Рассмотрим два линейных пространства:  размерности n размерности m .

Определение. Если задан закон по которому каждому вектору  ставится в соответствие единственный вектор  из ,
о говорят, что задан оператор(преобразование) Ã( действующий из  в , и записывают .

Оператор (преобразование) называется линейным, если для любых векторов  и любого числа  выполняются соотношения:

1. Ã(  –свойство аддитивности оператора;

2. Ã(  – свойство однородности оператора.

Вектор =Ã( называется образом вектора , а если сам вектор  – прообразом вектора Если пространства  и  совпадают, то оператор Ã отображает пространство  в себя. В этом параграфе мы будем рассматривать именно такие операторы.

Выберем в пространстве  базис  и запишем разложение вектора  по данному базису:

.

В силу линейности оператора Ã получаем

Поскольку Ã(  (i = 1, 2…, n) – также вектор из , то его можно разложить по базису . Пусть

 (4.5.1).

Тогда

.

С другой стороны, вектор  = Ã( имеющий в том же базисе   координаты , можно записать так:

à (4.5.3).

Ввиду единственности разложения вектора по базису равны правые части равенства (4.5.2) и (4.5.3), откуда

Матрица А = (  называется матрицей оператора Ã в базисе , а ранг r матрицы А – рангом оператора Ã.

Таким образом, каждому линейному оператору соответствует матрица в данном базисе. И обратно: всякой матрице n-го порядка соответствует линейный оператор n-мерного пространства.

Связь между вектором  и его образом Ã( можно выразить в матричной форме уравнением

У = АХ,                                    (4.5.4),

гдеА – матрица линейного оператора,

Х = , У = ; матрицы – столбцы из координат векторов  и .

Пример 6. Линейный оператор Ã в базисе  задан матрицей

А = . Найти Ã , где  = .

Решение. По формуле (4.5.4) имеем

 =  = .

Следовательно,  = .

Определим действия над линейными операторами.

Суммой двух линейных операторов  и  называется оператор ( + ), определяемый равенством :( + )(  = ( .

Произведением линейного оператора Ã на число  называется оператор Ã, определяемый равенством: (  = ( ( .

Произведением линейных операторов  и  называется оператор , определяемый равенством: (  = ( (

Можно убедиться в том, что операторы (  + ), , , полученные в результате этих действий, удовлетворяют отмеченным выше свойствам аддитивности и однородности, т.е. являются линейными.

Линейный оператор называется нулевым Õ, если он переводит все векторы пространства  в нулевые векторы: Õ(  = .

Линейный оператор называется тождественным Ẽ, если он преобразует любой вектор  в самого себя, т.е. Ẽ(  = .

Теорема. Матрицы А и  линейного оператора Ã в базисах

связаны соотношением

 = АС,                            (4.5.5),

где С – матрица перехода от старого базиса к новому.

Доказательство. Аналогом формулы (4.5.4) в новом базисе  является равенство

               (4.5.6)

Так как С – матрица перехода от старого базиса к новому, то в соответствии с формулой (4.3.3)

                                 (4.5.7),

                                 (4.5.8).

Умножив равенство (4.5.7) слева на матрицу А, получим АХ = АС  или с учётом (4.5.4) У = АС . Следовательно, учитывая (4.5.8) получим С  = АС  или = АС . Сравнивая последнее выражение с (4.5.6), получим доказываемую формулу (4.5.5).

Пример 7. Линейный оператор Ã в базисе  имеет матрицу

А = .

Найти его матрицу в базисе

.

Решение. Матрица перехода С = . Матрица  оператора Ã в новом базисе: = А  С. Так как

,

то по формуле (4.5.5):

= А С= .