Решение волнового уравнения для ограниченной струны

 

В следующих теоремах показывается, как решается волновое уравнение в случае колебаний струны или стержня конечной длины.

Теорема 1

Уравнение

                         (19.1)

с начальными условиями:

                  (19.2)

и однородными граничными условиями:

                         (19.3)

имеет следующее решение:

                        (19.4)

в котором

(19.5)

                        (19.6)

                     (19.7)

                   (19.8)

Доказательство.

Дано                                                                   (1)

где

                                                                          (2)

                                                                         (3)

                                                             (4)

                                                                              (5)

Найдем функцию U(x, t), удовлетворяющую условиям (1) — (5). С интервала продолжим функции U(x, t), f(x, t) нечетным образом. Как следует из теории рядов Фурье, эти функции можно разложить в ряд по синусам.

                                                          (6)

Получилась формула (19.4):

                                                         (7)

(6) →  удовлетворяет условиям (4), а также (19.3).

(7) →

Получилась формула (19.6).

(1), (6), (7) →

или

                                                      (8)

Решив это уравнение методом вариации произвольных посто-янных, получим:

(8) → (9)

Получилась формула (19.5).

Для нахождения , , применим условия (2) и (3).

(6), (2) →                                     (10)

(9) →                                                                     (11)

(10), (11) →  отсюда

                                                      (12)

Получилась формула (19.7).

(6) →                                             (13)

(13), (3) →                                    (14)

(9) →      (15)

(15) →                                                            (16)

(14),(16) →                                   (17)

 (17) → или

Получилась формула (19.8).

Теорема доказана.

Теорема 2

Уравнение

                         (19.10)

с начальными условиями:

               (19.11)

и неоднородными граничными условиями:

            (19.12)

имеет следующее решение:

где

а функция V(x, t) находится из уравнения:

с начальными условиями:

и однородными граничными условиями:

Доказательство.

Даны выражения (19.10) — (19.12).

Будем искать решение уравнения (19.10) в виде:

                                                  (1)

где в качестве W возьмем функцию:

                                              (2)

(2) →                                     (3)

(19.10), (1) →

или

                                                        (4)

(2) →

(4) →

(1) →                                               (5)

(19.11) → начальные ус-ловия для V(x, t).

(5) →

(19.12), (3) →

Теорема доказана.

Из теоремы 2 следует, что функция V(x, t) удовлетворяет усло-виям теоремы 1, поэтому V(x, t) находится по формуле (19.4).

 

Стоячие волны

 

В теореме 1 пункта 19 приведено решение уравнения колебаний струны длины l с закрепленными концами в виде ряда:

                               (20.1)

Выясним физический смысл членов ряда (20.1):

              (20.2)

Если зафиксировать время t, то графиком функции U n(x, t) будет синусоида, амплитуда которой равна T n(t). Эта синусоида пересекает интервал  в точках . Как мы видим, х k не зависят от времени. Таким образом с течением времени амплитуда будет меняться, но точки пересечения с осью Ох останутся непо-движными. Это означает, что мы имеем график стоячей волны, назы-ваемой также гармоникой. Ее неподвижные точки называют узлами стоячей волны. Точки, расположенные посередине между узлами, яв-ляются точками экстремума; они называются пучностями стоячей волны. Итак, колебания струны представляют собой сумму или су-перпозицию стоячих волн.

Рассмотрим свободные колебания струны, то есть положим в уравнении

(19.1)                                                                       (1)

По формуле (19.5) найдем амплитуды T n(t), входящие в (20.2).

(1),(19.6) →                                                            (2)

(2), (19.5) →                              (3)

Положим                                            (4)

(3), (4) →                                        (5)

(20.2), (5) →                    (6)

Из (6) получаем частоту колебаний n-ой стоячей волны:

n= 1, 2, 3, … .                        (20.3)

Колебания струны мы воспринимаем в виде звука. Каждая сто-ячая волна (20.2) издает звук своей частоты (20.3). Звук, издаваемый стоячей волной, называется простым тоном. Формула (20.1) показы-вает, что звук струны, издаваемый колебанием U(x, t), является нало-жением простых тонов. Можно сказать и так: звук струны разлагается на простые тона. Выделить простые тона можно экспериментально при помощи резонаторов. Повышение частоты колебаний мы вос-принимаем как повышение высоты тона. Тон с самой низкой час-тотой, равной:

 (20.3)

называется основным тоном струны. Так как а = (11.9) , то:

Эта формула показывает, что тон звука тем выше, чем сильнее натяжение и чем короче и легче струна. Тона с более высокими час-тотами , , ... называются обертонами. Они придают окраску, тембр основному тону.

 

Дата: 2018-09-13, просмотров: 40.