Крутильные колебания вала с диском

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Пусть один конец вала х = 0 закреплен, а на другой конец х = I насажен массивный диск, момент инерции которого равен J₁. В начальный момент диск закручен на малый угол и отпускается без начальной скорости. Найдем (х, t) — угол поворота сечений вала.

Рис. 24.1

Решение.

Прежде всего составим два начальных и два граничных условия и решим затем уравнение (23.1).

Конец вала х = 0 неподвижен, поэтому (0, t) = 0. (1)

Это первое граничное условие.

Начальная угловая скорость всех сечений равна нулю

(2)

При t = 0 конец вала х = l закручен на угол , так что

(3)

Равенства (2) и (3) задают начальные условия. Вследствие того, что нижний конец вала закручен, в сечениях действует сила сдвига. Найдем ее.

Возьмем сечение S(x) и на нем бесконечно малый участок dS, располагающийся на расстоянии r от оси вала. Тогда

(23.2) → (4)

есть сила сдвига, действующая на участок dS, поэтому сила, действу-ющая на все сечение S(x) равна:

(5)

Введем обозначение (6)

полярный статический момент сечения S(x).

(5), (6) → или

(7)

Будем считать, что поперечные сечения вала одинаковы,S(х) = S, тогда:

(6) → . (8)

Будем также считать, что при t= 0 во всех сечениях действует одна и та же сила:

F(x,0) = F. (9)

(7),(8),(9) → (10)

(10), (1) → 0 = С (11)

(10),(11) → (12)

(12),(3) → или (13)

(12), (13) →

Это второе граничное условие.

В сечении х = l, где соединяются вал и диск (рис. 24.1), имеем:

(14)

Но (23.3) = (15)

где I_д— момент инерции диска, — угловое ускорение диска.

(14), (15) →

или

(16)

где обозначено Выражение (16) дает второе граничное условие. Теперь будем искать решение уравнения свободных кру-тильных колебаний.

Теорема

Уравнение

с начальными условиями:

и граничными условиями

имеет следующее решение:

в котором — положительные корни уравнения:

Доказательство.

Дано (1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Искомую функцию представим в виде:

(6)

(1), (6) →

или

(7)

Здесь левая часть не содержит переменной х, правая часть не содержит t. Поэтому они совпадают только тогда, когда они не зависят ни от х ни от t, т. е. когда они постоянны.

Обозначим их общую постоянную через (8)

(Докажите самостоятельно, что из условий, налагаемых на Х(х), следует отрицательность общей постоянной).

(7), (8) →

или

(9)

(10)

Для решения уравнения (10) воспользуемся граничными условиями (4) и (5).

(4),(6) → (11)

В виду того, что T(t) — переменная величина, т. е. не всегда T(t) = 0, то:

(11) → (12)

(5), (6) →

или

(13)

(9), (13) → (14)

Равенства (12), (14) задают граничные условия для уравнения (10).

(10) → общее решение (15)

(12), (15) → С₁=0 (16)

(15), (16) → (17)

(14), (17) → (18)

Так как (иначе (17) → — противоречит условию (2), то (18) → или

(19)

Уравнение (19) позволяет найти .

Покажем, что решением (19) является бесконечная последова-тельность чисел

Положим (20)

(19),(20) → (21)

Выражение (21) показывает, что если положительное число является решением уравнения (21), то и число также будет решением. Поэтому нам достаточно найти положительные корни этого уравнения. Построим графики функций (рис. 24.2).

Рис. 24.2

Опустив перпендикуляры на ось О , получаем корни уравнения (14) , где n— номер корня, n = 1, 2,.... Соответствующим отрицательным корням припишем отрицательные номера, положим (22)