Задачи для контрольной работы

Задание №1

Решить первую смешанную задачу для волнового уравнения на отрезке.


utt


= uxx , 0 < x < 1,


0 < t < ¥,


1.1 u(x,0) = x(x - 1), ut (x,0) = 0,

u(0, t) = 0, u(1, t) = 0.

 


utt


= uxx , 0 < x < 3 / 2,


0 < t < ¥,


1.2 u(x,0) = x(x - 3 / 2), ut (x,0) = 0,

u(0, t) = 0, u(3 / 2, t) = 0.

 


utt


= 9uxx , 0 < x < 3,


0 < t < ¥,


1.3 u(x,0) = x(x - 3), ut (x,0) = 0,

u(0, t) = 0, u(3, t) = 0.

 


utt


= 4uxx , 0 < x < 2,


0 < t < ¥,


1.4 u(x,0) = x(x - 2), ut (x,0) = 0,

u(0, t) = 0, u(2, t) = 0.

 


utt


= 1/ 4uxx , 0 < x < 1/ 2,


0 < t < ¥,


1.5 u(x,0) = x(x - 1/ 2), ut (x,0) = 0,

u(0, t) = 0, u(1/ 2, t) = 0.

 


utt


= 4uxx , 0 < x < 1,


0 < t < ¥,


1.6 u(x,0) = x(x - 1), ut (x,0) = 0,

u(0, t) = 0, u(1, t) = 0.

 


utt


= 4 / 9uxx , 0 < x < 2 / 3,


0 < t < ¥,


1.7 u(x,0) = x(x - 2 / 3), ut (x,0) = 0,

u(0, t) = 0, u(2 / 3, t) = 0.

 


utt


= 4uxx , 0 < x < 1/ 2,


0 < t < ¥,


1.8 u(x,0) = x(x - 1/ 2), ut (x,0) = 0,

u(0, t) = 0, u(1/ 2, t) = 0.


 

 


utt


= uxx , 0 < x < 2,


0 < t < ¥,


1.9 u(x,0) = x(x - 2), ut (x,0) = 0,

u(0, t) = 0, u(2, t) = 0.

 


utt


= 16uxx , 0 < x < 3,


0 < t < ¥,


1.10 u(x,0) = x(x - 3), ut (x,0) = 0,

u(0, t) = 0, u(3, t) = 0.

 


utt


= 16uxx , 0 < x < 2,


0 < t < ¥,


1.11 u(x,0) = x(x - 2), ut (x,0) = 0,

u(0, t) = 0, u(2, t) = 0.

 


utt


= 9uxx , 0 < x < 1,


0 < t < ¥,


1.12 u(x,0) = x(x - 1), ut (x,0) = 0,

u(0, t) = 0, u(1, t) = 0.

 


utt


= 1/ 9uxx , 0 < x < 1/ 2,


0 < t < ¥,


1.13 u(x,0) = x(x - 1/ 2), ut (x,0) = 0,

u(0, t) = 0, u(1/ 2, t) = 0.

 


utt


= uxx , 0 < x < 3,


0 < t < ¥,


1.14 u(x,0) = x(x - 3), ut (x,0) = 0,

u(0, t) = 0, u(3, t) = 0.

 


utt


= 16uxx , 0 < x < 1,


0 < t < ¥,


1.15 u(x,0) = x(x - 1), ut (x,0) = 0,

u(0, t) = 0, u(1, t) = 0.

 


utt


= 9uxx , 0 < x < 3 / 2,


0 < t < ¥,


1.16 u(x,0) = x(x3 / 2), ut (x,0) = 0,

u(0, t) = 0, u(3 / 2, t) = 0.

 


utt


= 4uxx , 0 < x < 3,


0 < t < ¥,


1.17 u(x,0) = x(x - 3), ut (x,0) = 0,

u(0, t) = 0, u(3, t) = 0.


 

 


utt


= 1/ 4uxx , 0 < x < 2,


0 < t < ¥,


1.18 u(x,0) = x(x - 2), ut (x,0) = 0,

u(0, t) = 0, u(2, t) = 0.

 


utt


= 1/ 4uxx , 0 < x < 1,


0 < t < ¥,


1.19 u(x,0) = x(x - 1), ut (x,0) = 0,

u(0, t) = 0, u(1, t) = 0.

