Отметим, что при некоторых удачно выбранных линейных преобразованиях вид квадратичной формы можно существенно упростить.

Пример 4. Квадратичная форма.

L( = 7

после преобразования

перейдёт в форму с матрицей

С АС= ,

т.е. в форму (  = 2 , которая имеет диагональную матрицу.

Определение. Квадратичная форма L(  имеет канонический вид, если матрица квадратичной формы диагональна, т.е. в записи квадратичной формы отсутствуют произведения разных переменных:

L( = =

Теорема(теорема Лагранжа). Любая квадратичная форма при помощи невырожденного линейного преобразования переменных может быть приведена к каноническому (диагональному) виду.

Сформулируем предварительно два вспомогательных утверждения.

Лемма 1. Произведение двух (или нескольких) последовательно выполненных невырожденных линейных преобразований переменных является также невырожденным преобразованием.

Доказательство. Действительно, невырожденность преобразований Х = СУ и У = DZ означает, что матрицы С и D невырожденные. Но тогда матрица CD, т.е. матрица линейного преобразования Х = С(DZ) = (CD)Z, также невырожденная.

Лемма 2. Если у квадратичной формы (5.1.2) имеется хотя бы один ненулевой коэффициент, то надлежащим невырожденным линейным преобразованиям переменных Х = СУ она может быть преобразована в форму, у которой коэффициент при  отличен от нуля.

Доказательство. 1) Пусть  ≠ 0. В этом случае сама форма L обладает требуемым свойством и никакого преобразования делать не надо (можно сделать тождественное преобразование).

2) Предположим, что  = 0, но при некотором  2 отличен от нуля коэффициент при , т.е. ≠ 0. В этом случае достаточно изменить нумерацию переменных, т.е. сделать преобразование вида

Это преобразование невырожденное (здесь легко усматривается обратное преобразование), и после его выполнения получим

L = … +  +…

Выписанный член  не имеет себе подобных, а потому он сократиться не может. Таким образом, поскольку  ≠ 0, для рассматриваемого случая лемма доказана.

3) Остаётся рассмотреть случай, когда , т.е. когда все диагональные коэффициенты равны нулю. По условию форма имеет хоть один ненулевой коэффициент. Пусть _ij ≠ 0 (  ≠j). Чтобы свести рассматриваемый случай к случаю 2, нам достаточно сделать какое-нибудь невырожденное преобразование, только бы появился квадрат одной из переменных с ненулевым коэффициентом. Сделаем, например, преобразование

(в частности, . Преобразование, видно, что невырожденное (обратным для него будет преобразование После  выполнения преобразования получим

L = … + 2 +

Член  является здесь единственным членом с , поэтому после приведения подобных членов он не сократится. Полученная нами форма содержит, таким образом, квадрат переменной с ненулевым коэффициентом (  ≠ 0), и значит к ней применимо рассуждение пункта 2. Для завершения доказательства леммы 2 остаётся сослаться на лемму 1.

А теперь переходим к доказательству теоремы Лагранжа.

Доказательство теоремы проведём индукцией по числу переменных . При  = 1 утверждение теоремы справедливо тривиальным образом: всякая квадратичная форма от одной переменной имеет вид  и является, следовательно, диагональной (всякая матрица 1-го порядка диагональна).

Предположим теперь, что и что для форм от -1 переменных теорема уже доказана. Пусть L квадратичная форма от переменных. Если все коэффициенты формы – нули, то доказывать нечего (сама форма уже диагональна с нулевыми коэффициентами при квадратах). Пусть не все её коэффициенты нули. Если то согласно лемме 2 можно совершить невырожденное линейное преобразование переменных так, чтобы после преобразования формы коэффициент при квадрате первой переменной был отличен от нуля. Можно считать поэтому, что уже с самого начала

Выделим в форме (5.1.2) все члены содержащие :

Здесь  является формой от  Преобразуем теперь выписанную сумму так, чтобы все члены с вошли в квадрат линейного выражения:

Здесь , как и  является квадратичной формой от -1 переменных .

Сделаем преобразование переменных

  (5.2.1).

Преобразование (5.2.1) невырожденное. В нём новые переменные выражены через старые. Найдём для (5.2.1) обратное преобразование:

  (5.2.2).

После выполнения преобразования (5.2.1) квадратичная форма примет вид:

По индуктивному предположению существует невырожденное линейное преобразование

,

при котором форма  приводится к диагональному (каноническому) виду

Для исходной формы Lвслед за преобразованием (5.2.2) выполнили следующее преобразование переменных:

.

Определитель этого преобразования

 = ≠ 0,

следовательно, преобразование (5.2.3) невырожденное. После его выполнения вслед за преобразованием (5.2.2) форма L приобретает вид:

Таким образом, после выполнения двух невырожденных линейных преобразований форма L приняла диагональный (канонический вид). Теорема доказана.

Пример 5. Привести к каноническому виду квадратичную форму

.

Решение. Имеем

.

Следовательно, при помощи преобразования

форма приводится к виду

А теперь приведём пример приведения к каноническому виду квадратичной формы в случае, когда все диагональные коэффициенты равны нулю.

Пример 6. Привести форму  = 2  6  + 2 к каноническому виду. Найти матрицу перехода от исходного базиса к базису, в котором форма имеет канонический вид.

Решение. Так как в форме нет членов с квадратом переменной, то делаем вспомогательное преобразование с целью получить квадрат:

.

Получаем

Выполним то же самое в матричном виде

Теперь выделим полный квадрат при переменной .

.

Заменим переменные по формулам

Получаем

Выполним переход от переменных к переменным в матричном виде

Теперь выделим полный квадрат при переменной .

Введём переменные

Имеем

Это – форма канонического вида.

Выполним последний шаг в матричном виде:

.

А теперь найдём искомую матрицу:

Проверка:

.

В упрощении квадратичной формы от канонического вида можно пойти дальше – к нормальному виду. Нормальным видом называется такой канонический вид квадратичной формы, в котором коэффициенты при квадратах неизвестных (переменных) равны  1.

Справедлива следующая теорема.

Теорема. Для любой квадратичной формы существует базис, в котором она имеет нормальный вид.

Пример 7. Продолжим пример 6 и приведём форму к нормальному виду.

Решение. Достаточно перейти от последнего базиса к новому, положив