В стальном круглом стержне

 Рассчитаем теоретически скорость продольной волны в тонком стальном стержне. Для этого нам потребуются некоторые сведения из теории упругости. Закон Гука:   

  s = E e                               (6.7)

где s - механическое напряжение действующее в образце под действием некоторой внешней силы F, Н/м², s = F / S, где S – площадь сечения образца, м², E – модуль упругости (модуль Юнга) материала, из которого изготовлен образец, Н/м², e - относительная деформация образца под действием внешней силы F, e = D L / L ₀, где L ₀ – первоначальная длина образца, D L – абсолютное удлинение ( укорочение) образца. e - величина безразмерная (м/м).

           Рассмотрим стержень, в котором распространяется продольная волна в направлении от его свободного конца к закрепленному, т.е. в положительном направлении оси Х (рис.6.3). По аналогии со

         Рис.6.3.Распространение продольной волны в круглом стальном стержне. Длина стержня l много больше его диаметра d (l > > d).

 связанными маятниками сечения стержня в процессе распространения волны начнут вовлекаться в колебательное движение относительно                   

                Рис. 6.4. Элементарный участок стержня в процессе распространения волны. u ₁ и u ₂ – смещения левого и правого сечений участка, F ₁ и F ₂ – силы, действующие на рассматриваемый участок со стороны соседних участков.

своего положения равновесия. Поскольку волна продольная, колебания сечений стержня будут происходить вдоль оси Х . Выделим элементарный участок стержня длиной dx (рис. 6.4).

Применим к этому участку стержня второй закон Ньютона в проекции на ось Х: , , где - плотность стали, S – площадь сечения стержня, . Ускорение участка стержня – это вторая производная смещения участка по времени (частная производная, так как смещение есть функция двух переменных: времени t и координаты х): . Силы  и  выразим через закон Гука:  , .

В итоге получим: , где d e = e ₂ - e ₁ - дифференциал относительной деформации участка стержня (в первом приближении дифференциал равен приращению). Дифференциал функции, как известно из курса высшей математики, равен производной функции, умноженной на дифференциал аргумента: . В нашем случае относительная деформация равна , т.к. du = u ₂ - u ₁ – это абсолютное удлинение участка, а dx – первоначальная длина участка. Поэтому . Всё это подставим в выражение для второго закона Ньютона, получим: . Сокращая на площадь сечения участка и его первоначальную длину, запишем предыдущее выражение в следующем виде:

                                                           (6.8)

Сравним (6.8) с известным из теории волн дифференциальным уравнением плоской волны распространяющейся вдоль оси Х (уравнением Лапласа):

                          .                          (6.9)

Получим, что скорость распространения продольной волны в тонком стержне равна:         (6.10)                                  

Так как модуль Юнга стали равен , а плотность стали  то скорость продольной волны в стержне равна  . Кстати, решением уравнения Лапласа (6.9) является уравнение плоской волны (6.2) .