 


utt


= uxx , 0 < x < 1/ 2,


0 < t < ¥,


1.20 u(x,0) = x(x - 1/ 2), ut (x,0) = 0,

u(0, t) = 0, u(1/ 2, t) = 0.

 


utt


= 1/ 9uxx , 0 < x < 2,


0 < t < ¥,


1.21 u(x,0) = x(x - 2), ut (x,0) = 0,

u(0, t) = 0, u(2, t) = 0.

 


utt


= 9 /1uxx , 0 < x < 3 / 2,


0 < t < ¥,


1.22 u(x,0) = x(x - 3 / 2), ut (x,0) = 0,

u(0, t) = 0, u(3 / 2, t) = 0.

 


utt


= 1/ 9uxx , 0 < x < 1,


0 < t < ¥,


1.23 u(x,0) = x(x - 1), ut (x,0) = 0,

u(0, t) = 0, u(1, t) = 0.

 


utt


= 9 /1uxx , 0 < x < 3,


0 < t < ¥,


1.24 u(x,0) = x(x - 3), ut (x,0) = 0,

u(0, t) = 0, u(3, t) = 0.

 


utt


= 9uxx , 0 < x < 1/ 2,


0 < t < ¥,


1.25 u(x,0) = x(x - 1/ 2), ut (x,0) = 0,

u(0, t) = 0, u(1/ 2, t) = 0.

 


utt


= 9uxx , 0 < x < 2,


0 < t < ¥,


1.26 u(x,0) = x(x - 2), ut (x,0) = 0,

u(0, t) = 0, u(2, t) = 0.


 

 


utt


= 1/ 4uxx , 0 < x < 3,


0 < t < ¥,


1.27 u(x,0) = x(x - 3), ut (x,0) = 0,

u(0, t) = 0, u(3, t) = 0.

 


utt


= 1/ 9uxx , 0 < x < 1,


0 < t < ¥,


1.28 u(x,0) = x(x - 1), ut (x,0) = 0,

u(0, t) = 0, u(1, t) = 0.

 


utt


= 4 / 9uxx , 0 < x < 3 / 2,


0 < t < ¥,


1.29 u(x,0) = x(x - 3 / 2), ut (x,0) = 0,

u(0, t) = 0, u(3 / 2, t) = 0.

 


utt


= 1/ 9uxx , 0 < x < 2,


0 < t < ¥,


1.30 u(x,0) = x(x - 2), ut (x,0) = 0,

u(0, t) = 0, u(2, t) = 0.

 


Задание №2

Найти решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности на отрезке:

 


 2.1 u¢t


= 16u¢x¢x , 0 < x < 3,


t > 0,


( ) = ìx 2 / 3, 0 £ x £ 3 / 2


u x,0


í

î3 - x, 3 / 2 < x £ 3


u(0, t) = u(3, t) = 0

 


2.2 u¢t


= u¢x¢x , 0 < x < 2,


t > 0,


( ) = ìx 2 , 0 £ x £ 1


u x,0


í

î2 - x, 1 < x £ 2


u(0, t) = u(2, t) = 0

 


2.3 u¢t


= 25u¢x¢x , 0 < x < 5,


t > 0,


 

 

( ) = ì2x2 / 5, 0 £ x £ 5 / 2


u x,0


í

î5 - x, 5 / 2 < x £ 5


u(0, t) = u(5, t) = 0

 


2.4 u¢t


= 16u¢x¢x , 0 < x < 4,


t > 0,


( ) = ìx 2 / 2, 0 £ x £ 2


u x,0


í

î4 - x, 2 < x £ 4


u(0, t) = u(4, t) = 0

 


2.5 u¢t


= 4u¢x¢x , 0 < x < 5,


t > 0,


( ) = ì2x2 / 3, 0 £ x £ 5 / 2


u x,0


í

î5 - x, 5 / 2 < x £ 5


u(0, t) = u(5, t) = 0

 


2.6 u¢t


= u¢x¢x , 0 < x < 3,


t > 0,


( ) = ì2x2 / 3, 0 £ x £ 3 / 2


u x,0


í

î3 - x, 3 / 2 < x £ 3


u(0, t) = u(3, t) = 0

 


2.7 u¢t


= 25u¢x¢x , 0 < x < 8,


t > 0,


( ) = ìx 2 / 4, 0 £ x £ 4


u x,0


í

î8 - x, 4 < x £ 8


u(0, t) = u(8, t) = 0

 


