Определим механическую энергию элементарного участка стержня. Она состоит из кинетической и потенциальной энергии. Установим формулу для определения потенциальной энергии деформации. Воспользуемся аналогией с деформированной пружиной. Сила упругости пружины: F = kx, сила, приводящая к деформации участка стержня F = s S = E e S = ESdu / dx. В первой формуле х – абсолютное удлинение пружины, во второй абсолютным удлинением участка является, как было сказано раньше, величина du. Соответственно жесткости пружины k соответствует величина ES / dx. Так как потенциальная энергия деформированной пружины W п = kx 2 /2, то соответственно потенциальная энергия деформированного участка равна W п = ES ( du )2/2 dx. Умножив и числитель, и знаменатель правой части последнего равенства на dx , получим выражение для потенциальной энергии деформированного участка: 
. Производная du / dx в нашем случае является частной производной смещения по координате, поэтому в последнее равенство следует писать 
, в итоге получим:
(6.11)
Кинетическая энергия участка стержня, по которому распространяется продольная волна, определяется по очевидной формуле:
(6.12)
где r Sdx - масса участка стержня, 
- частная производная смещения участка по времени, т.е. скорость участка (не путать со скоростью распространения волны). Взяв частные производные смещения (6.2) по координате и по времени, получим: 
, 
. Подставив их в (6.11) и (6.12) и использовав (6.10), придем в итоге к выражению для механической энергии участка, по которому распространяется волна:
W = W п + W к = 
(6.13)
Из последней формулы ясно, что энергия механической волны в одном и том же месте зависит от времени, как квадрат косинуса, т.е. в какой то момент времени максимальна, а через четверть периода волны становится равной нулю. То же самое можно сказать отдельно о кинетической и потенциальной энергии. Это совсем не так, как механическая энергия шарика, колеблющегося на пружине, которая остается постоянной. Причем в один момент времени кинетическая энергия шарика достигает максимума, при этом потенциальная становится равной нулю и наоборот.
Если разделить энергию волны (6.13) на объем, в котором она заключена, получим плотность энергии волны:
y = 
(6.14)
где 
- объем участка стержня, в котором заключена энергия. Среднее значение квадрата косинуса за период равно 1/2 , поэтому можно говорить о средней плотности энергии механической волны:
y ср = 
(6.15)
Вопросы для самостоятельной работы
К главе 1
1. Объясните, почему из определения скорости следует, что вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории.
2. Что получится, если умножить вектор на число: большее единицы, меньшее единицы, отрицательное, ноль? Объясните смысл введения единичного вектора скорости.
3. Найдите разность единичных векторов скорости Δе на рис. 1.3. К чему она стремится по модулю и по направлению при бесконечном уменьшении промежутка времени Δ t?
4. Как определить основание равнобедренного треугольника, зная длину боковой стороны и угол при вершине этого треугольника?
5. Производная модуля скорости – это векторная или скалярная величина? Чему равна производная модуля скорости точки, движущейся равномерно по окружности?
6. Чему равна производная единичного вектора скорости точки, движущейся равномерно по окружности?
7. Как по отношению к траектории движения точки направлены векторы ее тангенциального и нормального ускорений (рис.1.4)?
К главе 2
8. Если вектор с равен векторному произведению вектора а на вектор b, то как выразить проекции вектора с через проекции векторов а и b?
9. Вектор с равен векторному произведению вектора а на вектор b. Последние два вектора, находясь в плоскости рисунка, выходят из одной точки, причем вектор а направлен вверх, а вектор b - вправо. Как по отношению к плоскости рисунка направлен вектор с?
10. Как можно выразить радиус-вектор точки А через вектор ρ и чему равна производная по времени вектора ОО1 ?
11. Какие свойства предела и в каком месте использованы при выводе выражения для модуля скорости точки А ?
12. Как записывается векторное произведение, если один из перемножаемых векторов является суммой двух, трех и т.д. векторов, и где это применяется в данной главе?
13. Объясните применение формулы “бац минус цаб” для получения нормального ускорения точки А в формуле (2.4).
14. Используя рисунки 1.4 и 2.2 и правила векторного умножения векторов объясните, почему формула (2.4) эквивалентна формуле (1.3б).
К главе 3
15. Чем отличается вектор импульса тела от вектора скорости тела?
16. Следствием каких законов является закон изменения импульса?
17. Почему можно заменить тело системой материальных точек и почему эта система не распадается в процессе движения?
