Крутильные колебания вала с диском

 

Пусть один конец вала х = 0 закреплен, а на другой конец х = I насажен массивный диск, момент инерции которого равен J1. В начальный момент диск закручен на малый угол  и отпускается без начальной скорости. Найдем  (х, t) — угол поворота сечений вала.

 

 

Рис. 24.1

 

 

Решение.

Прежде всего составим два начальных и два граничных условия и решим затем уравнение (23.1).

Конец вала х = 0 неподвижен, поэтому  (0, t) = 0.         (1)

Это первое граничное условие.

Начальная угловая скорость всех сечений равна нулю

                                                                            (2)

При t = 0 конец вала х = l закручен на угол , так что

                                                                            (3)

Равенства (2) и (3) задают начальные условия. Вследствие того, что нижний конец вала закручен, в сечениях действует сила сдвига. Найдем ее.

Возьмем сечение S(x) и на нем бесконечно малый участок dS, располагающийся на расстоянии r от оси вала. Тогда

    (23.2) →                                                     (4)

есть сила сдвига, действующая на участок dS, поэтому сила, действу-ющая на все сечение S(x) равна:

                                                     (5)

Введем обозначение                                      (6)

полярный статический момент сечения S(x).

    (5), (6) →  или

                                                             (7)

Будем считать, что поперечные сечения вала одинаковы,S(х) = S, тогда:

    (6) → .                                                            (8)

Будем также считать, что при t= 0 во всех сечениях действует одна и та же сила:

    F(x,0) = F.                                                                       (9)

    (7),(8),(9) →                           (10)

    (10), (1) → 0 = С                                                           (11)

    (10),(11) →                                               (12)

    (12),(3) →  или                                (13)

    (12), (13) →

Это второе граничное условие.

В сечении х = l, где соединяются вал и диск (рис. 24.1), имеем:

                                                             (14)

Но  (23.3) = (15)

где Iд— момент инерции диска, — угловое ускорение диска.

    (14), (15) →

или

                                                                (16)

где обозначено  Выражение (16) дает второе граничное условие. Теперь будем искать решение уравнения свободных кру-тильных колебаний.

Теорема

Уравнение

с начальными условиями:

и граничными условиями

имеет следующее решение:

в котором — положительные корни уравнения:

Доказательство.

Дано                                                                    (1)

                                                                        (2)

                                                                           (3)

                                                                            (4)

                                                             (5)

Искомую функцию представим в виде:

                                                                (6)

    (1), (6) →

или

или

                                                                   (7)

Здесь левая часть не содержит переменной х, правая часть не содержит t. Поэтому они совпадают только тогда, когда они не зависят ни от х ни от t, т. е. когда они постоянны.

Обозначим их общую постоянную через                  (8)

(Докажите самостоятельно, что из условий, налагаемых на Х(х), следует отрицательность общей постоянной).

    (7), (8) →

или

                                                                       (9)

                                                     (10)

Для решения уравнения (10) воспользуемся граничными условиями (4) и (5).

    (4),(6) →                                                 (11)

В виду того, что T(t) — переменная величина, т. е. не всегда T(t) = 0, то:

    (11) →                                                          (12)

    (5), (6) →

или

                                            (13)

    (9), (13) →                                    (14)

Равенства (12), (14) задают граничные условия для уравнения (10).

    (10) → общее решение        (15)

    (12), (15) → С1=0                                                  (16)

    (15), (16) →                                       (17)

    (14), (17) →                 (18)

Так как  (иначе (17) → — противоречит условию (2), то (18) →  или

                                                                  (19)

Уравнение (19) позволяет найти .

Покажем, что решением (19) является бесконечная последова-тельность чисел

Положим                                               (20)

              (19),(20) →                                        (21)

Выражение (21) показывает, что если положительное число  является решением уравнения (21), то и число  также будет решением. Поэтому нам достаточно найти положительные корни этого уравнения. Построим графики функций  (рис. 24.2).

 

 


Рис. 24.2

 

Опустив перпендикуляры на ось О , получаем корни уравнения (14) , где n— номер корня, n = 1, 2,.... Соответствующим отрицательным корням  припишем отрицательные номера, положим                            (22)

Современными компьютерными методами можно найти любой корень уравнения (14) с любой точностью.

Далее будем предполагать, что  нам известны.

Теперь вместо  будем подставлять корни . Соответствующие значения, зависящие от , будем обозначать индексом n.

              (20) →                                                    (23)

              (23), (17) →                            (24)

Это есть решение уравнения (10) при .

              (9), (23) →                            (25)

(25) → находим общее решение, соответствующее корню

                                                (26)

(6), (24), (26) → (27)

Обозначим                                           (28)

(27), (28) →              (29)

Чтобы удовлетворить начальным условиям (2), (3) решение ищем в виде суммы:

     (29) →       (30)

Сгруппируем в пары члены с номерами n и –n

(30)→

                                                                                                     (31)

(30), (31) →        (32)

Для определения An, B n воспользуемся начальными условиями.

    (2), (32) →                                         (33)

    (3), (32) →                                       (34)

На [0, l] функции  не ортогональны, т. е. если

    .

Продифференцируем (33) и (34) по х:

    (33) →                                            (35)

    (34) →                                           (36)

Покажем, что функции  ортогональны на [0, l]. Пусть .

                               (37)

Таким образом, ортогональность доказана.

Пусть п = k.

            (38)

    (38) →                                     (39)

т. к. это значение получено интегрированием функции . Итак

(37), (38) →   (40)

Обе части равенства (36) умножим на  и проинтегрируем в интервале [0, l].

(36) →                                  (41)

(40), (41) →                          (42)

(39), (42) →                                                            (43)

Обе части равенства (35) умножим на  и проинтегрируем в интервале [0, l].

(35) →                  (44)

(44), (40), (23) →  или

                                                           (45)

(32), (43), (45) →

Теорема доказана.

 


Дата: 2018-09-13, просмотров: 53.