Аппроксимация дифференциальных уравнений

 

Формулы (31.11) показывают, как при помощи сеточной функции производные аппроксимируются разностными отношениями. Рассмотрим несколько примеров применения этих формул для решения дифференциальных уравнений.

Пример 1.

Решить обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка:

                   (31.1)

с граничными условиями:

Разобьем участок [а, b] на п равных частей. Получится равно-мерная сетка с шагом . Так как х0 = а, то координаты точек деления (узлов сетки) будут равны , где i = 1, ..., n. Из граничных условий получаем у n= у b. В дифференциальном уравнении (32.1) заменим производные разностнымиотношениями. Получим:

Эта система так называемых сеточных уравнений содержит п– 1 неизвестных . Так как число уравнений равно числу неизвестных, то система имеет решение.

Пример 2.

Решить волновое уравнение

                      (32.2)

с начальными условиями:

и граничными условиями:

Область  покрываем равномерной сеткой  где Приме-ним формулу (31.10) для вычисления частных производных второго порядка:

Введя сеточную функцию , будем иметь:

поэтому волновое уравнение (32.2) заменится на следующую систему сеточных уравнений:

(i = 1, …, n1-1, j = 1, …, n2-1)

где . Присоединив сюда начальные и граничные условия:

i = 1, …, n1-1,

получим систему уравнений, позволяющую найти значения U(x, t) в узлах сетки.

Пример 3.

Решить уравнение теплопроводности

              (32.3)

с начальным условием:

и граничными условиями:

Область  покроем такой же сеткой, как в примере 2. Уравнение (32.3) заменится на систему:

(i = 1, …, n1-1, j = 1, …, n2-1)

с дополнительными условиями:

 (i = 1, …, n1-1), (ij = 1, …, n2-1)

Теперь, на основе полученного опыта, мы можем сформули-ровать суть метода сеток: область изменения независимых перемен-ных покрывается сеткой (системой точек, называемых узлами), со-ставляется и решается система сеточных уравнений, соответ-ствующая данному дифференциальному уравнению. В результате мы найдем значения искомой функции во всех узлах сетки.

Задачи

 

33.1. Однородная струна, закрепленная на концах х = 0, х = l , имеет в начальный момент времени форму параболы, симметричной относительно перпендикуляра, проведенного через точку х = . Определить смещение точек струны от прямолинейного положения равновесия, предполагая, что начальные скорости отсутствуют.

Решение.

               

Рис.33.1

 

Начальные условия: .

, при х = 0 должно быть . Тогда

 

Если n – четное, , то ,   Если то  

 

 

33.2. Однородная струна, закрепленная на концах х = 0, х = l, имеющая в начальный момент времени форму параболы, симмет-ричной относительно перпендикуляра, проведенного через точку . Определить смещение точек струны от прямолинейного поло-жения равновесия, предполагая, что начальные скорости отсутст-вуют.

Ответ: , где .

 

33.3. Однородная струна, закрепленная на концах х = 0, х = l, имеющая в начальный момент времени форму

 ,

где h> 0 — достаточно малое число, начала колебаться без начальной скорости. Найти свободные колебания струны.

Ответ: .

 

33.4. Однородная струна длиной l натянута между точками х = 0 и х = l. В точке х = 0 струна оттягивается на небольшое расстояние h от положения равновесия и в момент времени t = 0 отпускается без начальной скорости. Определить отклонение u(x, t) струны для любого момента времени.

Ответ: .

 

33.5. Струна, закрепленная на концах х = 0 и х = l, в начальный момент имеет форму . Найти форму струны для лю-бого момента времени t, если начальные скорости отсутствуют.

Ответ: .

 

33.6. Найти решение уравнения , удовлетворяющее ус-ловию , , , , где  при ,  при .

Ответ: .

 

33.7. Найти закон колебаний струны, начальная форма смещения которой на рисунке 33.2, а начальная скорость всех точек ее равна 0.

Рис.33.2

 

Ответ: .

 

33.8. Однородная струна длиной l закрепленная на обоих концах находится в прямолинейном положении равновесия. В некоторый мо-мент времени принимаемый за начальный, она получает в точке х = с удар от молоточка, который сообщает этой точке скорость . Найти отклонение u(x, t) струны для любого момента времени

Ответ: .

 

33.9. Задача 2.7.

Ответ: .

 

33.10. Решить

при условиях:

, , , .

Ответ: .

 

33.11. Однородный стержень длиной 2l под действием сил, при-ложенных к его концам, укоротился на величину 2 . При t = 0 он освобожден от действующих внешних сил. Определить смещение u(x, t) сечения стержня с абсциссой х в момент t (средняя точка оси стержня имеет абсциссу х = 0).

