Задача. Установлено, что в процессе разрушения горных пород выделяется очень большое количество тепла, которое приводит к нагреву долот до 600 – 1000  и промывочной жидкости в призабойной зоне пласта. Установить закономерности распределения температуры по глубине скважин и во времени в зависимости от количества тепла, выделяемого в зонах разрушения в единице объема и времени.

Дано. Скважина в виде цилиндра заполнена жидкостью, на нижние стенки (торец) действует поток тепла постоянной мощности.

Найти зависимость температуры от глубины скважины и времени T(x,t)

Можно получить уравнение теплопроводности:

                         (34.1)

с граничными и начальными условиями:

Решение: можно получить уравнение теплопроводности

где  - температура, функция координат, времени;

, ;

k – коэффициент теплопроводности (температуропроводности) глинистого раствора;

С – удельная теплоемкость раствора;

 – объемная плотность раствора;

Q – количество тепла, выделенного в единице объема и времени (плотность тепловых источников).

Определим начальное и граничные условия:

граничные условия:

начальное условие:

где  – температура нагрева жидкости на забое за счет выделения тепла;

l – расстояние вдоль скважины, где нагрев жидкости прекра-щается.

Температуру будем искать в виде:

где  удовлетворяет  (1) при ,

 удовлетворяет ,

Решим (34.1).

                                                           (1)

                                                               (2)

                                                                     (3)

                                                         (4)

— решение уравнения (1).                        

Разложение по синусам возможно, т.к. х > 0. Найдем .

Условие (2) выполняется автоматически. Пусть функция  разложима в ряд Фурье:

                                                    (5)

где

Функция  равенства (4) является решением (1) → удов-леворяет (1):

Вместо  подставим его выражение (5):

Отсюда необходимо выполнения условия:

Обозначим , получим – линейное дифференциальное уравнение первого порядка:

                            (6)

Для определения С воспользуемся уравнением (3):

Подставив вместо  его выражения, получим:

 (7)  Определим . Решим уравнение  с граничными условиями  и начальным условием .

Решение будем искать в виде:

,

Котороеудовлетворяет граничным условиям.

Тогда       (8)

По формулам разложения в ряд Фурье:

                     (9)

Правую часть выражения (9) проинтегрируем по частям, т.е. 

Значит,

Из (7) →

Выражение (8) продифференцируем по t :

В нашем случае , тогда

;

где, очевидно

Воспользуемся начальным условием  и выражением (8):

Представим скважину в виде однородного стержня, теплоизо-лированного со всех сторон, кроме нижнего конца, и достаточно тонкого, чтобы считать температуру на всей площади поперечного сечения одинаковой, с граничными и начальными условиями:

Если стержень нагрет неравномерно, то в нем будет происхо-дить перенос тепловой энергии, и температура в сечениях будет меняться.

В дополнение к этому предположим, что внутри стержня поро-ждается или поглощается тепло вследствие, например, химических реакций. Получим функцию Q – количество тепла, выделяемое единицей объема за единицу времени. Назовем ее плотностью тепловых источников. Вычисляя в системе Mathematica, можем узнать температуру жидкости в призабойной зоне скважины в зависимости от глубины скважины (рис. 33.1).

При консультации с преподавателями специальных дисциплин студенты получили сведения, о том, что нагрев жидкости практи-чески прекращается на глубине примерно равной 2/3 от поверхности земли. Рассматривая скважину глубиной 2500 метров, используя полученные результаты для нахождения температуры промывочной жидкости, определили, что теория не противоречит практике, более того, позволяет более точно вычислять температуру нагрева в любой точке скважины.

Рассмотрение подобных задач является убедительным доказа-тельством для студентов того, что моделирование позволяет пред-сказать ситуацию, имитировать особенности функционирования сис-темы, уменьшает потребности в сложном оборудовании и сложных лабораторных испытаниях, позволяет сократить сроки исследования.

Рис. 34.1.  Пример вычисления температуры промывочной жидкости и бурильного инструмента за счет трения при бурении