18. Перечислите по порядку все математические операции , применяемые в процессе вывода формулы (3.6).
19. Объясните, почему из формулы (3.6) следует, что центр масс движется с ускорением свободного падения.
20. Как иначе можно назвать проекции радиус-вектора точки на оси координат?
21. Докажите математически, что центр масс двух любых материальных точек находится на отрезке, соединяющем эти точки.
22. Перечислите все принципиальные отличия скалярного произведения двух векторов от их векторного произведения.
23. Как приблизительно определить работу по формуле (3.9), если траектория точки вычерчена на миллиметровке в масштабе, и при необходимости , для каждой точки траектории можно построить вектор силы в необходимом масштабе. Как вы понимаете масштаб для вектора силы?
24. Что такое дифференциал функции, дифференциал аргумента и как они связаны? Где и как это применяется в доказательстве теоремы о кинетической энергии?
25. Чему равно скалярное произведение вектора на самого себя и где это применяется в доказательстве теоремы о кинетической энергии?
26. Найдите частные производные функции u = x 2 yz + sin (2 x +3 y +4 z ).
27. Объясните с помощью рисунка 3.5, почему у вектора силы тяжести такие проекции.
28. Чему равен определенный интеграл полного дифференциала функции нескольких переменных и чем отличается в этом смысле полный дифференциал от дифференциала функции одного переменного?
29. Почему из (3.10) и (3.12) следует закон сохранения механической энергии (3.13)?
30. С помощью формулы (3.14) и правила векторного умножения векторов объясните рисунок 3.7.
К главе 4
31. Как направлен вектор момента импульса на рисунке 4.1 и вектора моментов силы на рисунке 4.2?
32. Как направлен вектор разности радиус-векторов материальных точек m 1 и m 2 на рисунке 4.3, и чему равен модуль этого вектора?
33. Объясните направление осей τ , ρ и z на рисунке 4.4.
34. Если предположить, что сила F не действует, то как будут направлены силы реакции подшипников и фланца на ось на рисунке 4.4?
35. Как изменится сила реакции фланца N 2 после начала действия силы F (см. рис. 4.4)?
36. Почему первая сумма, получившаяся после преобразования левой части уравнения (4.4), является суммой векторов, перпендикулярных оси вращения?
37*. Покажите, что первая сумма, получившаяся после преобразования левой части уравнения (4.4), есть вращающийся вектор. Как он направлен по отношению к телу и как направлена его производная?
38*. Что происходит с векторами сил реакции подшипников на ось при вращении тела на рисунке 4.4?
39. Какие из шести векторных произведений, получившихся после преобразования момента силы F . параллельны оси вращения, перпендикулярны ей и равны нулю?
40. Как обобщить формулу (4.7) на случай действия двух, трех и т.д вращающих сил?
41. Объясните разницу в выводе формул (4.10а) и (4.10б).
42. Объясните, чему препятствует сила трения покоя, действующая на цилиндр на наклонной плоскости (рис. 4.7).
43. Чему равно плечо силы тяжести, действующей на цилиндр (рис.4.7)?
44. Объясните, по какой формуле из главы 2 и как получено выражение для углового ускорения цилиндра относительно мгновенной оси вращения (рис.4.7).
45. Объясните, откуда получено выражение для силы трения скольжения на цилиндр (рис.4.7).
46. Проверьте правильность формулы (4.13) путем непосредственного перемножения матриц.
47. Докажите, что при вращении произвольного тела вокруг любой из его главных осей инерции, вектора момента импульса и угловой скорости будут коллинеарны.
48. Как направлен вектор dL гироскопа и почему?
49. Докажите, используя рисунок 4.9, определение вектора угловой скорости и правило векторного перемножения векторов, справедливость формулы 4.14.
50. Объясните, как должны быть направлены радиус-векторы каждой из пары сил, действующих на гироскоп, и почему момент этой пары сил направлен именно так, как это показано на рисунке 4.9?
51. Объясните, как направлен вектор момента силы тяжести, действующей на гироскоп?
К главе 5
52. Проверьте подстановкой, что функция (5.3) является решением дифференциального уравнения (5.2).
53. Объясните с помощью рисунков 5.2 и 5.3, как меняется скорость и координата шарика в течение одного периода колебаний.
54. Если шарик подвешен на пружине, которая работает только на растяжение (в недеформированном состоянии витки пружины прижаты вплотную друг к другу), то какими факторами ограничивается величина начального смещения х0 .
