|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= + + (3.2.1).
|
|
На основе теоремы о длине диагонали прямоугольного параллелепипеда получаем
= + + (3.2.2).
Отсюда получим
| | = (3.2.3).
(3.2.3) – это формула для вычисления модуля (длины) вектора = .
Пусть углы вектора с осями O , Oy и Ozсоответственно равны α, β, γ. По свойству проекции вектора на ось, имеем
= | | , = | | , = | | (3.2.4)
Из формул (3.2.4) вытекает, что
, ,
Числа , называются направляющими косинусами вектора
Подставим выражения (3.2.4) в равенство (3.2.2), получаем
= α + + γ.
Сократив на ≠ 0, получим соотношение
.
Заметим, что координатами единичного вектора являются числа , , т.е. = ( ; ; ).
Пусть + , + .
Так как линейные операции над векторами сводятся к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов, то можем записать:
1. ± =( ± +
+( ) ± = =( ).
Т.е. при сложении (вычитании) векторов их одноимённые координаты складываются (вычитаются).
2. = + = =( ; ; ). Т.е. при умножении вектора на число координаты вектора умножаются на это число.
Два вектора и равны ( ) тогда и только тогда, когда выполняются равенства: = , = ; = .
Выясним условия коллинеарности векторов и , заданных своими координатами.
|| = , где – некоторое число. Следовательно
+ + = ( + + ) = + + .
Отсюда получим
= , = , ,
т.е.
= , = , = или = = .
Таким образом, проекции коллинеарных векторов пропорциональны.
Найдём координаты вектора = , если известны координаты точекА ( , , ) и В ( , , ). Имеем (см. рис. 4):
Рис. 4.
= - = ( + + ) – ( + + ) = ( - ) + ( - ) + ( - )
Следовательно: = ( - ; - ; - ).
|
Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними.
Скалярное произведение векторов и обозначается одним из символов , или ):
= | | | | , (3.3.1)
где = ( ).
Так как | | = , (см. рис. 5),
, то получаем:
=| | = =| | (3.3.2)
Свойства скалярного произведения:
1. = (свойство переместительности);
2. ) = ( ) = ( ) (свойство сочетательности);
3. ( ) = + (свойство распределительности);
4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: = .В частности: = = = 1.
5. Если векторы и (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т.е. если , то = 0. Справедливо и обратное утверждение: если = 0 и , , то .
Пример 1. Найти длину вектора = 4 + 5 , если | | = 3, | = 4, ( ) = .
Решение:
| | = = = = = 28
Векторы и , скалярные произведения которых равно нулю, называются ортогональными.
Если векторы и заданы своими координатами = ( ; ; ), = ( ; ; ), то
= (3.3.3).
Формула (3.3.3) легко выводится из свойств скалярного произведения.
Пример 2.Показать,что четырёхугольник с вершинами А (-5; 3; 4), В (-1; -7; 5), С (6, -5, -3), D (2; 5; -4) есть квадрат.
Решение. Находим векторы.
= (4; - 10; 1), = (7; 2; -8), = (4; -10; 1), = (7; 2; -8).
Сравнивая координаты этих векторов, заключаем, что
= , =
Так как
| | = = , | | = = ,
то
| | = | | = | | = | |.
А поскольку
= 4 7 + (-10) 2 + 1 (-8) = 0,
то ^
Следовательно, четырёхугольник ABCD есть квадрат.
Найдём проекцию вектора на направление, заданное вектором . Из формул (3.3.2), (3.3.3), и (3.2.3) следует, что
= ( = ), т.е. = (3.3.4).
Пример 3. Даны векторы = (3; -6; -1); = (1; 4; -5); = (3; -4; 12).
Найти , ( .
Решение. Применим формулу (3.3.4)
= =
( = .
Дата: 2019-12-10, просмотров: 370.