2.8 u¢t


= 9u¢x¢x , 0 < x < 2,


t > 0,


( ) = ìx 2 , 0 £ x £ 1


u x,0


í

î2 - x, 1 < x £ 2


u(0, t) = u(2, t) = 0

 


2.9 u¢t


= 16u¢x¢x , 0 < x < 1,


t > 0,


( ) = ì2x2 , 0 £ x £ 1/ 2


u x,0


í

î1 - x, 1/ 2 < x £ 1


u(0, t) = u(1, t) = 0


 

 


2.10 u¢t


= 4u¢x¢x , 0 < x < 4,


t > 0,


( ) = ìx 2 / 2, 0 £ x £ 2


u x,0


í

î4 - x, 2 < x £ 4


u(0, t) = u(4, t) = 0

 


2.11 u¢t


= 9u¢x¢x , 0 < x < 10,


t > 0,


( ) = ìx 2 / 5, 0 £ x £ 5


u x,0


í

î10 - x, 5 < x £ 10


u(0, t) = u(10, t) = 0

 


2.12 u¢t


= 25u¢x¢x , 0 < x < 9,


t > 0,


( ) = ìx 2 / 9, 0 £ x £ 9 / 2


u x,0


í

î9 - x, 9 / 2 < x £ 9


u(0, t) = u(9, t) = 0

 


2.13 u¢t


= 9u¢x¢x , 0 < x < 3,


t > 0,


( ) = ì2x2 / 3, 0 £ x £ 3 / 2


u x,0


í

î3 - x, 3 / 2 < x £ 3


u(0, t) = u(3, t) = 0

 


2.14 u¢t


= u¢x¢x , 0 < x < 5,


t > 0,


( ) = ì2x2 / 5, 0 £ x £ 5 / 2


u x,0


í

î5 - x, 5 / 2 < x £ 5


u(0, t) = u(5, t) = 0

 


2.15 u¢t


= 4u¢x¢x , 0 < x < 7,


t > 0,


( ) = ì2x2 / 7, 0 £ x £ 7 / 2


u x,0


í

î7 - x, 7 / 2 < x £ 7


u(0, t) = u(7, t) = 0

 


2.16 u¢t


= 25u¢x¢x , 0 < x < 1,


t > 0,


( ) = ì2x2 , 0 £ x £ 1/ 2


u x,0


í

î1 - x, 1/ 2 < x £ 1


u(0, t) = u(1, t) = 0


 


2.17 u¢t


= 9u¢x¢x , 0 < x < 4,


t > 0,


( ) = ìx 2 / 2, 0 £ x £ 2


u x,0


í

î4 - x, 2 < x £ 4


u(0, t) = u(4, t) = 0

 


2.18 u¢t


= u¢x¢x , 0 < x < 10,


t > 0,


( ) = ìx 2 / 5, 0 £ x £ 5


u x,0


í

î10 - x, 5 < x £ 10


u(0, t) = u(10, t) = 0

 


2.19 u¢t


= 4u¢x¢x , 0 < x < 2,


t > 0,


( ) = ìx 2 , 0 £ x £ 1


u x,0


í

î2 - x, 1 < x £ 2


u(0, t) = u(2, t) = 0

 


2.20 u¢t


= 16u¢x¢x , 0 < x < 8,


t > 0,


( ) = ìx 2 / 4, 0 £ x £ 4


u x,0


í

î8 - x, 4 < x £ 8


u(0, t) = u(8, t) = 0

 


2.21 u¢t


= u¢x¢x , 0 < x < 1,


t > 0,


( ) = ì2x2 , 0 £ x £ 3 / 2


u x,0


í

î3 - x, 3 / 2 < x £ 3


u(0, t) = u(1, t) = 0

 


2.22 u¢t


= 25u¢x¢x , 0 < x < 4,


t > 0,


( ) = ìx 2 / 2, 0 £ x £ 2


u x,0


í

î4 - x, 2 < x £ 4


u(0, t) = u(4, t) = 0

 


2.23 u¢t


= 16u¢x¢x , 0 < x < 16,


t > 0,


 

 

( ) = ìx 2 / 3, 0 £ x £ 3


u x,0


í

î6 - x, 3 < x £ 6


u(0, t) = u(6, t) = 0

 


