения основные характеристики надежности системы. Система работоспособна в момент t только тогда,  когда  работоспособны  все элементы, то есть:

=

=Р₁ ( t ) P ₂ ( t ) .... P_n ( t )  (3.33)        

       Вероятность отказа системы

    (3.34)

(ради краткости не будем писать аргумент t).

       Если , то можно пользоваться прибли­женной формулой

(3.35)

в которой,  абсолютная ошибка

        Интенсивность отказа системы в этом случае будет равна:

    (3.36)

то есть интенсивность отказа системы равна сумме интенсивнос­тей отказа элементов

            (3.37)

Отсюда следует, что, если время жизни каждого элемента - экспоненциальное, то и время жизни системы распределено по показательному закону.

       Обозначим:

- среднее время жизни i-го элемента;

 - среднее время жизни системы.

       В общем случае время  Т  не выражается явно как сокупность t_i  , однако в случае, когда все времена жизни - экспо­ненциальные, из (3.37) следует:

(3.38)

       Из равенства (3.36) видно также, что, если все элементы ста­реющие, то есть  - монотонно возрастает, то и сама система является стареющей, так как тоже будет мо­нотонно возрастать.

       Можно показать, что в этом случае среднее время жизни си­стемы  [10,23]:

 (3.39)

       Таким образом, если для  стареющих элементов рассчитыва­ется среднее время жизни по формуле (3.38), то при этом зани­жается  истинное среднее время . При большом  n  это занижение может быть значительным.  

        Если элементы стареют не очень интенсивно, то величина будет лишь немного меньше единицы и в этом слу­чае оценка (3.39) будет достаточно точной.  

Параллельное соединение

        Элементы в системе соединены параллельно в смысле надежности, если отказ системы наступает тогда и только тогда, когда отказывают все элементы. Отсюда сразу получаем:

,

(3.40)  

       Параллельное соединение элементов назначается  обычно в тех случаях, когда несколько элементов выполняют одну и ту же функцию. Для ее выполнения достаточно одного элемента, поэтому остальные элементы играют роль резервных, а само параллельное соединение часто называют горячим резервом. Понятно, что в та­кой ситуации элементы чаще всего бывают одинаковыми, то есть:

и

(3.41)

       Если  - стареющее распределение, то и F (t) - стареющее распределение [10 ] .

       Среднее время жизни системы

(3.42 )

вычисляется в явном виде очень редко. Например, для случая g(t)= 1-  

      (3.43 )

       C другой стороны, при большом  n , как видно из (3.42 ), среднее время в основном зависит от поведения функции распре­деления при больших  t . Но поведение “хвостов” распре­делений мы обычно знаем очень плохо. В этих условиях желатель­но иметь для среднего  Т  пусть очень грубую, но простую оценку. Такую оценку можно получить.

       Пусть распределение  g(t) - стареющее, тогда справедливо неравенство

       Теперь предположим, что функция надежности элемента р(t) обладает следующим свойством - касательная к графику p(t), проведенная в точке t = Т, лежит ниже этого графика. Тог­да справедливо неравенство:

       Если   распределение p ( t )- стареющее, то тогда [10, 23]

Неравенство очень удобно. Если   дан график  р(t) то мы берем на оси ординат две (а и b) точки  (см. рис. 3.3 ):

и ,

0

Рис. 3.3. Интерпретация интервала  оценки среднего времени Т стареющего элемента

проводим через них горизонтальные прямые до пересечения с гра­фиком р(t) , получаем две точки на оси абсцисс  . Если мы уверены , что элемент стареющий, и, если проверили, что касательные к графику  р(t) на участке   лежат ниже графика, то справедливо неравенство .

       Отметим ещё, что на практике часто встречается такое соединение элементов - система из  n  одинаковых элементов исправна тогда и только тогда, когда исправно не менее  m  элемен­тов. Для этого сличая

,  

       При  m = n получается последовательное соединение, а при m = 1 - параллельное. Для этого случая также можно получить оценку типа .