Ответ: .

 

33.12. Один конец стержня длины l закреплен, а на другой дей-ствует растягивающая сила P. Найти продольные колебания стержня, если при t = 0 сила P не действует.

Ответ: ,

где Е— модуль упругости материала,

S— площадь поперечного сечения стержня.

 

33.13. Решить

при условиях:

, , , .

Ответ: .

 

33.14. Решить

при условиях:

Ответ: ,

где ,

.

 

33.15. Один конец стержня закреплен, а на второй действует сила Q. Найти продольные колебания стержня, если в начальный момент сила перестает действовать.

Ответ: ,

где — площадь поперечного сечения стержня.

 

33.16. Изучить свободные продольные колебания однородного ци-линдрического стержня длиной l, у которого оба конца свободны.

Ответ:

,

где

.

Указание. Задача приводится к интегрированию уравнения:

при условиях:

, , , , .

 

33.17. Однородный стержень длиной 2l сжат силами, приложен-ными к его концам, так, что он укоротился до длины . При t = 0 нагрузка снимается. Показать, что смещение u сечения с абсцис-сой х стержня определяется формулой:

,

если точка х = 0 находится по середине стержня и — скорость продольных волн в стержне.

Указание. Проинтегрировать уравнение задачи 2.15 при усло-виях:

, , , .

 

33.18. Исследовать свободные колебания закрепленной струны, колеблющейся в среде, сопротивление которой пропорционально первой степени скорости.

Ответ: ,

где ,

,

.

Указание. Применить метод разделения переменных к интегрированию уравнения:

,

где h – малое положительное число, при условиях:

, , , .

 

33.19. Изучить вынужденные поперечные колебания струны, за-крепленной на концах х = 0 и подверженной на концах х = l действию возмущающей гармонической силы, вызывающей смещение, равное .

Ответ: .

Указание. Задача приводится к интегрированию уравнения:

                                        (1)

при условиях:

, , , .

Решение задачи следует искать в виде суммы u = v + w, где w— решение уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям , , а v – решение уравнения (1) при условиях: , , , .

 

33.20. Стержень длиной l, конец которого х = 0 закреплен, находится в состоянии покоя. В момент времени t = 0 к свободному концу приложена сила Q (на единицу площади), направленная вдоль стержня. Найти смещение  u(x, t) стержня в любой момент времени t > 0.

Ответ: .

Указание. Задача приводится к решению уравнения:

при условиях:

, , , .

См. также указания к задаче 2.18.

 

33.21. Изучить продольные колебания однородного цилиндри-ческого стержня, один конец которого заделан, а к другому концу приложена сила , направление которой совпадает с осью стержня.

Ответ: ,

где , причем .

Указание. Задача приводится к решению уравнения:

при условиях:

, , , .

См. также указание к задаче 2.18.

 

33.22. Стержень подвешен вертикально и защемлен так, что смещение во всех точках равно нулю. В момент времени t = 0 стержень освобождается, оставаясь закрепленным в верхней точке. Изучить вынужденные колебания стержня.

Ответ: ,

где g – ускорение силы тяжести.

Указание. Задача приводится к интегрированию уравнения:

                                                        (2)

при условиях:

, , , .

Решение задачи следует искать в виде суммы u = v + w, где v есть решение неоднородного уравнения (2), удовлетворяющее крае-вым условиям , , причем v следует искать в виде , а w есть решение однородного уравнения при условиях: , , , .

 

33.23. Решить уравнение

при нулевых начальных и краевых условиях:

, .

Ответ:

.

Указание. Решение следует искать в виде суммы:

,

где u(x) есть решение уравнения , удовлетворяющее краевым условиям: , а w – решение уравнения  при условиях: , , , .

33.24. Решить уравнение

при нулевых начальных и краевых условиях: , .

Ответ: .

 

33.25. Решить уравнение

при нулевых начальных и краевых условиях: , .

Ответ:

.

 

33.26. Решить задачу о колебании струны 0 <x<l с закреплен-ными концами, если начальные скорости равны нулю, а начальное отклонение имеет форму , n— целое.

Ответ: .

 

33.27. Струна с закрепленными концами в t = 0 находится в покое . Начальная скорость , .

Ответ: .

 

33.28.

Ответ: .

 

33.29. Найти функцию, гармоническую в кольце 1 <r< 2, т. к. , , , .

Ответ: .

 

33.30. , .

Ответ: .

 

33.31. Найти решение уравнения Лапласа для внутренней части кольца , , .

Ответ: .

Дата: 2018-09-13, просмотров: 65.