Многогранники и многогранные поверхности широко распространены в природе и используются в технике, строительстве и архитектуре.

Всевозможные кристаллы горных пород, кристаллические решетки металлов и химических соединений представляют собой примеры многогранников, созданных природой. Гранные поверхности используются в творчестве человека с древнейших времен: египетские пирамиды, крепости, башни и различные культовые сооружения. В современной технике также широко используются многогранники: токарные резцы – в машиностроении, оптические линзы – в технической оптике и пр. Но особенно широко гранные поверхности применяются в наши дни в конструкциях жилых зданий и промышленных сооружений: крыши, мостовые опоры, многогранные оболочки и перекрытия.

Под многогранником следует понимать пространственную геометрическую фигуру, ограниченную со всех сторон плоскостями (гранями). Плоскости, ограничивающие фигуру в пространстве, пересекаются между собой по прямым линиям – ребрам многогранника. Ребра, пересекающиеся между собой, образуют вершины многогранников. В каждой вершине встречаются минимум три ребра. Число ребер многогранника, сходящихся в одной вершине, практически не ограничено и зависит от числа плоскостей-граней, проходящих через эту вершину.

Многогранники называются выпуклыми, если при продолжении плоскости любой грани весь многогранник расположен по одну сторону от этой плоскости. Для всех выпуклых многогранников справедлива теорема Эйлера: «Во всяком  выпуклом многограннике число его вершин (В), плюс число граней (Г), минус число ребер (Р) равно двум»:

В + Г – Р = 2.

Формула Эйлера используется для проверки правильности построения изображений многогранников на ортогональном чертеже.

Правильные многогранники – это выпуклые многогранники, все грани которых равны. В геометрии известны пять правильных многогранников, называемых Платоновыми телами. Свое название они получили в честь древнегреческого философа Платона, который более двух тысяч лет назад описал эти многогранники и их свойства.

Гексаэдр, или куб – правильный шестигранник, ограничен шестью одинаковыми квадратами (рис. 115, а).

Тетраэдр – правильный четырехгранник, ограничен четырьмя одинаковыми гранями – правильными треугольниками (это правильная треугольная пирамида) (рис. 115, б).

Октаэдр, или четырехгранная бипирамида – правильный восьмигранник, все грани которого правильные треугольники (рис. 115, в).

Пентадодекаэдр – правильный двенадцатигранник, каждая грань которого правильный пятиугольник (рис. 115, д).

Икосаэдр – правильный двадцатигранник, каждая грань – правильный треугольник. (рис. 115, г).

            а                                                                 б

Рис. 115. Правильные многогранники:

а – гексаэдр; б – тетраэдр; в – октаэдр; г – икосаэдр; д – додекаэдр

Среди выпуклых многогранников особое место занимают пирамиды и призмы.

Пирамида – геометрическая пространственная фигура, поверхность которой образована множеством плоскостей, пересекающихся в одной точке, называемой вершиной пирамиды. Плоскости, образующие поверхность пирамиды, пересекаются между собой по прямым линиям (ребрам пирамиды), проходящим непременно через вершину. В общем случае поверхность пирамиды состоит из двух полостей, поскольку плоскости – грани пирамиды продолжаются в обе стороны от вершины. На практике под пирамидой обычно понимают многогранник, ограниченный поверхностью пирамиды, усеченной плоскостью, не проходящей через вершину, это сечение называется основанием пирамиды. Если пирамида усечена двумя плоскостями, то она носит название усеченной пирамиды. Основание пирамиды – многоугольник, имеющий число сторон, равное числу боковых граней пирамиды. Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник (равные стороны и углы при вершинах), боковые грани – равнобедренные треугольники и высота проходит через центр тяжести основания (рис. 116, а). В противном случае пирамида будет неправильной (рис. 116, б). 

а                                                           б

Рис. 116. Пирамида:

а – правильная; б – неправильная

Если вершину пирамиды удалить в бесконечность, то ребра пирамиды станут параллельны и поверхность пирамиды преобра­зуется в поверхность призмы. Часть поверхности призмы, ограниченная двумя основаниями (плоскими сечениями), образует призму-многогранник.

Призма считается прямой, если основание ее перпендикулярно боковым ребрам (рис. 117, а). Если основание прямой призмы – правильный многоугольник, призма называется правильной. Если сечение призмы, образующее основание, не перпендикулярно боковым ребрам, то получается наклонная призма (рис.117, б).

Призма с основаниями в виде параллелограммов называется параллелепипедом. Прямой параллелепипед, у которого основаниями являются прямоугольники, называется прямоугольным.

               а                                                         б

Рис. 117. Призма:

а – прямая; б – наклонная