2.24 u¢t


= 4u¢x¢x , 0 < x < 1,


t > 0,


( ) = ì2x2 , 0 £ x £ 1/ 2


u x,0


í

î1 - x, 1/ 2 < x £ 1


u(0, t) = u(1, t) = 0

 


2.25 u¢t


= 9u¢x¢x , 0 < x < 5,


t > 0,


( ) = ì2x2 / 5, 0 £ x £ 5 / 2


u x,0


í

î5 - x, 5 / 2 < x £ 5


u(0, t) = u(5, t) = 0

 


2.26 u¢t


= 25u¢x¢x , 0 < x < 6,


t > 0,


( ) = ìx 2 / 3, 0 £ x £ 3


u x,0


í

î6 - x, 3 < x £ 6


u(0, t) = u(6, t) = 0

 


2.27 u¢t


= 16u¢x¢x , 0 < x < 12,


t > 0,


( ) = ìx 2 / 6, 0 £ x £ 6


u x,0


í

î12 - x, 6 < x £ 12


u(0, t) = u(12, t) = 0

 


2.28 u¢t


= 16u¢x¢x , 0 < x < 2,


t > 0,


( ) = ìx 2 , 0 £ x £ 1


u x,0


í

î2 - x, 1 < x £ 2


u(0, t) = u(2, t) = 0

 


2.29 u¢t


= 4u¢x¢x , 0 < x < 6,


t > 0,


( ) = ìx 2 / 3, 0 £ x £ 3


u x,0


í

î6 - x, 3 < x £ 6


u(0, t) = u(6, t) = 0


 

 


2.30 u¢t


= 36u¢x¢x , 0 < x < 3,


t > 0,


( ) = ìx 2 / 3, 0 £ x £ 3 / 2


u x,0


í

î3 - x, 3 / 2 < x £ 3


u(0, t) = u(3, t) = 0

 


СОДЕРЖАНИЕ

 

1. Процесс математического моделирования……………………….....2

2. Математическая модель механических колебаний………………...2

3. Решение уравнения свободных колебаний………………………….3

4. Решение уравнения вынужденных колебаний……………………...5

5. Дифференциальные уравнения в частных производных…………..7

6. Дифференциальные уравнения второго порядка,

линейные относительно старших производных……………………….8

7. Классификация дифференциальных уравнений

второго порядка…………………………………………………………9

8. Приведение уравнений к каноническому виду……………………11

Самостоятельная работа………………………………………………..13

Контрольная работа……………………………………………………..15

9. Деформации и напряжения…………………………………………17

10. Уравнение поперечных колебаний стержня……………………….18

11. Уравнение поперечных колебаний струны………………………..21

12. Общее решение однородного волнового уравнения……………..24

13. Физический смысл общего решения однородного

волнового уравнения……………………………………………………25

14. Начальные и граничные условия………………………………...25

15. Решение однородного волнового уравнения

для неограниченной струны……………………………………………27

16. Распространение волн отклонения

по неограниченной струне……………………………………………...28

17. Распространение волн импульса

по неограниченной струне……………………………………………...30

18. Решение однородного волнового уравнения

для полуограниченнойструны…………………………………………32

19. Решение волнового уравнения

для ограниченной струны………………………………………………35

20. Стоячие волны……………………………………………………….38

21. Колебания струны в среде с сопротивлением……………………..40

22. Уравнение продольных колебаний стержня………………………42

23. Уравнение крутильных колебаний вала…………………………...45

24. Крутильные колебания вала с диском……………………………..48

25. Уравнение теплопроводности стержня…………………………….54

26. Начальные и граничные условия

для уравнения теплопроводности……………………………………...57

27. Задача о собственных значениях…………………………………..59

28. Ортогональность собственных функций………………………….62

29. Решение однородного уравнения теплопроводности……………63

30. Основные понятия метода сеток…………………………………..68

31. Аппроксимация производных……………………………………..68

32. Аппроксимация дифференциальных уравнений…………………70

33. Задачи………………………………………………………………..72

34. Оценки температуры нагрева промывочной жидкости

за счет тепла трения при бурении……………………………………..82

35. Задачи для контрольной работы…………………………………90

 

 



















































































































































































































































































































































Дата: 2018-09-13, просмотров: 60.