Колебания струны в среде с сопротивлением

 

Пусть струна длины l с закрепленными концами                 (1)

колеблется в вязкой среде.                                                                     (2)

Требуетcя решить уравнение колебаний (11.1) такой струны при произвольных начальных условиях

(1) →

(2) → внешней силой, действующей на струну, оказывается сила сопротивления среды.

Будем считать, что плотность силы сопротивления пропорцио-нальна скорости сечений струны                                     (3)

где k— коэффициент, пропорциональный вязкости.

(11.2),(3) →                                                           (4)

Введем обозначение                                                          (5)

 (4),(5) →                                                                         (6)

(11.1),(6) →

Итак, требуется решить следующую задачу: найти решение ура-внения:

                        (21.1)

с дополнительными условиями:

                                    (21.2)

                                    (21.3)

                        (21.4)

Теорема

Если

                                        (21.5)

(то есть, при малой вязкости) задача (21.1) — (21.4) имеет следующее решение:

    (21.6)

где

 (21.7)

n = 1, 2, … .      (21.8)

Доказательство.

Решение задачи (21.1) — (21.4) будем искать в виде суммы стоя-чих волн:

                                                           (1)

где Tn(t) - амплитуда стоячих волн.

(1) →условия (21.4) выполняются.

(21.1),(1) →

Отсюда  (n = 1, 2, … .)                         (2)

Характеристическое уравнение

имеет корни                                                        (3)

(21.5) →  при n =1, 2, ... .                                      (4)

(4) → мы можем ввести обозначение           (5)

(5), (3) →                                                                     (6)

 (2),(6) →                                      (7)

При , поэтому Tn(t) → 0. Таким образом, ампли-туды Tn(t) стоячих волн затухают.

 (1),(7) →                   (8)

     (9)

(8), (21.2) →  отсюда

(9), (21.3) →  отсюда

или

Теорема доказана.

Уравнение продольных колебаний стержня

 

Если стержень растянуть или сжать вдоль продольной оси, а затем отпустить, то он будет совершать продольные колебания. Мы будем считать, что:

• напряжения, возникающие во время колебаний, подчиняются закону Гука . Это условие выполняется при неболь-ших деформациях;

• поперечные сечения во время колебаний остаются плоскими и параллельными друг другу. Это условие выполняется, когда попереч-ные размеры стержня невелики по сравнению с его длиной.

Направим ось Ох вдоль стержня. Выделим мысленно некоторое поперечное сечение, то есть сечение, перпендикулярное оси Ох. Пусть, когда стержень в покое и к нему не приложены никакие усилия, это сечение имеет абсциссу х. Можно сказать, что х— это номер или имя, которое мы дали нашему сечению. Когда в стержне происходят продольные колебания, колеблется и это сечение, сме-щаясь с течением времени то в одну, то в другую сторону вдоль оси Ох. Величину смещения обозначим через U.

Теорема

Продольные колебания однородного стержня описываются ура-внением:

                        (22.1)

где U(x, t) — продольное смещение в момент времени t поперечного сечения, абсцисса которого была х в состоянии покоя,

                    (22.2)

Е— модуль Юнга, — объемная плотность, Р(х, t) — внешняя сила, приходящаяся на единицу объема и направленная вдоль стержня.

Доказательство.

Наша цель — получить уравнение движения  для каждого малого элемента стержня. Выделим мысленно кусочек стержня (х, х + dx), площадь поперечного сечения которого S. Его масса равна

                              (22.3).

где — объемная плотность. Если через U обозначить смещение этого кусочка в направлении оси Ох, то ускорение в этом направ-лении будет равно:

                                   (22.4)

Теперь остается вычислить силу F в х-направлении, которая вызывает ускоренное движение кусочка. Пусть под действием сосед-них участков наш кусочек к моменту времени t удлинился на dU (рис.22.1). По формуле (9.6) продольная сила, действующая в сечении х, равна:

                               (22.5)

 

 

Рис. 22.1

 

В этот же момент времени в сечении с номером x + dx сила немного отличается от F(x, t) и равна:

Из (22.5) получаем приращение силы при переходе от сечения х к сечению x + dx, при t = const:

поэтому

                (22.6)

Пусть кроме этих внутренних сил на стержень действует внеш-няя продольная сила с плотностью Р(х, t) (сила на единицу объема). Спроектируем все силы на ось Ох и найдем суммарную силу, дей-ствующую на наш кусочек (рис. 22.1):

или, если сюда подставить (22.6),

                                  (22.7)

Комбинируя равенства (22.3), (22.4), (22.7), получим:

или, после сокращения на Sdx :

Если E, S одинаковы по всей длине, то:

Введя обозначения  

получим:

Теорема доказана.

Чтобы определить движение реального стержня, то есть найти единственное решение уравнения движения (22.1), нужно указать, в каких механических условиях находится стержень. К этим условиям относятся начальные и граничные условия. В качестве начальных условий обычно берут начальные смещения  сечений стержня и начальные скорости этих сечений

Если стержень ограничен и располагается на участке , то граничными условиями служат условия на концах стержня. Рассмот-рим примеры граничных условий.

1. Концы стержня закреплены .

2. Левый конец закреплен, на правый действует сила F(t):

                              (22.8)

В самом деле, равенство (22.5) дает F(x, t) = ESUx. Подставив сюда координату правого конца х = l, получим условие (22.8) на этом конце, в котором F(t) = F(l, t).

3. Левый конец закреплен, правый свободен:

                            (22.9)

так как на правом конце F(l, t) = 0, поэтому из (22.8) вытекает (22.9).

 

Дата: 2018-09-13, просмотров: 125.