Определение. Квадратичной формой называется однородный многочлен L(  второй степени от переменных.

Примерами квадратичных форм являются

,

Согласно данному определению коэффициентами квадратичной формы могут быть любые числа (в том числе и комплексные). Если все коэффициенты квадратичной формы вещественны, то она называется вещественной. Если же в качестве коэффициентов квадратичной формы допускаются комплексные числа, то она называется комплексной квадратичной формой.

Укажем для квадратичных форм одну специальную форму записи. Считая, что в формеL( уже выполнено приведение подобных членов, обозначим коэффициент при  через , а коэффициент при  через

2

так что

(5.1.1)

Для члена, содержащего  мы получим тогда следующую симметричную форму записи:

2  = .

Вся квадратичная форма может быть записана теперь в виде L(

=

 +

… … … … … … … … … … … … … … …

 + .       (5.1.2).

Определение. Квадратичной формой от вещественных переменных  называют функцию L( , заданную равенством

L( , R (5.1.3)

Ясно, что коэффициенты  квадратичной формы L в записи (5.1.2) определены однозначно. Составленная из них матрица

А =

называется матрицей квадратичной формы.

Ввиду условия (5.1.1) элементы матрицы А, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны между собой. Следовательно, А  =А (или ), т.е. А –симметричная матрица.

Очевидно, что для любой симметричной матрицы А всегда можно указать такую квадратичную форму, что её матрица совпадает с А. Если две квадратичные формы имеют одну и ту же матрицу, то эти формы могут отличаться друг от друга только обозначением переменных, что не имеет существенного значения. Две такие квадратичные формы можно считать одинаковыми. Таким образом, квадратичные формы определяются своими матрицами.

В матричной записи квадратичная форма имеет вид:

L = X AX,               (5.1.4),

где X = — матрица-столбец (вектор-столбец) переменных.

В самом деле:

L =(

=(

, что доказывает равносильность формул (5.1.3) и (5.1.4).

Пример 1. Дана квадратичная форма L( Записать ее в матричном виде.

L( , = 2  +

+ 2 .

Следовательно,

L( = ( .

Ранг матрицы А называют рангом квадратичной формы. В случае, когда ранг матрицы равен числу переменных, форма называется невырожденной.

Пусть теперь нам задано линейное преобразование переменных

  (5.1.5),

выражающее переменные  через систему переменных . Если через С мы обозначим матрицу преобразования (5.1.5), а через Х и У – столбцы из старых и новых переменных соответственно, то преобразование (5.1.5) примет следующую матричную форму:

Х = СУ.                 (5.1.6).

Будем рассматривать исключительно невырожденные линейные преобразования переменных, т.е. будем предполагать, что detС = ⃒С⃒ ≠ 0. В этом случае для преобразования (5.1.6) существует обратное преобразование

У = Х,              (5.1.7),

выражающее новые переменные через старые.

Подставив выражение для  из преобразования (5.1.5) в квадратичную форму L( , получим

L( .

После выполнения всех необходимых действия правая часть превратится в квадратичную форму ( от новых переменных . В этом случае, будем говорить, что форма (  получена из L(  в результате линейного преобразования переменных (5.1.5).

Очевидно, если полученную форму ( подвергнуть обратному линейному преобразованию переменных (5.1.7), то мы вернёмся к исходной квадратичной форме L( .

Пример 2. Подвергнем форму L( ) = преобразованию

.

Решение. Получим форму

= +(  = 3 .

Подвергая её обратному преобразованию

,

приходим к исходной форме

3  +  = .

Выясним, как меняется матрица квадратичной формы при линейном преобразовании переменных.

Подвергнем форму (5.1.4) преобразованию (5.1.6). Так как X=(СУ)  = =У С то мы получим

L = X AX = У С АСУ = У ( C AC )У = ( .

Рассмотрим квадратную матрицу = С АС. Так как

( )  = (C AC) =C A C = C AC = ,

то матрица симметрична, а значит она и является матрицей квадратичной формы  = У У. Таким образом, можно сформулировать следующую теорему.

Теорема. Если в квадратичной форме с матрицей А сделано линейное преобразование переменных с матрицей С, то полученная квадратичная форма будет иметь матрицу С AC.

Пример 3. Дана квадратичная форма L(  = 2 . Найти квадра-тичную форму ( , полученную из данной линейным преобразованием.

.

Решение. Матрица данной квадратичной формы А = , а матрица линейного преобразования С = . Следовательно, по теореме матрицей искомой квадратичной формы

= .

Таким образом, квадратичная форма имеет вид ( .