|
Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координатО 
. Выделим на координатных осях O 
, Oy и Oz единичные векторы (орты), обозначаемые 
, 
, 
соответственно (см. рис. 3).
|
|
|
Выберем произвольный вектор 
= 
. Обозначим проекции вектора = на оси O , Oy и Oz соответственно через 
, 
и 
.
|
|
|
|
|
|
= 
+ 
+ 
(3.2.1).
|
, и называются координатами вектора .
| |
= ( ; ; ).
На основе теоремы о длине диагонали прямоугольного параллелепипеда получаем
= 
+ 
+ 
(3.2.2).
Отсюда получим
| | = 
(3.2.3).
(3.2.3) – это формула для вычисления модуля (длины) вектора = .
Пусть углы вектора с осями O , Oy и Ozсоответственно равны α, β, γ. По свойству проекции вектора на ось, имеем
= | | 
, = | | 
, = | | 
(3.2.4)
Из формул (3.2.4) вытекает, что
, 
, 
Числа 
, 
называются направляющими косинусами вектора 
Подставим выражения (3.2.4) в равенство (3.2.2), получаем
= 
α + 
+ γ.
Сократив на ≠ 0, получим соотношение
.
Заметим, что координатами единичного вектора являются числа , 
, т.е. 
= ( ; 
; 
).
Пусть 
+ 
, 
+ 
.
Так как линейные операции над векторами сводятся к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов, то можем записать:
1. ± 
=( ± 
+
+( 
) 
± = =( 
).
Т.е. при сложении (вычитании) векторов их одноимённые координаты складываются (вычитаются).
2. 
= 
+ 
= =( 
; 
; 
). Т.е. при умножении вектора на число координаты вектора умножаются на это число.
Два вектора и равны ( 
) тогда и только тогда, когда выполняются равенства: = 
, = 
; = 
.
Выясним условия коллинеарности векторов и , заданных своими координатами.
|| 
= 
, где 
– некоторое число. Следовательно
+ 
+ = 
( 
+ 
+ 
) = 
+ 
+ 
.
Отсюда получим
= 
, = 
, 
,
т.е.
= , 
= , 
= или = = .
Таким образом, проекции коллинеарных векторов пропорциональны.
Найдём координаты вектора = 
, если известны координаты точекА ( 
, 
, 
) и В ( 
, 
, 
). Имеем (см. рис. 4):
Рис. 4.
= 
- 
= ( 
+ 
+ 
) – ( 
+ 
+ 
) = ( - ) 
+ ( - ) 
+ ( - ) 
Следовательно: = ( - ; - ; - ).
|
Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними.
Скалярное произведение векторов и обозначается одним из символов 
, 
или 
):
= | | 
| | 
, (3.3.1)
где 
= ( 
).
Так как | | = 
, (см. рис. 5),
, то получаем:
=| | 
= =| | 
(3.3.2)
Свойства скалярного произведения:
1. 
= 
(свойство переместительности);
2. 
) = ( 
) 
= 
( 
) (свойство сочетательности);
3. ( 
) = + 
(свойство распределительности);
4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: 
= 
.В частности: 
= 
= 
= 1.
5. Если векторы 
и 
(ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т.е. если 
, то = 0. Справедливо и обратное утверждение: если = 0 и 
, 
, то .
Пример 1. Найти длину вектора 
= 4 + 5 , если | | = 3, | 
= 4, ( ) = 
.
Решение:
| | = 
= 
= 
= 
= 28
Векторы и 
, скалярные произведения которых равно нулю, называются ортогональными.
Если векторы и заданы своими координатами = ( ; ; ), = ( ; ; ), то
= 
(3.3.3).
Формула (3.3.3) легко выводится из свойств скалярного произведения.
Пример 2.Показать,что четырёхугольник с вершинами А (-5; 3; 4), В (-1; -7; 5), С (6, -5, -3), D (2; 5; -4) есть квадрат.
Решение. Находим векторы.
= (4; - 10; 1), 
= (7; 2; -8), 
= (4; -10; 1), 
= (7; 2; -8).
Сравнивая координаты этих векторов, заключаем, что
= , = 
Так как
| | = 
= 
, | | = 
= ,
то
| | = | | = | | = | |.
А поскольку
= 4 7 + (-10) 2 + 1 (-8) = 0,
то ^
Следовательно, четырёхугольник ABCD есть квадрат.
Найдём проекцию вектора на направление, заданное вектором . Из формул (3.3.2), (3.3.3), и (3.2.3) следует, что
= 
( 
= 
), т.е. = 
(3.3.4).
Пример 3. Даны векторы = (3; -6; -1); = (1; 4; -5); = (3; -4; 12).
Найти , 
( 
.
Решение. Применим формулу (3.3.4)
= 
= 
( 
= 
.
Дата: 2019-12-10, просмотров: 442.
