Соответствие между всеми возможными значениями случайной величины и их вероятностями называется законом распределения данной случайной величины.

       Как правило  в качестве закона распределения случайной величины используется функция распределения ( интегральный закон распределения) случайной величины: Функцией распределения случайной величины  Х называют функцию F(x), определяющую для каждого значения х, вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньше х, т.е. F(x) = P {X < x}.
Иногда функцию F(x) называют интегральной функцией распределения.
Функция распределения обладает следующими свойствами:
1. Значение функции распределения принадлежит отрезку [0,1]: 0 ≤ F(x) ≤ 1.
2. Функции распределения есть неубывающая функция.
3. Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале (а, b), равна приращению функции распределения на этом интервале:
                          Р{а < X < b} = F(b) – F(а). ( 1.3.)
4. Если все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (а, b), то F(x) = 0 при х ≤ а; F(x) = 1 при х ≥ b.

5.Справедливы следующие предельные отношения:

На практике функции распределения непрерывных случайных величин именуют как законы распределения. Подобное допущение не искажает существенно точность при оценке случайных событий.

       В теории надежности водоснабжения в качестве основной непрерывной случайной величины рассматривается время t (время наработки на отказ, время восстановления и т.д.). Поэтому в дальнейшем все рассуждения о непрерывных случайных событиях будем проводить с учетом тождества X º t и условия

F ( t ) = P { T  }     ( 1.4)

 Следовательно, P { T }=1- F ( t ) ,  поскольку рассматриваются противоположные события, которые образуются полную группу событий.
  Для решения ряда задач необходимо знать теоретичес­кие законы распределения случайных величин.

 Рассмотрим две  группы законов распределения случайных величин:

- для дискретных случайных величин;

- для непрерывных случайных величин.

1.2.1.  Законы распределения дискретных случайных величин

 Для решения ряда задач необходимо знать теоретичес­кие законы распределения случайных величин.

       Наиболее часто применяются следующие законы распределения дискретных величин:

       I. Биноминальное распределение

       Это распределение возникает в случае, если:

       а) при испытаниях возможно два исхода: появление и не появление события;

       б) испытания проводятся объемом   n,  установленном заранее;

       в) при каждом испытании вероятность появления интере­сующего нас события остается постоянной.

       Биноминальное распределение описывает распределение вероятностей  - вероятностей появления ровно  х  событий в испытаниях объема  n с вероятностью р появления собы­тия в каждом испытании.

       Интересующая нас вероятность появление ровно  х  событий в испытаниях объемом n определяется по формуле:

1.      (1.5)

       Здесь величины  n   и  p  являются параметрами закона распределения.

       Переменные величины, определяющие значения искомой вероятности, называются параметрами этого распределения. 

        Числовые характеристики биномиального распреде­ления (точное определение которых будет приведено ниже в разделе 1.3)  и их связь с параметрами распределения могут быть представленны в виде:

       - математическое ожидание представляем собой число событий, возникающих при многократном повторении испытаний

                (1.6)

       - дисперсия

  (1.7)

        - коэффициент вариаций

      (1.8)

       - коэффициент ассиметрии

(1.9)

       - коэффициент эксцесса

(1.10)

       Отметим, что для нормального распределения и .

       Часто необходимо знать  статистические значения вели­чия . Значение  можно оценить по формуле:  

          (1.11)

       где х -   количество интервесующих нас  исходов испытаний;

             n-    общее число   испытаний.

       Математическое ожидание этой оценки

       Таким образом, статистическое значение вероятности , определенное по формуле (1.11), является несмещенной оценкой  р;

      (1.12)

       Следовательно,

               (1.13)

       Если объем наблюдений  n  увеличивается , то биномиальное распределение стремится к нормальному с параметрами;

       Функция распределения для биномиального закона

  (1.14)

       Пример.

       Определить вероятность того, что в контролируемой партии оборудования будет обнаружено число бракованных штук более двух но менее или равно 4, для случая, когда:

;     

Таблица 1.1.

Данные к примеру

0	0,0008	0,0008
1	0,0068	0,0076
2	0,0278	0,0354
3	0,0716	0,1070
4	0,1304	0,2374
5	0,1789	0,4163

       Следовательно, интересующая нас вероятность будет равна:

       Биноминальное  распределение применяется для апроксимации модели событий, возникающих:

       а). При испытаниях элементов без замены. Распределение ве­роятностей числа вышедших из строя элементов подчиняется биномиальному распределению при условии, что условия проведения опыт постоянны;

       б). При контроле качества изготовления  оборудования (деталей) выборками  объемом n  с возвращением.

Обобщением биномиального распределения, является полиномиальное распределение.

       2. Полиноминальное  распределение применяется для апроксимации модели событий, когда  количество исходов испытаний будет более двух (например, деталь по результатам испытаний может быть отнесена к одной из групп очень высокого, высокого, среднего качества и негодная).

       В этом случае:

(1.15)

       где k - количество исходов;

       3.Распределение Пуассона.

Это распределение нашо широкое применение в технике. Оно возникает в том случае, если вероятность p появления со­бытия при каждом испытании мала, а объем испытаний велик. Часто это распределение называют распределением редких событий. Этому распределению подчиняется количество неисправностей (отказов) в заданных равных интервалах времени, число бракованных изделий в контролируемых партиях. 

Распределение Пуассона имеет вид:

                                         ;                                                               (1.16)

где а - параметр распределения.

Распределение Пуассона является однопараметрическим. Числовые характеристики распределения (подробнее их определения приводятся в разделе 1.3):

- среднее значение

                                         ;                                                                           (1.17)

- дисперсия

                                         ;                                        (1.18)

     - коэффициент вариации

                                         ;                                                                              (1.19)

- коэффициент асимметрии

                                         ;                                                                    (1.20)

- коэффициент эксцесса

                                         ;                                                              (1.21)

При увеличении параметра a распределение Пуассона стремится к нормальному. Если а>20 , то распределение Пуассона заменяют нормальным. Распределение Пуассона часто исполь­зуемся вместо   биномиального распределения. Если в каждом испытании , то биномиальное распределение заменяется распределением Пуассона, т.е.

                                   .                                                     (1.22)

       4. Распределение Паскаля

При  испытаниях или планировании эксперимента   может возникнуть задача  получения заданного числа событий  k   на случайном отрезке времени х _i .   

Распределение Паскаля представляет собой распределение вероятнос­тей длительности испытаний до получения определенного числа интересующих нас исходов, если вероятность этих исходов при каждой испытании равна р.

Распределение Паскаля является двухпараметрическим и имеет вид:

                                   ,                                            (1.23)

где х - число повторений испытаний или длительность проведения испытаний, ;

k - количество исходов, до достижении которых испытания будут прекращены;

p - вероятность интересующего нас исходе в каждом испы­тании, .