Начальные и граничные условия

Для уравнения теплопроводности

 

Если к уравнению (25.1) добавить одно начальное условие и два граничных, то задача будет иметь единственное решение. Начальное условие:

означает, что при t = 0 температура во всех точках стержня задается функцией . Если стержень конечен и располагается на участке (О, l) оси Ох, то граничные условия задаются на концах стержня х = 0, х = l, которые могут контактировать с окружающей средой. Когда на поверхности контакта температура стержня U и окружающей среды  одинакова, теплообмен между ними исключен. Эксперименты показывают, что при  за время dt через малую поверхность контакта S из стержня в окружающую среду проходит количество тепла:

                                   (26.1)

где h— коэффициент теплообмена, . Формулу (26.1) называют законом Ньютона. На разных концах стержня могут быть различные значения h и , т. к. разные концы стержня могут контактировать с различными внешними средами. Пусть на левом конце эти значения равны , , а на правом — , . На левом конце выходящий из стержня в окружающую среду тепловой поток направлен в отри-цательную сторону, поэтому:

                               (1)

    (25.3), (1) →  или

                                                  (2)

На правом конце           (3)

    (25.3), (3) →  или

                                                     (4)

Таким образом, мы получили следующие граничные условия:

                           (26.2)

где — температуры внешних сред соответственно около левого и правого конца. Перечислим некоторые граничные условия для правого конца.

а) На конце х = l происходит теплообмен с окружающей сре-дой. В этом случае граничное условие имеет вид:

.

б) На конце х = lподдерживается температура . Соответ-ствующее граничное условие таково:

Это равенство можно получить также из условия а), в котором все члены надо разделить на  и положить , что соответствует идеальному теплообмену.

в) Конец х = l теплоизолирован. Граничное условие запишется в виде:

U x(l, t) = 0.

Оно получается из а) при h l = 0, что означает отсутствие тепло-обмена.

г) Через конец стержня х = l протекает тепловой поток Q(t). Граничное условие имеет вид:

Обоснуем это равенство. По определению тепловым потоком называется величина — количество тепловой энергии, протекающей через поверхность S за единицу времени.

    (25.3) →                                      (5)

    (5) →                                               (6)

Введем обозначение:                                      (7)

    (6),(7) →

Разделим обе части уравнений (26.2) на k и введем обозначения:

                       (26.3)

Получим:

 

Задача о собственных значениях

 

Теорема

Уравнение

                                       (27.1)

с однородными граничными условиями:

           (27.2)

                                        (27.3)

имеет нетривиальное решение только тогда, когда

                                             (27.4)

где v n (n = 1, 2, ...) — один из корней уравнения:

                                (27.5)

Задача (27.1) — (27.3) имеет следующее решение:

    ,                  (27.6)

где

                                         (27.7)

А n— произвольная постоянная.

Доказательство.

                                                                  (1)

                                                               (2)

                                                                  (3)

                                                                          (4)

Ищем нетривиальное решение, т. е. решение вида:

                                                                           (5)

Сначала покажем, что решение уравнения (1) возможно только при v > 0, т. е. что случаи v< 0 и v = 0 исключаются.

Предположим, что v< 0.                                                       (6)

(6) → можно ввести величину .                             (7)

(7) →                                                                               (8)

                                                                            (9)

    (9),(1) →                                         (10)

    (10) →                                     (11)

    (11) →                                  (12)

        (13)

Решим эту систему относительно С1 и С2. Для этого вычислим определитель системы:

(14)

(14), (4), (8) → , т. е.                                        (15)

(15) → однородная система (13) имеет только тривиальное ре-шение:

    С1= 0, С2 = 0.                                                      (16)

    (16), (11) →

Это противоречит условию (5).

Таким образом, случай (6) отпадает.

Предположим, что v = 0.                                               (17)

    (1) →                                                              (18)

    (18) →                                                          (19)

    (19) →                                                   (20)

                            (21)

 

Решим эту систему относительно С1, С2. Для этого вычислим определитель:

                                      (22)

    (4), (22) → D< 0, т.е.                               (23)

(23) → однородная система (21) имеет только тривиальное решение:

    С1 = 0, С2 = 0.                                                      (24)

    (24),(19) → у(х) = 0

Это противоречит условию (5).

Таким образом, случай (17) отпадает.

Вывод: нетривиальное решение уравнения (1) возможно только при v > 0.

Пусть в (1) v> 0                                                         (25)

(25) → можно ввести величину                             (26)

(26) →                                                                               (27)

                                                                                 (28)

(28), (1) →                                               (29)

(29) →                                                  (30)

где А, — постоянные интегрирования.

Потребуем, чтобы функция (30) удовлетворяла условиям (2) и (3).

(30) →                                                   (31)

(30), (31), (2) →

или        или                                              (32)

(30), (31), (3) →

или                                                               (33)

или                                                                 (34)

    (34), (32) →                                      (35)

 (26), (35) → получаем формулу (27.5).

Решим уравнение (35) относительно  графическим способом. Для этого нарисуем графики левой и правой частей:

Будем иметь:

 

Рис. 25.2

 

Совпадение графиков, т. е. соблюдение равенства (35), проис-ходит в бесконечном множестве точек пересечения. Абсциссы этих точек дают нам корни уравнения (35):

                                                                       (36)

где n— номер корня, n =1, 2, ... .

    (36), (26) → (37)

    (37), (31) →

где  находятся из системы.

    (32), (37) →                      (27.8)

    (33), (37) →                   (27.9)

Теорема доказана.

Значения (27.4), при которых уравнение (27.1) имеет нетри-виальные решения, называются собственными значениями, а соответ-ствующие им решения (27.6) — собственными функциями.

Дата: 2018-09-13, просмотров: 37.