55. Сравните дифференциальные уравнения (5.2) и (5.4). Какая функция будет являться решением уравнения (5.4)?
56. Определите знак проекций силы Стокса, силы упругости, скорости, ускорения, знак координаты колеблющегося шарика в какой – нибудь момент времени.
57. Если шарик сместили от положения равновесия на х0 , а потом отпустили, включив секундомер, то каковы будут величины А0 и φ0 в формуле (5.7) ?
58*. Куда направлен вектор равнодействующей сил тяжести и Архимеда, действующих на колеблющийся с трением шарик? Объясните, откуда берется часть силы упругости, уравновешивающая эту равнодействующую, когда шарик проходит верхнюю точку. Считайте, что пружина может работать только на растяжение (в недеформированном состоянии витки пружины прижаты вплотную друг к другу).
59. В каких случаях и в какой момент времени смещение шарика будет равняться А0 (см. формулу 5.7) ?
60. В чем измеряется коэффициент затухания β ?
61. Объясните, как из рисунка 5.8 получить формулу (5.13) ?
62. Определите, какой вектор на векторной диаграмме (рис. 5.8) соответствует координате, скорости и ускорению шарика и чему равны максимальные значения этих величин. В какой последовательности удобнее складывать эти три вектора и почему?
63. Определите наименьшее значение коэффициента затухания β , при котором резонанс не возникает. Примите m=100 кг, k=10000Н/м.
К главе 5
64. Какие тригонометрические формулы и как использованы в параграфе 6.2 ?
65. Проверьте подстановкой, что функция (6.2) является решением уравнения Лапласа (6.9).
66*. Продольная волна в стержне начинает распространяться после горизонтального удара справа по незакрепленному концу стержня. Если предположить, что затухание в стержне отсутствует, то как распределится часть энергии удара, перешедшая в энергию волны, в течение времени, необходимого для достижения волной закрепленного конца?
67. В конце главы 6 сравниваются: механическая энергия волны и колеблющегося шарика. Что при этом подразумевается под потенциальной энергией шарика и почему?
Литература
1. Д.В.Сивухин. Общий курс физики. Том 1. Механика – Москва, Наука, 1990.
2. И.В.Савельев. Курс общей физики. Том 1. Механика. Молекулярная физика – Москва, Наука, 1977.
3. А.А. Детлаф, Б.М. Яворский. Курс физики – Москва, Высшая школа, 1989.
Словарь терминов
1. Материальная точка – это твердое тело, размеры и форма которого в рассматриваемой задаче несущественны. Поэтому всю массу тела приписывают какой-нибудь одной его точке, обычно центру масс, и в дальнейшем рассматривают только эту точку.
2. Вектор – это значение векторной физической величины, например силы, выраженное в виде направленного отрезка определенной длины. Длина вектора пропорциональна в данном случае числу ньютонов, а направление указывает направление этой силы.
3. Система отсчета – это часы (секундомер) и декартова система координат, связанная с выбранным телом.
4. Радиус-вектор точки – это вектор, начало которого совпадает с началом координат, а конец – с самой точкой.
5. Координаты точки – это проекции на оси ее радиус-вектора. Координаты точки, равно как и радиус-вектор, однозначно определяют положение точки в пространстве.
6. Проекция вектора на ось – это длина отрезка на оси, взятая со знаком плюс или минус в зависимости от угла между вектором и осью. При этом концы данного отрезка совпадают с основаниями перпендикуляров, опущенных на ось из концов вектора.
7. Перемещение точки – это вектор, соединяющий начальное и конечное положение точки.
8. Скорость точки – вектор, касательный к траектории точки, длина которого пропорциональна величине скорости, а направление совпадает с направлением движения точки.
9. Потенциальная энергия – это энергия, обусловленная либо взаимодействием частей тела между собой, например: потенциальная энергия деформированной пружины или деформированного тела, либо взаимодействием тела с другими телами, например: потенциальная энергия тела в поле силы тяжести Земли. Вообще, энергия тела или системы – это возможность для этого тела или системы при определенных условиях совершить работу.
10. Механическое напряжение, действующее в сечении образца (в нашем случае стержня) – это отношение силы, приложенной к данному сечению, к площади сечения.
11. Модуль Юнга – это коэффициент пропорциональности между механическим напряжением в образце и относительной деформацией образца.
Дата: 2018-11-18, просмотров: 262.
