|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=
+
+
(3.2.1).
|
|
На основе теоремы о длине диагонали прямоугольного параллелепипеда получаем
=
+
+
(3.2.2).
Отсюда получим
| | =
(3.2.3).
(3.2.3) – это формула для вычисления модуля (длины) вектора =
.
Пусть углы вектора с осями O
, Oy и Ozсоответственно равны α, β, γ. По свойству проекции вектора на ось, имеем
= |
|
,
= |
|
,
= |
|
(3.2.4)
Из формул (3.2.4) вытекает, что
,
,
Числа ,
называются направляющими косинусами вектора
Подставим выражения (3.2.4) в равенство (3.2.2), получаем
=
α +
+
γ.
Сократив на ≠ 0, получим соотношение
.
Заметим, что координатами единичного вектора являются числа
,
, т.е.
= (
;
;
).
Пусть +
,
+
.
Так как линейные операции над векторами сводятся к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов, то можем записать:
1. ±
=(
±
+
+( )
±
= =(
).
Т.е. при сложении (вычитании) векторов их одноимённые координаты складываются (вычитаются).
2. =
+
= =(
;
;
). Т.е. при умножении вектора на число координаты вектора умножаются на это число.
Два вектора и
равны (
) тогда и только тогда, когда выполняются равенства:
=
,
=
;
=
.
Выясним условия коллинеарности векторов и
, заданных своими координатами.
||
=
, где
– некоторое число. Следовательно
+
+
=
(
+
+
) =
+
+
.
Отсюда получим
=
,
=
,
,
т.е.
=
,
=
,
=
или
=
=
.
Таким образом, проекции коллинеарных векторов пропорциональны.
Найдём координаты вектора =
, если известны координаты точекА (
,
,
) и В (
,
,
). Имеем (см. рис. 4):
Рис. 4.
=
-
= (
+
+
) – (
+
+
) = (
-
)
+ (
-
)
+ (
-
)
Следовательно: = (
-
;
-
;
-
).
|
Скалярным произведением двух ненулевых векторов и
называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними.
Скалярное произведение векторов и
обозначается одним из символов
,
или
):
= |
|
|
|
, (3.3.1)
где
= (
).
Так как | |
=
, (см. рис. 5),
, то получаем:
=|
|
= =|
|
(3.3.2)
Свойства скалярного произведения:
1. =
(свойство переместительности);
2. ) = (
)
=
(
) (свойство сочетательности);
3. (
) =
+
(свойство распределительности);
4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: =
.В частности:
=
=
= 1.
5. Если векторы и
(ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т.е. если
, то
= 0. Справедливо и обратное утверждение: если
= 0 и
,
, то
.
Пример 1. Найти длину вектора = 4
+ 5
, если |
| = 3, |
= 4, (
) =
.
Решение:
| | =
=
=
=
= 28
Векторы и
, скалярные произведения которых равно нулю, называются ортогональными.
Если векторы и
заданы своими координатами
= (
;
;
),
= (
;
;
), то
=
(3.3.3).
Формула (3.3.3) легко выводится из свойств скалярного произведения.
Пример 2.Показать,что четырёхугольник с вершинами А (-5; 3; 4), В (-1; -7; 5), С (6, -5, -3), D (2; 5; -4) есть квадрат.
Решение. Находим векторы.
= (4; - 10; 1),
= (7; 2; -8),
= (4; -10; 1),
= (7; 2; -8).
Сравнивая координаты этих векторов, заключаем, что
=
,
=
Так как
| | =
=
, |
| =
=
,
то
| | = |
| = |
| = |
|.
А поскольку
= 4
7 + (-10)
2 + 1
(-8) = 0,
то ^
Следовательно, четырёхугольник ABCD есть квадрат.
Найдём проекцию вектора на направление, заданное вектором
. Из формул (3.3.2), (3.3.3), и (3.2.3) следует, что
=
(
=
), т.е.
=
(3.3.4).
Пример 3. Даны векторы = (3; -6; -1);
= (1; 4; -5);
= (3; -4; 12).
Найти ,
(
.
Решение. Применим формулу (3.3.4)
=
=
(
=
.
Дата: 2019-12-10, просмотров: 372.