1 . Случай мгновенного восстановления.

Предположим, что элемент, начавший работать в момент t = 0 ,

в некоторый момент  t_j = t _j отказывает.  Ранее приводились оценки надежности элемента только до  мо­мента t_j = t _j, будущее нас не интересовало. На практике, если элемент является достаточно сложным или дорогим устройством, его вос­станавливают (при условии, что  это возможно). Если неисправное изделие ремонтировать не целесообразно, его заменяют на новое. Обычно в теории надежности [2, 3, 23]  эти два типа восстановления элементов не различают и называют одним словом - восстановление.

Итак, в момент  t₁= t ₁, начинается восстановление элемента. Пред­положим , что время восстановления мало по сравнению со временем жизни. Тогда можно им пренебречь и считать, что восстановление - мгновенное. После восстановления элемент на­чинает работать и через времяt ₂  снова отказывает. В момент отказа t₂ =t ₁ +t ₂,  происходит второе восстанов­ление и так далее (см. рис. 3.1).

Рис. 3.1. Интерпритация процесса жизни и мгновенного восстановления элемента

Обычно вводится допущение, что периоды жизни t ₁ , t ₂. · · · t _n  независимы и одинаково распределены, для которых справедливы условие:

Р {t _k < t }= F ( t ), M t _k = T , D t _k = , f ( t )= ( t )

       Если восстановление заключается в замене, то это условие вы­полняется. В случае ремонта это условие справедливо сравнитель­но редко (например, когда ремонт состоит в том, что устраняются видимые неисправности). Чтобы учесть зависимость t _k   от   предыдущих t ₁ или t ₂ · · · t _n и т.д. , надо знать структуру элемента и надежность его частей, и рассматривать элемент как систему.

       2.  Процесс восстановления.

Процесс восстановления можно рассматривать как поток случайных точек 0 < t₁ < t₂  < · · · t_n < · · ·.  Раздел математики, изучаю­щий этот процесс, называется теорией восстановления. В этой тео­рии изучаются или оцениваются различные характеристики процесса, которые в теории надежности называются характеристиками надежности.

       Введем обозначение: F _n ( t ) = P {t _n < t} , которая определяет рекуррентно,

F _{n +1} ( t ) = ( t - x ) d F ( t ) , F ₁ ( t ) = F ( t ), f _n ( t ) = F ^'( t ).

       3. Пуассоновский поток.

       Пусть F ( t ) = 1-  , то есть время жизни элемента имеет показательное распределение. В этом случае процесс восстановления называется пуассоновским потоком. 

В этом случае  f ( t ) = l                  .

Так как f _{n +1} ( t ) = ( t - ) f ( x ) d x , то интегрируя последовательно, находим

т.е. момент t_n  имеет гамма-распределение с параметром n .

    Интегрируя f _n ( t ), получим :

откуда

.     (3.17)

Это основная формула в теории пуассоновского потока.

Плотность восстановления

.

Следовательно, для пуассоновского потока плотность восстановления совпадает с интенсивностью отказа. Далее:

Найдем распределение остаточного времени жизни

,

т.е. остаточное время жизни элемента имеет такое распределение, как и полное время жизни.